複素平面上の距離（1次元複素ユークリッド空間）

1次元の複素ユークリッド空間

複素数\(z,w\in \mathbb{C} \)が与えられたとき、これらは何らかの実数\(a,b,c,d\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}z &=&a+bi \\
w &=&c+di
\end{eqnarray*}と表されます。\(\mathbb{C} \)は減法について閉じていることから差\begin{equation*}z-w=\left( a-c\right) +\left( b-d\right) i
\end{equation*}が1つの複素数として定まります。さらに、複素数の絶対値は実数であることから差の絶対値\begin{equation*}
\left\vert z-w\right\vert =\sqrt{\left( a-c\right) ^{2}+\left( b-d\right)
^{2}}
\end{equation*}が1つの実数として定まることが保証されます。このような事情を踏まえると、複素数を成分とするそれぞれの順序対\(\left( z,w\right)\in \mathbb{C} \times \mathbb{C} \)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( z,w\right) &=&\left\vert z-w\right\vert \\
&=&\sqrt{\left( a-c\right) ^{2}+\left( b-d\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}を値として定める写像\begin{equation*}
d:\mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これをユークリッド距離関数（Euclidean distance function）や距離関数（distance function）と呼びます。また、ユークリッド距離関数\(d\)が順序対\(\left( z,w\right) \)に対して定める値\(d\left(z,w\right) \)すなわち\(\left\vert z-w\right\vert \)を\(z\)から\(w\)へのユークリッド距離（Euclidean distance）や距離（distance）と呼びます。

複素数空間\(\mathbb{C} \)上にユークリッド距離関数\(d:\mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義されている場合には、これらの組\begin{equation*}\left( \mathbb{C} ,d\right)
\end{equation*}を1次元の複素ユークリッド空間（one-dimensional complex Euclidean space）と呼びます。ただし、\(\mathbb{C} \)においてユークリッド距離関数\(d\)が定義されていることが文脈から明らかである場合には、1次元の複素ユークリッド空間をシンプルに、\begin{equation*}\mathbb{C} \end{equation*}と表記できるものと定めます。

複素ユークリッド空間\(\mathbb{C} \)について考えている場合、その要素である個々の複素数を点（point）と呼び、\(\mathbb{C} \)の部分集合を点集合（point set）と呼ぶ場合もあります。

複素数の極形式の間の距離

非ゼロの複素数\(z_{1},z_{2}\in \mathbb{C} \)が極形式\begin{eqnarray*}z_{1} &=&r_{1}\left[ \cos \left( \theta _{1}\right) +\sin \left( \theta
_{1}\right) i\right] \\
z_{2} &=&r_{2}\left[ \cos \left( \theta _{2}\right) +\sin \left( \theta
_{2}\right) i\right] \end{eqnarray*}で表されている場合、これらの間のユークリッド距離は、\begin{equation*}
d\left( z_{1},z_{2}\right) =\sqrt{r_{2}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos \left(
\theta _{1}-\theta _{2}\right) }
\end{equation*}となります。

ユークリッド距離の幾何学的解釈

2つの複素数\begin{eqnarray*}
z &=&\mathrm{Re}\left( z\right) +\mathrm{Im}\left( z\right) i \\
w &=&\mathrm{Re}\left( w\right) +\mathrm{Im}\left( w\right) i
\end{eqnarray*}が与えられており、これらが複素平面上の点として表現されているものとします（下図）。

先の命題より、\(z\)と\(w\)の間のユークリッド距離は、\begin{eqnarray*}d\left( z,w\right) &=&\left\vert z-w\right\vert \\
&=&\left\vert \left[ \mathrm{Re}\left( z\right) -\mathrm{Re}\left( w\right) \right] +\left[ \mathrm{Im}\left( z\right) -\mathrm{Im}\left( w\right) \right] i\right\vert \\
&=&\sqrt{\left[ \mathrm{Re}\left( z\right) -\mathrm{Re}\left( w\right) \right] ^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( z\right) -\mathrm{Im}\left( w\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}ですが、これは2つの点\(z,w\)を結ぶ線分の長さと一致します。

ユークリッド距離の非負性

点\(z,w\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}d\left( z,w\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(z\)から\(w\)への距離は必ず非負の実数になるということです。ユークリッド距離関数\(d\)が満たす以上の性質を非負性（non-negativity）と呼びます。これが絶対値の非負性から導かれます。

ユークリッド距離の不可識別者同一性

点\(z,w\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}d(z,w)=0\Leftrightarrow z=w
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(z\)から\(w\)への距離が\(0\)であることと、\(z\)と\(w\)が同じ点であることは必要十分です。ユークリッド距離関数\(d\)が満たすこのような性質を不可識別者同一性（identity of indiscernibles）と呼びます。これは絶対値の不可識別者同一性と必要十分です。

ユークリッド距離の対称性

点\(z,w\in \mathbb{C} \)を任意に選びます。本来、2つの順序対\(\left(z,w\right) ,\left( w,z\right) \)は異なるものとして区別されるため、それらに対する距離である\(d\left( z,w\right) \)と\(d\left( w,z\right) \)もまた区別されます。ただ、実際には、\begin{equation*}d\left( z,w\right) =d\left( w,z\right)
\end{equation*}となり両者は一致します。つまり、\(z\)から\(w\)への距離と\(w\)から\(z\)への距離は一致するということです。ユークリッド距離関数\(d\)が満たすこのような性質を対称性（symmetry）と呼びます。これは絶対値の対称性と必要十分です。

ユークリッド距離に関する三角不等式

点\(z,v,w\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}d\left( z,w\right) \leq d\left( z,v\right) +d\left( v,w\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(z\)から\(w\)までの距離は、\(z\)から\(v\)を経由して\(w\)へ至る場合の距離以下になります。ユークリッド距離関数\(d\)が満たすこのような性質を三角不等式（triangle inequality）と呼びます。これは絶対値の三角不等式と必要十分です。

距離空間としての複素数空間

ユークリッド距離の基本的な性質を明らかにしましたが、得られた結果を改めて整理します。

集合\(X\)が与えられたとき、関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それが上の\(\left( M_{1}\right) \)から\(\left( M_{4}\right) \)に相当する性質を満たす場合には、それらの組\(\left( X,d\right) \)を距離空間（metric space）と呼びます。上の命題は、複素ユークリッド空間\(\left( \mathbb{C} ,d\right) \)が距離空間の1つであることを意味します。ここでは詳細に立ち入りませんが、複素ユークリッド空間の他にも距離空間の具体例は存在します。複素ユークリッド空間の一般化が距離空間です。距離空間については場を改めて詳しく解説します。

複素ユークリッド空間の部分距離空間

1次元の複素ユークリッド空間\(\left( \mathbb{C} ,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( z,w\right) \in \mathbb{C} \times \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}d\left( z,w\right) =\left\vert z-w\right\vert
\end{equation*}を定めるということです。先に示したように、ユークリッド距離関数\(d\)は以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall z,w\in \mathbb{C} :d\left( z,w\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall z,w\in \mathbb{C} :\left[ d(z,w)=0\Leftrightarrow z=w\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall z,w\in \mathbb{C} :d\left( z,w\right) =d\left( w,z\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall z,v,w\in \mathbb{C} :d\left( z,w\right) \leq d\left( z,v\right) +d\left( v,w\right)
\end{eqnarray*}を満たします。

\(\mathbb{C} \)の非空な部分集合\(A\)を任意に選びます。\(A\)の要素を成分とする順序対\(\left( z,w\right) \in A\times A\)を任意に選んだとき、\(A\subset \mathbb{C} \)ゆえに\(\left( z,w\right) \in \mathbb{C} \times \mathbb{C} \)であるため、\(\mathbb{C} \)上に定義されている距離関数\(d\)のもとで実数\(d\left( z,w\right) \)が定まることが保証されます。このような事情を踏まえると、\(A\)の要素を成分とするそれぞれの順序対\(\left( z,w\right) \in A\times A\)に対して、\begin{eqnarray*}d_{A}\left( z,w\right) &=&d\left( z,w\right) \\
&=&\left\vert z-w\right\vert
\end{eqnarray*}を値として定める新たな写像\begin{equation*}
d_{A}:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。この写像\(d_{A}\)もまた複素ユークリッド距離関数としての性質を満たすこと、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall z,w\in A:d_{A}\left( z,w\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall z,w\in A:\left[ d_{A}(z,w)=0\Leftrightarrow
z=w\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall z,w\in A:d_{A}\left( z,w\right) =d_{A}\left(
w,z\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall z,v,w\in A:d_{A}\left( z,w\right) \leq
d_{A}\left( z,v\right) +d_{A}\left( v,w\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことが示されます。したがって、\begin{equation*}
\left( A,d_{A}\right)
\end{equation*}は複素ユークリッド距離空間です。

つまり、1次元複素ユークリッド空間\(\left( \mathbb{C} ,d\right) \)の非空な部分集合\(A\)が与えられたとき、距離の測定対象となる点集合の範囲を\(\mathbb{C} \)から\(A\)へ制限した上で、それにあわせてユークリッド距離関数\(d\)の定義域を\(\mathbb{C} \times \mathbb{C} \)から\(A\times A\)へ制限して\(d_{A}\)とすれば\(\left( A,d_{A}\right) \)はそれ自体が複素ユークリッド距離空間になるということです。このような複素ユークリッド距離空間\(\left(A,d_{A}\right) \)をもとの空間\(\left( \mathbb{C} ,d\right) \)の部分距離空間（metric subspace）と呼びます。