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複素数の定義

複素数の除法(複素数の商)

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複素数の除法

複素数\(z\in \mathbb{C} \)および非ゼロの複素数\(w\in \mathbb{C} \backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\frac{z}{w}=zw^{-1}
\end{equation*}と定義される複素数\(\frac{z}{w}\)を\(z\)と\(w\)の(quotient)と呼びます。つまり、商\(\frac{z}{w}\)は\(z\)と\(w\)の乗法逆元\(w^{-1}\)の積として定義されます。

複素数\(z\in \mathbb{C} \)および非ゼロの複素数\(w\in \mathbb{C} \backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)を任意に選びます。非ゼロの複素数の加法逆元は複素数であるため\(w^{-1}\in \mathbb{C} \)です。さらに複素数どうしの積は複素数であるため\(zw^{-1}\in \mathbb{C} \)です。以上の事実と複素数の商の定義より、\begin{equation*}\forall z\in \mathbb{C} ,\ \forall w\in \mathbb{C} \backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\frac{z}{w}\in \mathbb{C} \end{equation*}を得ます。このような事情を踏まえると、それぞれの順序対\(\left( z,w\right) \in \mathbb{C} \times \mathbb{C} \backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)に対して商\(\frac{z}{w}\in \mathbb{Q} \)を1つずつ定める二項演算\begin{equation*}/:\mathbb{C} \times \mathbb{C} \backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \rightarrow \mathbb{Q} \end{equation*}が定義可能です。この演算を複素数の除法(division of complex numbers)と呼びます。順序対\(\left( z,w\right) \)に対して除法\(/\)を適用することを\(z\)を\(w\)で割る(devide)と言います。

複素数\(z\in \mathbb{C} \)および非ゼロの複素数\(w\in \mathbb{C} \backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\frac{z}{w} &=&zw^{-1}\quad \because \text{複素数の除法の定義} \\
&=&\left( \mathrm{Re}\left( z\right) ,\mathrm{Im}\left( z\right) \right) \left(
\frac{\mathrm{Re}\left( w\right) }{\left[ \mathrm{Re}\left( w\right) \right] ^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( w\right) \right] ^{2}},-\frac{\mathrm{Im}\left(
w\right) }{\left[ \mathrm{Re}\left( w\right) \right] ^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( w\right) \right] ^{2}}\right) \because \text{複素数の加法逆元の定義} \\
&=&\left( \frac{\mathrm{Re}\left( z\right) \mathrm{Re}\left( w\right) +\mathrm{Im}\left( z\right) \mathrm{Im}\left( w\right) }{\left[ \mathrm{Re}\left( w\right) \right] ^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( w\right) \right] ^{2}},\frac{-\mathrm{Re}\left( z\right) \mathrm{Im}\left( w\right) +\mathrm{Im}\left( z\right) \mathrm{Re}\left( w\right) }{\left[ \mathrm{Re}\left( w\right) \right] ^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( w\right) \right] ^{2}}\right) \because \text{複素数の乗法の定義} \\
&=&\left( \frac{\mathrm{Re}\left( z\right) \mathrm{Re}\left( w\right) +\mathrm{Im}\left( z\right) \mathrm{Im}\left( w\right) }{\left[ \mathrm{Re}\left( w\right) \right] ^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( w\right) \right] ^{2}},\frac{\mathrm{Im}\left( z\right) \mathrm{Re}\left( w\right) -\mathrm{Re}\left( z\right) \mathrm{Im}\left( w\right) }{\left[ \mathrm{Re}\left( w\right) \right] ^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( w\right) \right] ^{2}}\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{z}{w}=\left( \frac{\mathrm{Re}\left( z\right) \mathrm{Re}\left( w\right) +\mathrm{Im}\left( z\right) \mathrm{Im}\left( w\right) }{\left[ \mathrm{Re}\left(
w\right) \right] ^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( w\right) \right] ^{2}},\frac{\mathrm{Im}\left( z\right) \mathrm{Re}\left( w\right) -\mathrm{Re}\left( z\right)
\mathrm{Im}\left( w\right) }{\left[ \mathrm{Re}\left( w\right) \right] ^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( w\right) \right] ^{2}}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

例(複素数の減法)
2つの複素数\begin{eqnarray*}
\left( a,b\right) &\in &\mathbb{C} \\
\left( c,d\right) &\in &\mathbb{C} \backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\}
\end{eqnarray*}を任意に選んだとき、それらの商は、\begin{eqnarray*}
\frac{\left( a,b\right) }{\left( c,d\right) } &=&\left( a,b\right) \left(
c,d\right) ^{-1} \\
&=&\left( \frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}},\frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}\right)
\end{eqnarray*}となります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\frac{\left( 1,0\right) }{\left( 0,1\right) } &=&\left( \frac{0+0}{0^{2}+1^{2}},\frac{0-1}{0^{2}+1^{2}}\right) \\
&=&\left( \frac{0}{1},\frac{-1}{1}\right) \\
&=&\left( 0,-1\right)
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\frac{\left( 0,1\right) }{\left( 1,0\right) } &=&\left( \frac{0+0}{1^{2}+0^{2}},\frac{1-0}{1^{2}+0^{2}}\right) \\
&=&\left( \frac{0}{1},\frac{1}{1}\right) \\
&=&\left( 0,1\right)
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\frac{\left( 1,-1\right) }{\left( -2,3\right) } &=&\left( \frac{-2-3}{\left(
-2\right) ^{2}+3^{2}},\frac{2-3}{\left( -2\right) ^{2}+3^{2}}\right) \\
&=&\left( \frac{-5}{13},\frac{-1}{13}\right)
\end{eqnarray*}です。

 

複素数の商の極形式

非ゼロの複素数\(z_{1},z_{2}\in \mathbb{C} \backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)の極形式\begin{eqnarray*}z_{1} &=&\left( r_{1}\cos \left( \theta _{1}\right) ,r_{1}\sin \left( \theta
_{1}\right) \right) \\
z_{2} &=&\left( r_{2}\cos \left( \theta _{2}\right) ,r_{2}\sin \left( \theta
_{2}\right) \right)
\end{eqnarray*}が与えられている場合、これらの商は、\begin{equation*}
\frac{z_{1}}{z_{2}}=\left( \frac{r_{1}}{r_{2}}\cos \left( \theta _{1}-\theta
_{2}\right) ,\frac{r_{1}}{r_{2}}\sin \left( \theta _{1}-\theta _{2}\right)
\right)
\end{equation*}となります。つまり、2つの複素数\(z_{1},z_{2}\)とこれらの商\(\frac{z_{1}}{z_{2}}\)の絶対値と偏角の間には以下の関係\begin{eqnarray*}\left\vert \frac{z_{1}}{z_{2}}\right\vert &=&\frac{\left\vert
z_{1}\right\vert }{\left\vert z_{2}\right\vert } \\
\arg \left( \frac{z_{1}}{z_{2}}\right) &=&\arg \left( z_{1}\right) -\arg
\left( z_{2}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。2つの複素数\(z_{1},z_{2}\)の商をとることとは、それらの絶対値どうしの商をとり、偏角どうしの差をとることを意味するということです。

命題(複素数の商の極形式)
非ゼロの複素数\(z_{1},z_{2}\in \mathbb{C} \backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)の極形式\begin{eqnarray*}z_{1} &=&\left( r_{1}\cos \left( \theta _{1}\right) ,r_{1}\sin \left( \theta
_{1}\right) \right) \\
z_{2} &=&\left( r_{2}\cos \left( \theta _{2}\right) ,r_{2}\sin \left( \theta
_{2}\right) \right)
\end{eqnarray*}が与えられたとき、商\(\frac{z_{1}}{z_{2}}\in \mathbb{C} \)の極形式は、\begin{equation*}\frac{z_{1}}{z_{2}}=\left( \frac{r_{1}}{r_{2}}\cos \left( \theta _{1}-\theta
_{2}\right) ,\frac{r_{1}}{r_{2}}\sin \left( \theta _{1}-\theta _{2}\right)
\right)
\end{equation*}となる。

証明

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例(複素数の商の極形式)
複素数\(z_{1},z_{2}\in \mathbb{C} \)がそれぞれ極形式\begin{eqnarray*}z_{1} &=&\left( 5\cos \left( \frac{5\pi }{2}\right) ,5\sin \left( \frac{5\pi
}{2}\right) \right) \\
z_{2} &=&\left( 7\cos \left( \frac{3\pi }{4}\right) ,7\sin \left( \frac{3\pi
}{4}\right) \right)
\end{eqnarray*}で表現されているものとします。これらの商\(\frac{z_{1}}{z_{2}}\)の絶対値は、\begin{eqnarray*}\left\vert \frac{z_{1}}{z_{2}}\right\vert &=&\frac{\left\vert
z_{1}\right\vert }{\left\vert z_{2}\right\vert } \\
&=&\frac{5}{7}
\end{eqnarray*}であり、偏角は、\begin{eqnarray*}
\arg \left( \frac{z_{1}}{z_{2}}\right) &=&\arg \left( z_{1}\right) -\arg
\left( z_{2}\right) \\
&=&\frac{5\pi }{2}-\frac{3\pi }{4} \\
&=&\frac{7\pi }{4}
\end{eqnarray*}であるため、\(\frac{z_{1}}{z_{2}}\)の極形式は、\begin{equation*}\left( \frac{5}{7}\cos \left( \frac{7\pi }{4}\right) ,\frac{5}{7}\sin \left(
\frac{7\pi }{4}\right) \right)
\end{equation*}となります。

 

複素数除法の幾何学的解釈

非ゼロの複素数\(z_{1},z_{2}\in \mathbb{C} \backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)の極形式\begin{eqnarray*}z_{1} &=&\left( r_{1}\cos \left( \theta _{1}\right) ,r_{1}\sin \left( \theta
_{1}\right) \right) \\
z_{2} &=&\left( r_{2}\cos \left( \theta _{2}\right) ,r_{2}\sin \left( \theta
_{2}\right) \right)
\end{eqnarray*}が与えられており、これらが複素平面上の点として表現されているものとします(下図)。

図:複素数の除法
図:複素数の除法

先の命題より、商\(\frac{z_{1}}{z_{2}}\in \mathbb{C} \)の極形式は、\begin{equation*}\frac{z_{1}}{z_{2}}=\left( \frac{r_{1}}{r_{2}}\cos \left( \theta _{1}-\theta
_{2}\right) ,\frac{r_{1}}{r_{2}}\sin \left( \theta _{1}-\theta _{2}\right)
\right)
\end{equation*}であるため、複素数\(z_{1},z_{2}\)と商\(\frac{z_{1}}{z_{2}}\)の絶対値と偏角の間には以下の関係\begin{eqnarray*}\left\vert \frac{z_{1}}{z_{2}}\right\vert &=&\frac{\left\vert
z_{1}\right\vert }{\left\vert z_{2}\right\vert } \\
\arg \left( \frac{z_{1}}{z_{2}}\right) &=&\arg \left( z_{1}\right) -\arg
\left( z_{2}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、動径\(Oz_{1}\)を時計回りに\(\arg \left( z_{2}\right) =\theta_{2}\)だけ回転した上で、その長さを\(\frac{1}{\left\vert z_{2}\right\vert }=\frac{1}{r_{2}}\)倍すれば、商\(\frac{z_{1}}{z_{2}}\)を表す複素平面上の点が得られます。

 

乗法単位元との除法

複素数の乗法単位元であるイチ\begin{equation*}
\boldsymbol{1}=\left( 1,0\right) \in \mathbb{C} \end{equation*}は非ゼロの複素数であるため、任意の複素数\(z\)を\(\boldsymbol{1}\)で割ることができますが、それについては、\begin{equation*}\frac{z}{\boldsymbol{1}}=z
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、任意の複素数を\(\boldsymbol{1}\)で割っても変化は起こりません。また、\(\boldsymbol{1}\)は複素数であるためこれを非ゼロの複素数\(z\)で割ることができますが、それについては、\begin{equation*}\frac{\boldsymbol{1}}{z}=z^{-1}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\boldsymbol{1}\)を非ゼロの複素数で割るとその複素数の乗法逆元が得られます。

命題(乗法単位元との除法)
複素数\(z\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\frac{z}{\boldsymbol{1}}=z
\end{equation*}が成り立ち、非ゼロの複素数\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\frac{\boldsymbol{1}}{z}=z^{-1}
\end{equation*}が成り立つ。

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積や商の乗法逆元

\(\mathbb{C} \)は乗法について閉じているため、非ゼロの複素数\(z,w\)を任意に選んだとき、これらの積\(zw\)は複素数です。しかも、後ほど示すように\(z,w\)が非ゼロの場合には\(zw\)もまた非ゼロであるため、乗法逆元\(\left( zw\right) ^{-1}\)は複素数として定まります。しかも、\begin{equation*}\left( zw\right) ^{-1}=z^{-1}w^{-1}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、積の乗法逆元は乗法逆元の積と一致します。

\(\mathbb{C} \backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)は除法について閉じているため、非ゼロの複素数\(z,w\)を任意に選んだとき、これらの商\(\frac{z}{w}\)は複素数です。しかも、後ほど示すように\(z,w\)が非ゼロの場合には\(\frac{z}{w}\)もまた非ゼロであるため、乗法逆元\(\left( \frac{z}{w}\right) ^{-1}\)は複素数として定まります。しかも、\begin{equation*}\left( \frac{z}{w}\right) ^{-1}=\frac{w}{z}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、商の乗法逆元はもとの商の逆数と一致します。

命題(積や商の乗法逆元)
非ゼロの複素数\(z,w\in \mathbb{C} \backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left( zw\right) ^{-1}=z^{-1}w^{-1} \\
&&\left( b\right) \ \left( \frac{z}{w}\right) ^{-1}=\frac{w}{z}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。

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演習問題

問題(複素数の除法)
以下の複素数を標準形で表現してください。

  1. \(\frac{\left( 2,1\right) }{\left( -3,-2\right) }\)
  2. \(\frac{\left( 1,1\right) }{\left( 1,-1\right) }\)
  3. \(\frac{\left( 1,-1\right) }{\left( 1,1\right) }\)
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問題(乗法逆元の商の乗法逆元)
非ゼロの複素数\(z,w\in \mathbb{C} \backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( \frac{z^{-1}}{w^{-1}}\right) ^{-1}=\frac{z}{w}
\end{equation*}が成り立つことを示してください。

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問題(3つの複素数の積の乗法逆元)
非ゼロの複素数\(z,v,w\in \mathbb{C} \backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( zvw\right) ^{-1}=z^{-1}v^{-1}w^{-1}
\end{equation*}が成り立つことを示してください。

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