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複素数の定義

複素数の指数表現(複素指数関数とオイラーの公式)

目次

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複素指数関数

自然指数関数\begin{equation*}
e^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はマクローリン展開可能であり、点\(0\)とは異なる点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}e^{x}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots
\end{equation*}が成り立ちます。また、点\(0\)については、\begin{eqnarray*}e^{0} &=&1 \\
&=&1+\frac{0}{1!}+\frac{0^{2}}{2!}+\frac{0^{3}}{3!}+\cdots
\end{eqnarray*}が成り立つため、任意の\(x\in \mathbb{R} \)において、\begin{equation*}e^{x}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots
\end{equation*}が成り立ちます。では、自然指数関数\(e^{x}\)の定義域を数直線\(\mathbb{R} \)から複素平面\(\mathbb{C} \)へ拡張して、\begin{equation*}e^{z}:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}とするためにはどうすればよいでしょうか。順番に考えます。

後ほど複素数の無限級数に関する議論から明らかになるように、複素数\(z\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、以下の無限級数\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{z^{n}}{n!}=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^{2}}{2!}+\frac{z^{3}}{3!}+\cdots
\end{equation*}は複素数へ収束します。このような事情を踏まえると、それぞれの複素数\(z\in \mathbb{C} \)に対して、以下の複素数\begin{equation*}e^{z}=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^{2}}{2!}+\frac{z^{3}}{3!}+\cdots
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
e^{z}:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能です。これを複素指数関数(complex exponential function)と呼びます。複素指数関数を、\begin{equation*}
\exp \left( z\right) :\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}と表記することもできます。

通常の指数関数と同様に、複素指数関数\(e^{z}:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)に関しても指数法則\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall z,w\in \mathbb{C} :e^{z}e^{w}=e^{z+w} \\
&&\left( b\right) \ \forall z\in \mathbb{C} :e^{z}\not=0 \\
&&\left( c\right) \ \forall z\in \mathbb{C} :e^{-z}=\frac{1}{e^{z}} \\
&&\left( d\right) \ \forall z,w\in \mathbb{C} :e^{z-w}=\frac{e^{z}}{e^{w}}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。証明には複素数の無限級数に関する知識が必要であるため、必要な知識が揃った段階で行います。

命題(指数法則)
複素指数関数\(e^{z}:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)に関して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall z,w\in \mathbb{C} :e^{z}e^{w}=e^{z+w} \\
&&\left( b\right) \ \forall z\in \mathbb{C} :e^{z}\not=0 \\
&&\left( c\right) \ \forall z\in \mathbb{C} :e^{-z}=\frac{1}{e^{z}} \\
&&\left( d\right) \ \forall z,w\in \mathbb{C} :e^{z-w}=\frac{e^{z}}{e^{w}}
\end{eqnarray*}が成り立つ。

 

オイラーの公式

複素指数関数\(e^{z}:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、以下の複素数\begin{equation}e^{z}=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^{2}}{2!}+\frac{z^{3}}{3!}+\cdots \quad \cdots (1)
\end{equation}を値として定める関数として定義されます。

実数\(\theta \in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、これと虚数単位\(i\in \mathbb{C} \)の積\(i\theta \in \mathbb{C} \)は複素数であるため、\(\left( 1\right) \)において\(z=i\theta \)とおくと、\begin{eqnarray*}e^{i\theta } &=&1+\frac{i\theta }{1!}+\frac{\left( i\theta \right) ^{2}}{2!}+\frac{\left( i\theta \right) ^{3}}{3!}+\cdots \\
&=&1+\frac{i\theta }{1!}+\frac{i^{2}\theta ^{2}}{2!}+\frac{i^{3}\theta ^{3}}{3!}+\cdots \\
&=&1+\frac{i\theta }{1!}-\frac{\theta ^{2}}{2!}-\frac{i\theta ^{3}}{3!}+\cdots
\end{eqnarray*}を得ますが、さらにこれを変形することにより、\begin{equation*}
e^{i\theta }=\cos \left( \theta \right) +i\sin \left( \theta \right)
\end{equation*}を得ます。これをオイラーの公式(Euler’s formula)と呼びます。

命題(オイラーの公式)

実数\(\theta \in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}e^{i\theta }=\cos \left( \theta \right) +i\sin \left( \theta \right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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複素指数関数の代替的な表現

複素指数関数\(e^{z}:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、以下の複素数\begin{equation*}e^{z}=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^{2}}{2!}+\frac{z^{3}}{3!}+\cdots
\end{equation*}を値として定める関数として定義されます。その一方で、オイラーの公式より、任意の\(\theta \in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}e^{i\theta }=\cos \left( \theta \right) +i\sin \left( \theta \right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。複素数\(z\in \mathbb{C} \)は何らかの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation}z=x+iy \quad \cdots (2)
\end{equation}と表現されることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
e^{z} &=&e^{x+iy}\quad \because \left( 2\right) \\
&=&e^{x}e^{iy}\quad \because \text{指数法則} \\
&=&e^{x}\left[ \cos \left( y\right) +i\sin \left( y\right) \right] \quad
\because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
e^{z}=e^{x}\left[ \cos \left( y\right) +i\sin \left( y\right) \right] \end{equation*}を得ます。議論の結果を命題としてまとめます。

命題(複素指数関数の代替的な表現)
複素指数関数\(e^{z}:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(x+iy\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}e^{x+iy}=e^{x}\left[ \cos \left( y\right) +i\sin \left( y\right) \right] \end{equation*}を定める。すなわち、\begin{eqnarray*}
\mathrm{Re}\left( e^{x+iy}\right) &=&e^{x}\cos \left( y\right) \\
\mathrm{Im}\left( e^{x+iy}\right) &=&e^{x}\sin \left( y\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。

例(複素指数関数の値)
複素指数関数\(e^{z}:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)が複素数\(2+i\pi \in \mathbb{C} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}e^{2+i\pi } &=&e^{2}\left[ \cos \left( \pi \right) +i\sin \left( \pi \right) \right] \\
&=&e^{2}\left( -1+i0\right) \\
&=&-e^{2}
\end{eqnarray*}です。

例(複素指数関数の値)
複素指数関数\(e^{z}:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)が複素数\(3-i\frac{\pi }{3}\in \mathbb{C} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}e^{3-i\frac{\pi }{3}} &=&e^{3}\left[ \cos \left( -\frac{\pi }{3}\right)
+i\sin \left( -\frac{\pi }{3}\right) \right] \\
&=&e^{3}\left( \frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\
&=&\frac{e^{3}}{2}-i\frac{\sqrt{3}e^{3}}{2}
\end{eqnarray*}です。

 

複素数の指数表現

非ゼロの複素数\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)の極形式\begin{equation}z=r\left[ \cos \left( \theta \right) +i\sin \left( \theta \right) \right] \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。オイラーの公式が、\begin{equation}
e^{i\theta }=\cos \left( \theta \right) +i\sin \left( \theta \right)
\quad \cdots (2)
\end{equation}であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
z &=&r\left[ \cos \left( \theta \right) +i\sin \left( \theta \right) \right] \quad \because \left( 1\right) \\
&=&re^{i\theta }
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
z=re^{i\theta }=r\exp \left( i\theta \right)
\end{equation*}を得ます。これを複素数\(z\)の指数表現(exponential representation)と呼びます。議論の結果を命題としてまとめます。

命題(複素数の指数表現)
非ゼロの複素数\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)の極形式\begin{equation*}z=r\left[ \cos \left( \theta \right) +i\sin \left( \theta \right) \right] \end{equation*}が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}
z=re^{i\theta }=r\exp \left( i\theta \right)
\end{equation*}が成り立つ。

例(複素数の指数表現)
以下の複素数\begin{equation*}
z=-7\sqrt{3}+7i
\end{equation*}の絶対値は、\begin{eqnarray*}
r &=&\sqrt{\left( -7\sqrt{3}\right) ^{2}+7^{2}} \\
&=&14
\end{eqnarray*}です。また、\begin{eqnarray*}
\tan \left( \theta \right) &=&\frac{\mathrm{Im}\left( z\right) }{\mathrm{Re}\left( z\right) } \\
&=&\frac{7}{-7\sqrt{3}} \\
&=&-\frac{1}{\sqrt{3}}
\end{eqnarray*}を満たす\(\theta \)は、\begin{equation*}\theta =-\frac{1}{6}\pi +n\pi \quad \left( n\in \mathbb{Z} \right)
\end{equation*}です。点\(z\)は第2象限上に存在するため、偏角の主値は、\begin{eqnarray*}\theta &=&-\frac{1}{6}\pi +\pi \\
&=&\frac{5}{6}\pi
\end{eqnarray*}となります。したがって、\(z\)の極形式は、\begin{eqnarray*}z &=&r\left[ \cos \left( \theta \right) +i\sin \left( \theta \right) \right] \\
&=&14\left[ \cos \left( \frac{5}{6}\pi \right) +i\sin \left( \frac{5}{6}\pi
\right) \right] \end{eqnarray*}であり、\(z\)の指数表現は、\begin{eqnarray*}z &=&r\exp \left( i\theta \right) \\
&=&14\exp \left( i\frac{5}{6}\pi \right)
\end{eqnarray*}となります。

 

指数表現された複素数の和

指数表現された2つの非ゼロの複素数\begin{eqnarray*}
z_{1} &=&r_{1}e^{i\theta _{1}} \\
z_{2} &=&r_{2}e^{i\theta _{2}}
\end{eqnarray*}が与えられた状況を想定します。これらの和の指数表現を、\begin{equation*}
z_{1}+z_{2}=r_{3}e^{i\theta _{3}}
\end{equation*}で表記する場合、以下の関係\begin{eqnarray*}
r_{3} &=&\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+2r_{1}r_{2}\cos \left( \theta _{1}-\theta
_{2}\right) } \\
\theta _{3} &=&\arctan \left( \frac{r_{1}\sin \left( \theta _{1}\right)
+r_{2}\sin \left( \theta _{2}\right) }{r_{1}\cos \left( \theta _{1}\right)
+r_{2}\cos \left( \theta _{2}\right) }\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、\begin{equation*}
z_{1}+z_{2}=\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+2r_{1}r_{2}\cos \left( \theta
_{1}-\theta _{2}\right) }\exp \left( i\arctan \left( \frac{r_{1}\sin \left(
\theta _{1}\right) +r_{2}\sin \left( \theta _{2}\right) }{r_{1}\cos \left(
\theta _{1}\right) +r_{2}\cos \left( \theta _{2}\right) }\right) \right)
\end{equation*}が成り立つということです。

命題(指数表現された複素数の和)
指数表現された2つの非ゼロの複素数\begin{eqnarray*}
z_{1} &=&r_{1}e^{i\theta _{1}} \\
z_{2} &=&r_{2}e^{i\theta _{2}}
\end{eqnarray*}の和の指数表現を、\begin{equation*}
z_{1}+z_{2}=r_{3}e^{i\theta _{3}}
\end{equation*}とするとき、以下の関係\begin{eqnarray*}
r_{3} &=&\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+2r_{1}r_{2}\cos \left( \theta _{1}-\theta
_{2}\right) } \\
\theta _{3} &=&\arctan \left( \frac{r_{1}\sin \left( \theta _{1}\right)
+r_{2}\sin \left( \theta _{2}\right) }{r_{1}\cos \left( \theta _{1}\right)
+r_{2}\cos \left( \theta _{2}\right) }\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。

証明

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指数表現された複素数の差

指数表現された2つの非ゼロの複素数\begin{eqnarray*}
z_{1} &=&r_{1}e^{i\theta _{1}} \\
z_{2} &=&r_{2}e^{i\theta _{2}}
\end{eqnarray*}が与えられた状況を想定します。これらの差の指数表現を、\begin{equation*}
z_{1}-z_{2}=r_{3}e^{i\theta _{3}}
\end{equation*}で表記する場合、以下の関係\begin{eqnarray*}
r_{3} &=&\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos \left( \theta _{1}-\theta
_{2}\right) } \\
\theta _{3} &=&\arctan \left( \frac{r_{1}\sin \left( \theta _{1}\right)
-r_{2}\sin \left( \theta _{2}\right) }{r_{1}\cos \left( \theta _{1}\right)
-r_{2}\cos \left( \theta _{2}\right) }\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、\begin{equation*}
z_{1}+z_{2}=\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos \left( \theta
_{1}-\theta _{2}\right) }\exp \left( i\arctan \left( \frac{r_{1}\sin \left(
\theta _{1}\right) -r_{2}\sin \left( \theta _{2}\right) }{r_{1}\cos \left(
\theta _{1}\right) -r_{2}\cos \left( \theta _{2}\right) }\right) \right)
\end{equation*}が成り立つということです。

命題(指数表現された複素数の差)
指数表現された2つの非ゼロの複素数\begin{eqnarray*}
z_{1} &=&r_{1}e^{i\theta _{1}} \\
z_{2} &=&r_{2}e^{i\theta _{2}}
\end{eqnarray*}の和の指数表現を、\begin{equation*}
z_{1}-z_{2}=r_{3}e^{i\theta _{3}}
\end{equation*}とするとき、以下の関係\begin{eqnarray*}
r_{3} &=&\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos \left( \theta _{1}-\theta
_{2}\right) } \\
\theta _{3} &=&\arctan \left( \frac{r_{1}\sin \left( \theta _{1}\right)
-r_{2}\sin \left( \theta _{2}\right) }{r_{1}\cos \left( \theta _{1}\right)
-r_{2}\cos \left( \theta _{2}\right) }\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。

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指数表現された複素数の積

指数表現された2つの非ゼロの複素数\begin{eqnarray*}
z_{1} &=&r_{1}e^{i\theta _{1}} \\
z_{2} &=&r_{2}e^{i\theta _{2}}
\end{eqnarray*}が与えられた状況を想定します。これらの積の指数表現を、\begin{equation*}
z_{1}z_{2}=r_{3}e^{i\theta _{3}}
\end{equation*}で表記する場合、以下の関係\begin{eqnarray*}
r_{3} &=&r_{1}r_{2} \\
\theta _{3} &=&\theta _{1}+\theta _{2}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、\begin{equation*}
z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}e^{i\left( \theta _{1}+\theta _{2}\right) }
\end{equation*}が成り立つということです。

命題(指数表現された複素数の積)
指数表現された2つの非ゼロの複素数\begin{eqnarray*}
z_{1} &=&r_{1}e^{i\theta _{1}} \\
z_{2} &=&r_{2}e^{i\theta _{2}}
\end{eqnarray*}の積の指数表現を、\begin{equation*}
z_{1}z_{2}=r_{3}e^{i\theta _{3}}
\end{equation*}とするとき、以下の関係\begin{eqnarray*}
r_{3} &=&r_{1}r_{2} \\
\theta _{3} &=&\theta _{1}+\theta _{2}
\end{eqnarray*}が成り立つ。

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指数表現された複素数の商

指数表現された2つの非ゼロの複素数\begin{eqnarray*}
z_{1} &=&r_{1}e^{i\theta _{1}} \\
z_{2} &=&r_{2}e^{i\theta _{2}}
\end{eqnarray*}が与えられた状況を想定します。これらの商の指数表現を、\begin{equation*}
\frac{z_{1}}{z_{2}}=r_{3}e^{i\theta _{3}}
\end{equation*}で表記する場合、以下の関係\begin{eqnarray*}
r_{3} &=&\frac{r_{1}}{r_{2}} \\
\theta _{3} &=&\theta _{1}-\theta _{2}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、\begin{equation*}
\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}e^{i\left( \theta _{1}-\theta
_{2}\right) }
\end{equation*}が成り立つということです。

命題(指数表現された複素数の商)
指数表現された2つの非ゼロの複素数\begin{eqnarray*}
z_{1} &=&r_{1}e^{i\theta _{1}} \\
z_{2} &=&r_{2}e^{i\theta _{2}}
\end{eqnarray*}の商の指数表現を、\begin{equation*}
\frac{z_{1}}{z_{2}}=r_{3}e^{i\theta _{3}}
\end{equation*}とするとき、以下の関係\begin{eqnarray*}
r_{3} &=&\frac{r_{1}}{r_{2}} \\
\theta _{3} &=&\theta _{1}-\theta _{2}
\end{eqnarray*}が成り立つ。

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演習問題

問題(複素指数関数の値)
以下の複素数\begin{equation*}
\exp \left( -1+i\frac{\pi }{2}\right)
\end{equation*}を\(a+bi\ \left( a,b\in \mathbb{R} \right) \)の形で表現してください。
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問題(複素指数関数の値)
以下の複素数\begin{equation*}
\exp \left( i\frac{5\pi }{4}\right)
\end{equation*}を\(a+bi\ \left( a,b\in \mathbb{R} \right) \)の形で表現してください。
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問題(複素指数関数の値)
以下の複素数\begin{equation*}
e^{2+3\pi i}
\end{equation*}を\(a+bi\ \left( a,b\in \mathbb{R} \right) \)の形で表現してください。
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問題(複素数の指数表現)
以下の複素数\begin{equation*}
z=1+i
\end{equation*}の指数表現を特定してください。

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