確認テスト I（複素数の定義）

以下の複素数を\(a+bi\ \left( a,b\in \mathbb{R} \right) \)の形で表現してください（各5点）。\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left( 1-i\right) ^{3} \\
&&\left( b\right) \ \frac{\left( 2+3i\right) \left( 4-5i\right) }{3-4i} \\
&&\left( c\right) \ i^{n}\ \left( n\in \mathbb{N} \right)
\end{eqnarray*}

以下の複素数の絶対値を求めてください（各5点）。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ -2i\left( 3+i\right) \left( 2-4i\right) \left(
1+i\right) \\
&&\left( b\right) \ \frac{\left( -1+2i\right) \left( 3-2i\right) }{\left(
1+i\right) \left( 3-4i\right) }
\end{eqnarray*}

2つの異なる複素数\(z,w\in \mathbb{C} \)について、\begin{equation*}\left\vert z\right\vert =\left\vert w\right\vert
\end{equation*}が成り立つ場合には、以下の複素数\begin{equation*}
\frac{z+w}{z-w}
\end{equation*}が純虚数であることを証明してください。

複素数\(z,w\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、以下の等式\begin{equation*}\left\vert z+w\right\vert ^{2}+\left\vert z-w\right\vert ^{2}=2\left(
\left\vert z\right\vert ^{2}+\left\vert w\right\vert ^{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

2つの異なる複素数\(z,w\in \mathbb{C} \)について、\(\left\vert z\right\vert =1\)または\(\left\vert w\right\vert =1\)の少なくとも一方が成り立つ場合には、\begin{equation*}\left\vert \frac{z-w}{1-\overline{z}w}\right\vert =1
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

複素数\(z,w\in \mathbb{C} \)について、\(\left\vert z\right\vert <1\)かつ\(\left\vert w\right\vert <1\)が成り立つ場合には、\begin{equation*}\left\vert \frac{z-w}{1-\overline{z}w}\right\vert <1
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。