複素数と実数の関係（虚数単位を用いた複素数の表現）

複素数としての実数

複素数空間\(\mathbb{C} \)上に定義された加法および乗法\begin{eqnarray*}+ &:&\mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \\
\cdot &:&\mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}と呼ばれる演算は、体としての性質\begin{eqnarray*}
&&\left( C_{1}\right) \ \forall z,v,w\in \mathbb{C} :\left( z+v\right) +w=z+\left( v+w\right) \\
&&\left( C_{2}\right) \ \exists \boldsymbol{0}\in \mathbb{C} ,\ \forall z\in \mathbb{C} :z+\boldsymbol{0}=z \\
&&\left( C_{3}\right) \ \forall z\in \mathbb{C} ,\ \exists -z\in \mathbb{C} :z+\left( -z\right) =\boldsymbol{0} \\
&&\left( C_{4}\right) \ \forall z,w\in \mathbb{C} :z+w=w+z \\
&&\left( C_{5}\right) \ \forall z,v,w\in \mathbb{C} :\left( zv\right) w=z\left( vw\right) \\
&&\left( C_{6}\right) \ \exists \boldsymbol{1}\in \mathbb{C} \backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} ,\ \forall z\in \mathbb{C} :z\boldsymbol{1}=z \\
&&\left( C_{7}\right) \ \forall z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} ,\ \exists z^{-1}\in \mathbb{C} :zz^{-1}=\boldsymbol{1} \\
&&\left( C_{8}\right) \ \forall z,w\in \mathbb{C} :zw=wz \\
&&\left( C_{9}\right) \ \forall z,v,w\in \mathbb{C} :\left( z+v\right) w=zw+vw
\end{eqnarray*}を満たすことが明らかになりました。以降では、複素数と実数の間の関係について考察します。

実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left( a,0\right) +\left( b,0\right) =\left(
a+b,0\right) \\
&&\left( b\right) \ \left( a,0\right) \left( b,0\right) =\left( ab,0\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、虚部が\(0\)であるような複素数だけを議論の対象とした場合、複素数どうしの加法と乗法を、複素数の実部どうしの加法と乗法と同一視することができます。このような事情を踏まえた上で、以降では複素数\(\left( a,0\right) \in \mathbb{C} \)を実数\(a\in \mathbb{R} \)と同一視します。

複素数体の部分体としての実数体

実数\(a,b,c\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。これらは複素数\(\left( a,0\right),\left( b,0\right) ,\left( c,0\right) \in \mathbb{C} \)と同一視されるため、複素数の加法に関する結合律\(\left( C_{1}\right) \)より、\begin{equation*}\left[ \left( a,0\right) +\left( b,0\right) \right] +\left( c,0\right)
=\left( a,0\right) +\left[ \left( b,0\right) +\left( c,0\right) \right] \end{equation*}が成り立ちますが、これは以下の命題\begin{equation*}
\left( a+b\right) +c=a+\left( b+c\right)
\end{equation*}と同一視されます。以上より、\begin{equation*}
\left( R_{1}\right) \ \forall a,b,c\in \mathbb{R} :\left( a+b\right) +c=a+\left( b+c\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりましたが、これは実数の加法に関する結合律に他なりません。つまり、複素数の加法に関する結合律\(\left( C_{1}\right) \)は実数の加法に関する結合律\(\left( R_{1}\right) \)を特殊例として含んでいます。

複素数のゼロは\(\boldsymbol{0}=\left( 0,0\right) \in \mathbb{C} \)と定義されるため、これは実数のゼロ\(0\in \mathbb{R} \)と同一視されます。実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。これは複素数\(\left( a,0\right) \in \mathbb{C} \)と同一視されます。すると、複素数に関する加法単位元の存在\(\left( C_{2}\right) \)より、\begin{equation*}\left( a,0\right) +\boldsymbol{0}=\left( a,0\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、これは以下の命題\begin{equation*}
a+0=a
\end{equation*}と同一視されます。以上より、\begin{equation*}
\left( R_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{R} ,\ \forall a\in \mathbb{R} :a+0=a
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりましたが、これは実数の加法単位元の存在に他なりません。つまり、複素数の加法単位元の存在\(\left( C_{2}\right) \)は実数の加法単位元の存在\(\left( R_{2}\right) \)を特殊例として含んでいます。

実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。これは複素数\(\left( a,0\right) \in \mathbb{C} \)と同一視されます。すると、複素数の加法逆元の存在\(\left( C_{2}\right) \)より、加法逆元\begin{equation*}-\left( a,0\right) =\left( -a,0\right)
\end{equation*}が存在して、\begin{equation*}
\left( a,0\right) +\left( -a,0\right) =\boldsymbol{0}
\end{equation*}が成り立ちますが、これは以下の命題\begin{equation*}
a+\left( -a\right) =0
\end{equation*}と同一視されます。以上より、\begin{equation*}
\left( R_{3}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \exists -a\in \mathbb{R} :a+\left( -a\right) =0
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりましたが、これは実数の加法逆元の存在に他なりません。つまり、複素数の加法逆元の存在\(\left( C_{3}\right) \)は実数の加法逆元の存在\(\left( R_{3}\right) \)を特殊例として含んでいます。

実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。これらは複素数\(\left( a,0\right),\left( b,0\right) \in \mathbb{C} \)と同一視されます。すると、複素数の加法に関する交換律\(\left(C_{4}\right) \)より、\begin{equation*}\left( a,0\right) +\left( b,0\right) =\left( b,0\right) +\left( a,0\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、これは以下の命題\begin{equation*}
a+b=b+a
\end{equation*}と同一視されます。以上より、\begin{equation*}
\left( R_{4}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} :a+b=b+a
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりましたが、これは実数の加法に関する交換律に他なりません。つまり、複素数の加法に関する交換律\(\left( C_{4}\right) \)は実数の加法に関する交換律\(\left( R_{4}\right) \)を特殊例として含んでいます。

実数\(a,b,c\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。これらは複素数\(\left( a,0\right),\left( b,0\right) ,\left( c,0\right) \in \mathbb{C} \)と同一視されます。すると、複素数の乗法に関する結合律\(\left(C_{5}\right) \)より、\begin{equation*}\left[ \left( a,0\right) \left( b,0\right) \right] \left( c,0\right) =\left(
a,0\right) \left[ \left( b,0\right) \left( c,0\right) \right] \end{equation*}が成り立ちますが、これは以下の命題\begin{equation*}
\left( ab\right) c=a\left( bc\right)
\end{equation*}と同一視されます。以上より、\begin{equation*}
\left( R_{5}\right) \ \forall a,b,c\in \mathbb{R} :\left( ab\right) c=a\left( bc\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりましたが、これは実数の乗法に関する結合律に他なりません。つまり、複素数の乗法に関する結合律\(\left( C_{5}\right) \)は実数の乗法に関する結合律\(\left( R_{5}\right) \)を特殊例として含んでいます。

複素数のイチは\(\boldsymbol{1}=\left( 1,0\right) \in \mathbb{C} \)と定義されるため、これは実数のイチ\(1\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)と同一視されます。実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。これは複素数\(\left( a,0\right) \in \mathbb{C} \)と同一視されます。すると、複素数に関する乗法単位元の存在\(\left( C_{6}\right) \)より、\begin{equation*}\left( a,0\right) \boldsymbol{1}=\left( a,0\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、これは以下の命題\begin{equation*}
a1=a
\end{equation*}と同一視されます。以上より、\begin{equation*}
\left( R_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall a\in \mathbb{R} :a1=a
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりましたが、これは実数に関する乗法単位元の存在に他なりません。つまり、複素数に関する乗法単位元の存在\(\left( C_{6}\right) \)は実数に関する乗法単位元の存在\(\left(R_{6}\right) \)を特殊例として含んでいます。

非ゼロの実数\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選びます。これは非ゼロの複素数\(\left( a,0\right) \in \mathbb{C} \backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)と同一視されます。すると、複素数の乗法逆元の存在\(\left( C_{7}\right) \)より、その乗法逆元\begin{eqnarray*}\left( a,0\right) ^{-1} &=&\left( \frac{a}{a^{2}+0^{2}},-\frac{0}{a^{2}+0^{2}}\right) \\
&=&\left( \frac{1}{a},0\right)
\end{eqnarray*}が存在して、\begin{equation*}
\left( a,0\right) \left( \frac{1}{a},0\right) =\boldsymbol{1}
\end{equation*}が成り立ちますが、これは以下の命題\begin{equation*}
a\frac{1}{a}=1
\end{equation*}と同一視されます。以上より、\begin{equation*}
\left( R_{7}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \exists \frac{1}{a}\in \mathbb{R} :a\frac{1}{a}=1
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりましたが、これは実数の乗法逆元の存在\(\left( R_{7}\right) \)に他なりません。つまり、複素数の乗法逆元の存在\(\left( C_{7}\right) \)は実数の乗法逆元の存在\(\left( R_{7}\right) \)を特殊例として含んでいます。

実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。これらは複素数\(\left( a,0\right),\left( b,0\right) \in \mathbb{C} \)と同一視されます。すると、複素数の乗法に関する交換律\(\left(C_{8}\right) \)より、\begin{equation*}\left( a,0\right) \left( b,0\right) =\left( b,0\right) \left( a,0\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、これは以下の命題\begin{equation*}
ab=ba
\end{equation*}と同一視されます。以上より、\begin{equation*}
\left( R_{8}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} :ab=ba
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりましたが、これは実数の乗法に関する交換律に他なりません。つまり、複素数の乗法に関する交換律\(\left( C_{8}\right) \)は実数の乗法に関する交換律\(\left( R_{8}\right) \)を特殊例として含んでいます。

実数\(a,b,c\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。これらは複素数\(\left( a,0\right),\left( b,0\right) ,\left( c,0\right) \in \mathbb{C} \)と同一視されます。すると、複素数の加法と乗法に関する結合律\(\left( C_{9}\right) \)より、\begin{equation*}\left[ \left( a,0\right) +\left( b,0\right) \right] \left( c,0\right)
=\left( a,0\right) \left( c,0\right) +\left( b,0\right) \left( c,0\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、これは以下の命題\begin{equation*}
\left( a+b\right) c=ac+bc
\end{equation*}と同一視されます。以上より、\begin{equation*}
\left( R_{9}\right) \ \forall a,b,c\in \mathbb{R} :\left( a+b\right) c=ac+bc
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりましたが、これは実数の加法と乗法に関する結合律に他なりません。つまり、複素数の加法と乗法に関する結合律\(\left( C_{9}\right) \)は実数の加法と乗法に関する結合律\(\left( R_{9}\right) \)を特殊例として含んでいます。

改めて結論を整理すると、複素数\(\left( a,0\right) \in \mathbb{C} \)を実数\(a\in \mathbb{R} \)と同一視する場合には、\begin{equation*}\mathbb{R} \subset \mathbb{C} \end{equation*}が成り立つとともに、\(\mathbb{R} \)は体としての性質\begin{eqnarray*}&&\left( R_{1}\right) \ \forall a,b,c\in \mathbb{R} :\left( a+b\right) +c=a+\left( b+c\right) \\
&&\left( R_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{R} ,\ \forall a\in \mathbb{R} :a+0=a \\
&&\left( R_{3}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \exists -a\in \mathbb{R} :a+\left( -a\right) =0 \\
&&\left( R_{4}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} :a+b=b+a \\
&&\left( R_{5}\right) \ \forall a,b,c\in \mathbb{R} :\left( ab\right) c=a\left( bc\right) \\
&&\left( R_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall a\in \mathbb{R} :a1=a \\
&&\left( R_{7}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \exists \frac{1}{a}\in \mathbb{R} :a\frac{1}{a}=1 \\
&&\left( R_{8}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} :ab=ba \\
&&\left( R_{9}\right) \ \forall a,b,c\in \mathbb{R} :\left( a+b\right) c=ac+bc
\end{eqnarray*}を満たします。以上の事実は、\(\mathbb{R} \)が\(\mathbb{C} \)の部分体であることを意味します。

虚数単位を用いた複素数の表現

実部が\(0\)であり虚部が\(1\)である複素数を、\begin{equation*}i=\left( 0,1\right) \in \mathbb{C} \end{equation*}で表記し、これを虚数単位（imaginary unit）と呼びます。

虚数単位どうしの積は、\begin{eqnarray*}
i^{2} &=&\left( 0,1\right) \left( 0,1\right) \quad \because \text{虚数単位の定義} \\
&=&\left( 0-1,0+0\right) \quad \because \text{複素数の乗法の定義} \\
&=&\left( -1,0\right) \\
&=&-1\quad \because \left( a,0\right) \text{と}a\text{を同一視}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
i^{2}=-1
\end{equation*}となります。

複素数\(z=\left( a,b\right) \in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}z &=&\left( a,b\right) \quad \because z=\left( a,b\right) \\
&=&\left( a,0\right) +\left( 0,b\right) \quad \because \text{複素数の加法の定義} \\
&=&\left( a,0\right) +\left( b,0\right) \left( 0,1\right) \quad \because
\text{複素数の乗法の定義} \\
&=&a+bi\quad \because \left( a,0\right) \text{と}a\text{を同一視および}i\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
z=a+bi
\end{equation*}が成り立ちます。

以上の命題を踏まえた上で、以降では複素数\begin{equation*}
z=\left( a,b\right)
\end{equation*}のことを、\begin{equation*}
z=a+bi
\end{equation*}と表記します。

虚部が\(0\)である複素数\(\left( a,0\right) \)は実数\(a\)と同一視されますが、虚数単位を用いてこれを表現すると、\begin{equation*}\left( a,0\right) =a+0i
\end{equation*}となります。

実部が\(0\)である複素数\(\left( 0,b\right) \)を虚数単位を用いて表現すると、\begin{eqnarray*}\left( 0,b\right) &=&0+bi \\
&=&\boldsymbol{0}+bi\quad \because \left( a,0\right) \text{と}a\text{を同一視} \\
&=&bi\quad \because \text{加法単位元}\boldsymbol{0}\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left( 0,b\right) =bi
\end{equation*}となります。この形の複素数を純虚数（pure imaginary number）と呼びます。

虚数単位を用いて表現された複素数の和

虚数単位を用いて表現された2つの複素数\begin{eqnarray}
z &=&a+bi \quad \cdots (1) \\
w &=&c+di \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}が与えられた状況を想定します。複素数の加法の定義にもとづいて和を計算すると、\begin{eqnarray*}
z+w &=&\left( a+bi\right) +\left( c+di\right) \\
&=&\left( a,b\right) +\left( c,d\right) \\
&=&\left( a+c,b+d\right) \quad \because \text{複素数の加法の定義} \\
&=&\left( a+c\right) +\left( b+d\right) i
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
z+w=\left( a+c\right) +\left( b+d\right) i \quad \cdots (3)
\end{equation}となります。その一方で、\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)を便宜的に変数\(i\)に関する多項式関数とみなした上で和をとると、\begin{eqnarray*}z+w &=&\left( a+bi\right) +\left( c+di\right) \\
&=&\left( a+c\right) +\left( b+d\right) i
\end{eqnarray*}となり、\(\left( 3\right) \)と同じ結果が得られます。

以上の議論より、虚数単位\(i\)を用いて表現された複素数どうしの和をとる場合には、それらを変数\(i\)に関する多項式とみなした上で和をとってもよいことが明らかになりました。

虚数単位を用いて表現された複素数の差

虚数単位を用いて表現された2つの複素数\begin{eqnarray}
z &=&a+bi \quad \cdots (1) \\
w &=&c+di \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}が与えられた状況を想定します。複素数の減法の定義にもとづいて差を計算すると、\begin{eqnarray*}
z-w &=&\left( a+bi\right) -\left( c+di\right) \\
&=&\left( a,b\right) -\left( c,d\right) \\
&=&\left( a-c,b-d\right) \quad \because \text{複素数の減法の定義} \\
&=&\left( a-c\right) +\left( b-d\right) i
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
z-w=\left( a-c\right) +\left( b-d\right) i \quad \cdots (3)
\end{equation}となります。その一方で、\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)を便宜的に変数\(i\)に関する多項式関数とみなした上で差をとると、\begin{eqnarray*}z-w &=&\left( a+bi\right) -\left( c+di\right) \\
&=&\left( a-c\right) +\left( b-d\right) i
\end{eqnarray*}となり、\(\left( 3\right) \)と同じ結果が得られます。

以上の議論より、虚数単位\(i\)を用いて表現された複素数どうしの差をとる場合には、それらを変数\(i\)に関する多項式とみなした上で差をとってもよいことが明らかになりました。

虚数単位を用いて表現された複素数の乗法

虚数単位を用いて表現された2つの複素数\begin{eqnarray}
z &=&a+bi \quad \cdots (1) \\
w &=&c+di \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}が与えられた状況を想定します。複素数の乗法の定義にもとづいて積を計算すると、\begin{eqnarray*}
zw &=&\left( a+bi\right) \left( c+di\right) \\
&=&\left( a,b\right) \left( c,d\right) \\
&=&\left( ac-bd,ad+bc\right) \quad \because \text{複素数の乗法の定義} \\
&=&\left( ac-bd\right) +\left( ad+bc\right) i
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
zw=\left( ac-bd\right) +\left( ad+bc\right) i \quad \cdots (3)
\end{equation}となります。その一方で、\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)を便宜的に変数\(i\)に関する多項式関数とみなした上で積をとると、\begin{eqnarray*}zw &=&\left( a+bi\right) \left( c+di\right) \\
&=&ac+adi+bci+bdi^{2} \\
&=&ac+adi+bci-bd\quad \because i^{2}=-1 \\
&=&\left( ac-bd\right) +\left( ad+bc\right) i
\end{eqnarray*}となり、\(\left( 3\right) \)と同じ結果が得られます。

以上の議論より、虚数単位\(i\)を用いて表現された複素数どうしの積をとる場合には、それらを変数\(i\)に関する多項式とみなした上で積をとってもよいことが明らかになりました。計算の過程で\(i^{2}\)が現れた場合にはそれを\(-1\)に置き換えます。

虚数単位を用いて表現された複素数の除法

虚数単位を用いて表現された2つの複素数\begin{eqnarray}
z &=&a+bi \quad \cdots (1) \\
w &=&c+di \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}が与えられた状況を想定します。ただし、\(w\not=\boldsymbol{0}\)すなわち\(w\not=0\)です。複素数の除法の定義にもとづいて商を計算すると、\begin{eqnarray*}\frac{z}{w} &=&\frac{a+bi}{c+di} \\
&=&\frac{\left( a,b\right) }{\left( c,d\right) } \\
&=&\left( \frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}},\frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}\right) \\
&=&\left( \frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}\right) +\left( \frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}\right) i
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
zw=\left( \frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}\right) +\left( \frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}\right) i \quad \cdots (3)
\end{equation}となります。その一方で、\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)を便宜的に変数\(i\)に関する多項式関数とみなした上で商をとると、\begin{eqnarray*}\frac{z}{w} &=&\frac{a+bi}{c+di} \\
&=&\frac{\left( a+bi\right) \left( c-di\right) }{\left( c+di\right) \left(
c-di\right) } \\
&=&\frac{ac-adi+bci-bdi^{2}}{c^{2}-cdi+cdi-d^{2}i^{2}} \\
&=&\frac{ac-adi+bci+bd}{c^{2}+d^{2}}\quad \because i^{2}=-1 \\
&=&\left( \frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}\right) +\left( \frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}\right) i
\end{eqnarray*}となり、\(\left( 3\right) \)と同じ結果が得られます。

以上の議論より、虚数単位\(i\)を用いて表現された複素数どうしの商をとる場合には、それらを変数\(i\)に関する多項式とみなした上で商をとってもよいことが明らかになりました。計算の過程で\(i^{2}\)が現れた場合にはそれを\(-1\)に置き換えます。

虚数単位を用いて表現された複素数を極形式に変換する

虚数単位を用いて表現された非ゼロの複素数\begin{equation*}
z=a+bi
\end{equation*}が与えられた状況を想定します。\(z\not=\boldsymbol{0}\)すなわち\(z\not=0\)です。この複素数の実部と虚部は、\begin{equation*}z=\left( a,b\right)
\end{equation*}であるため、\(z\)の絶対値は、\begin{equation*}\left\vert z\right\vert =\sqrt{a^{2}+b^{2}}
\end{equation*}と定まります。\(z\)の実部が\(a\not=0\)を満たす場合には、\(z\)の偏角は、\begin{equation*}\tan \left( \arg \left( z\right) \right) =\frac{\mathrm{Im}\left( z\right) }{\mathrm{Re}\left( z\right) }=\frac{b}{a}
\end{equation*}を満たします。正接関数は単射ではないため、以上の関係を満たす\(\arg \left( z\right) \)の値、すなわち、\begin{equation*}\arg \left( z\right) =\arctan \left( \frac{b}{a}\right)
\end{equation*}は一意的に定まりません。以上の条件を満たす\(\arg \left( z\right) \)を特定した上で、その中から適当な値を選ぶことになります。その上で、\(z\)の極形式が、\begin{eqnarray*}z &=&\left( \left\vert z\right\vert \cos \left( \arg \left( z\right) \right)
,\left\vert z\right\vert \sin \left( \arg \left( z\right) \right) \right) \\
&=&\left\vert z\right\vert \cos \left( \arg \left( z\right) \right)
+\left\vert z\right\vert \sin \left( \arg \left( z\right) \right) i \\
&=&\left\vert z\right\vert \left[ \cos \left( \arg \left( z\right) \right)
+\sin \left( \arg \left( z\right) \right) i\right] \end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
z=\left\vert z\right\vert \left[ \cos \left( \arg \left( z\right) \right)
+\sin \left( \arg \left( z\right) \right) i\right] \end{equation*}と定まります。

演習問題