複素数体
複素数とは、実数を成分とする順序対\begin{equation*}
z=\left( \mathrm{Re}\left( z\right) ,\mathrm{Im}\left( z\right) \right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \end{equation*}として定義されます。複素数\(z\)の第1成分\(\mathrm{Re}\left( z\right) \)を\(z\)の実部と呼び、第2成分\(\mathrm{Im}\left( z\right) \)を\(z\)の虚部と呼びます。すべての複素数からなる集合を、\begin{equation*}\mathbb{C} \end{equation*}で表記します。
複素数の加法\begin{equation*}
+:\mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}とは、2つの複素数\(z,w\in \mathbb{C} \)に対して、それらの和\begin{equation*}z+w=\left( \mathrm{Re}\left( z\right) +\mathrm{Re}\left( w\right) ,\mathrm{Im}\left( z\right) +\mathrm{Im}\left( w\right) \right) \in \mathbb{C} \end{equation*}と呼ばれる複素数を出力する二項演算です。加法\(+\)は以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( C_{1}\right) \ \forall z,v,w\in \mathbb{C} :\left( z+v\right) +w=z+\left( v+w\right) \\
&&\left( C_{2}\right) \ \exists \boldsymbol{0}\in \mathbb{C} ,\ \forall z\in \mathbb{C} :z+\boldsymbol{0}=z \\
&&\left( C_{3}\right) \ \forall z\in \mathbb{C} ,\ \exists -z\in \mathbb{C} :z+\left( -z\right) =\boldsymbol{0} \\
&&\left( C_{4}\right) \ \forall z,w\in \mathbb{C} :z+w=w+z
\end{eqnarray*}を満たします。
複素数の乗法\begin{equation*}
\cdot :\mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}とは、2つの複素数\(z,w\in \mathbb{C} \)に対して、それらの積\begin{equation*}zw=\left( \mathrm{Re}\left( z\right) \mathrm{Re}\left( w\right) -\mathrm{Im}\left(
z\right) \mathrm{Im}\left( w\right) ,\mathrm{Re}\left( z\right) \mathrm{Im}\left(
w\right) +\mathrm{Im}\left( z\right) \mathrm{Re}\left( w\right) \right) \in \mathbb{C} \end{equation*}と呼ばれる複素数を出力する二項演算です。乗法\(\cdot \)は以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( C_{5}\right) \ \forall z,v,w\in \mathbb{C} :\left( zv\right) w=z\left( vw\right) \\
&&\left( C_{6}\right) \ \exists \boldsymbol{1}\in \mathbb{C} \backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} ,\ \forall z\in \mathbb{C} :z\boldsymbol{1}=z \\
&&\left( C_{7}\right) \ \forall z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} ,\ \exists z^{-1}\in \mathbb{C} :zz^{-1}=\boldsymbol{1} \\
&&\left( C_{8}\right) \ \forall z,w\in \mathbb{C} :zw=wz
\end{eqnarray*}を満たします。
では、加法\(+\)と乗法\(\cdot \)の間にはどのような関係が成立するのでしょうか。加法\(+\)と乗法\(\cdot \)の間には以下の関係\begin{equation*}\left( C_{9}\right) \ \forall z,v,w\in \mathbb{C} :\left( z+v\right) w=zw+vw
\end{equation*}が成り立ちます。これを分配律(distributive law)と呼びます。つまり、任意の複素数\(z,v,w\)について、\(z+v\)と\(w\)の積が\(zw\)と\(vw\)の和と一致するということです。
\end{equation*}を満たす。
これまでに得られた結果をまとめます。
&&\left( C_{2}\right) \ \exists \boldsymbol{0}\in \mathbb{C} ,\ \forall z\in \mathbb{C} :z+\boldsymbol{0}=z \\
&&\left( C_{3}\right) \ \forall z\in \mathbb{C} ,\ \exists -z\in \mathbb{C} :z+\left( -z\right) =\boldsymbol{0} \\
&&\left( C_{4}\right) \ \forall z,w\in \mathbb{C} :z+w=w+z \\
&&\left( C_{5}\right) \ \forall z,v,w\in \mathbb{C} :\left( zv\right) w=z\left( vw\right) \\
&&\left( C_{6}\right) \ \exists \boldsymbol{1}\in \mathbb{C} \backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} ,\ \forall z\in \mathbb{C} :z\boldsymbol{1}=z \\
&&\left( C_{7}\right) \ \forall z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} ,\ \exists z^{-1}\in \mathbb{C} :zz^{-1}=\boldsymbol{1} \\
&&\left( C_{8}\right) \ \forall z,w\in \mathbb{C} :zw=wz \\
&&\left( C_{9}\right) \ \forall z,v,w\in \mathbb{C} :\left( z+v\right) w=zw+vw
\end{eqnarray*}を満たす。
加法の性質を規定する\(\left( C_{1}\right) \)から\(\left( C_{4}\right) \)と、乗法の性質を規定する\(\left( C_{5}\right) \)から\(\left( C_{8}\right) \)に加えて、加法と乗法の関係を規程する\(\left( C_{9}\right) \)が成り立つことは、\(\mathbb{C} \)が加法と乗法に関して体(field)であることを意味します。このような体を特に複素数体(complex number field)と呼び、\begin{equation*}\left( \mathbb{C} ,+,\cdot \right)
\end{equation*}で表記します。複素数体について言及していることが文脈から明らかである場合には、これをシンプルに、\begin{equation*}\mathbb{C} \end{equation*}と表記できます。
積の符号
非ゼロの複素数\(z,w\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( zw\right) ^{-1}=z^{-1}w^{-1}
\end{equation*}が成り立つことを以前に示しましたが、その際に指摘したように、上の命題は\(\left(zw\right) ^{-1}\)が存在することを前提としています。つまり、乗法逆元は非ゼロの複素数に対してのみ定義される概念であるため、\(\left( zw\right) ^{-1}\)が存在することを保証するためには\(zw\)が非ゼロである必要があるということです。\(\mathbb{C} \)は乗法について閉じているため\(zw\)は複素数ですが、非ゼロの複素数\(z,w\)どうしの積\(zw\)は非ゼロになります。
zw\not=\boldsymbol{0}
\end{equation*}が成り立つ。
先の命題とは逆に、\(zw\not=\boldsymbol{0}\)から\(z\not=\boldsymbol{0}\)と\(w\not=\boldsymbol{0}\)を導くこともできます。つまり、積\(zw\)が非ゼロの場合には\(z\)と\(w\)はともに非ゼロです。
\end{equation*}が成り立つ。
以上の2つの命題より以下を得ます。つまり、2つの複素数がともに非ゼロであることと、それらの積が非ゼロであることは必要十分です。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}が成り立つことが示されます。つまり、2つの複素数の積がゼロであることと、それらの少なくとも一方がゼロであることは必要十分です。
商の符号
非ゼロの複素数\(z,w\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( \frac{z}{w}\right) ^{-1}=\frac{w}{z}
\end{equation*}が成り立つことを以前に示しましたが、その際に指摘したように、上の命題は\(\left( \frac{z}{w}\right) ^{-1}\)が存在することを前提としています。つまり、乗法逆元は非ゼロの複素数に対してのみ定義される概念であるため、\(\left( \frac{z}{w}\right) ^{-1}\)が存在することを保証するためには\(\frac{z}{w}\)が非ゼロである必要があるということです。\(\mathbb{C} \)は除法(ゼロで割る場合を除く)について閉じているため\(\frac{z}{w}\)は複素数ですが、非ゼロの複素数\(z,w\)どうしの商\(\frac{z}{w}\)は非ゼロになります。
\end{equation*}が成り立つ。
上の命題とは逆に、\(\frac{z}{w}\not=\boldsymbol{0}\)から\(z\not=\boldsymbol{0}\)を導くこともできます。つまり、商\(\frac{z}{w}\)が非ゼロの場合には分子\(z\)もまた非ゼロです。
\end{equation*}が成り立つ。
以上の2つの命題より以下を得ます。つまり、商の分子が非ゼロであることと商が非ゼロであることは必要十分です。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}が成り立つことが示されます。つまり、商の分子がゼロであることと商がゼロであることは必要十分です。
加法逆元と乗法
複素数\(z,w\)を任意に選んだとき、\(\mathbb{C} \)は乗法について閉じているため積\(zw\)は複素数です。すると加法逆元の定義より\(-\left( zw\right) \)もまた複素数であるが、これについては、\begin{equation*}\left( -z\right) w=z\left( -w\right) =-\left( zw\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
任意の\(z,w\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}\left( -z\right) w=z\left( -w\right) =-\left( zw\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を得ます。特に、\(z=\boldsymbol{1}\)の場合には、\begin{equation*}\left( -\boldsymbol{1}\right) w=\boldsymbol{1}\left( -w\right)
\end{equation*}となりますが、乗法単位元の定義より、このとき、\begin{equation*}
\left( -\boldsymbol{1}\right) w=-w
\end{equation*}を得ます。つまり、複素数\(w\)の加法逆元\(-w\)は、\(w\)と\(-\boldsymbol{1}\)の積と一致します。
\left( -z\right) \left( -w\right) =zw
\end{equation*}を得ます。つまり、2つの複素数の加法逆元どうしの積はもとの複素数の積と一致します。特に、\(z=w=\boldsymbol{1}\)の場合には、\begin{equation*}\left( -\boldsymbol{1}\right) \left( -\boldsymbol{1}\right) =\boldsymbol{11}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( -\boldsymbol{1}\right) \left( -\boldsymbol{1}\right) =\boldsymbol{1}
\end{equation*}を得ます。つまり、乗法単位元の加法逆元どうしの積は乗法単位元と一致します。
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