複素数の乗法（複素数の積）

複素数の乗法

複素数集合\(\mathbb{C} \)の要素である2つの複素数\begin{eqnarray*}z &=&\left( \mathrm{Re}\left( z\right) ,\mathrm{Im}\left( z\right) \right) \in \mathbb{C} \\
w &=&\left( \mathrm{Re}\left( w\right) ,\mathrm{Im}\left( w\right) \right) \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}が与えられたとき、\begin{equation*}
zw=\left( \mathrm{Re}\left( z\right) \mathrm{Re}\left( w\right) -\mathrm{Im}\left(
z\right) \mathrm{Im}\left( w\right) ,\mathrm{Re}\left( z\right) \mathrm{Im}\left(
w\right) +\mathrm{Im}\left( z\right) \mathrm{Re}\left( w\right) \right) \in \mathbb{C} \end{equation*}と定義される複素数を\(z\)と\(w\)の積（product）と呼びます。

複素数\(z,w\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)は加法\(+\)と減法\(-\)と乗法\(\cdot \)について閉じていることから積\(zw\)の実部と虚部\begin{eqnarray*}\mathrm{Re}\left( zw\right) &=&\mathrm{Re}\left( z\right) \mathrm{Re}\left(
w\right) -\mathrm{Im}\left( z\right) \mathrm{Im}\left( w\right) \\
\mathrm{Im}\left( zw\right) &=&\mathrm{Re}\left( z\right) \mathrm{Im}\left(
w\right) +\mathrm{Im}\left( z\right) \mathrm{Re}\left( w\right)
\end{eqnarray*}はそれぞれ1つの実数として定まるため、\(zw\)が1つの複素数として定まることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\forall z,w\in \mathbb{C} :zw\in \mathbb{C} \end{equation*}が成り立ちます。このことを指して、\(\mathbb{C} \)は乗法について閉じている（\(\mathbb{C} \) is closed under multiplication）と言います。このような事情を踏まえると、それぞれの順序対\(\left( z,w\right) \in \mathbb{C} \times \mathbb{C} \)に対して積\(zw\in \mathbb{C} \)を1つずつ定める二項演算\begin{equation*}\cdot :\mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能です。この演算を複素数の乗法（multiplication of complex numbers）と呼びます。順序対\(\left(z,w\right) \)に対して乗法\(\cdot \)を適用することを\(z\)と\(w\)を掛ける（multiply）と言います。

複素数の積の極形式

非ゼロの複素数\(z_{1},z_{2}\in \mathbb{C} \)の極形式\begin{eqnarray*}z_{1} &=&\left( r_{1}\cos \left( \theta _{1}\right) ,r_{1}\sin \left( \theta
_{1}\right) \right) \\
z_{2} &=&\left( r_{2}\cos \left( \theta _{2}\right) ,r_{2}\sin \left( \theta
_{2}\right) \right)
\end{eqnarray*}が与えられている場合、これらの積は、\begin{equation*}
z_{1}z_{2}=\left( r_{1}r_{2}\cos \left( \theta _{1}+\theta _{2}\right)
,r_{1}r_{2}\sin \left( \theta _{1}+\theta _{2}\right) \right)
\end{equation*}となります。つまり、2つの複素数\(z_{1},z_{2}\)とこれらの積\(z_{1}z_{2}\)の絶対値と偏角の間には以下の関係\begin{eqnarray*}\left\vert z_{1}z_{2}\right\vert &=&\left\vert z_{1}\right\vert \left\vert
z_{2}\right\vert \\
\arg \left( z_{1}z_{2}\right) &=&\arg \left( z_{1}\right) +\arg \left(
z_{2}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。2つの複素数\(z_{1},z_{2}\)の積をとることとは、それらの絶対値どうしの積をとり、偏角どうしの和をとることを意味するということです。

複素数乗法の幾何学的解釈

非ゼロの複素数\(z_{1},z_{2}\in \mathbb{C} \)の極形式\begin{eqnarray*}z_{1} &=&\left( r_{1}\cos \left( \theta _{1}\right) ,r_{1}\sin \left( \theta
_{1}\right) \right) \\
z_{2} &=&\left( r_{2}\cos \left( \theta _{2}\right) ,r_{2}\sin \left( \theta
_{2}\right) \right)
\end{eqnarray*}が与えられており、これらが複素平面上の点として表現されているものとします（下図）。

先の命題より、積\(z_{1}z_{2}\in \mathbb{C} \)の極形式は、\begin{equation*}z_{1}z_{2}=\left( r_{1}r_{2}\cos \left( \theta _{1}+\theta _{2}\right)
,r_{1}r_{2}\sin \left( \theta _{1}+\theta _{2}\right) \right)
\end{equation*}であるため、複素数\(z_{1},z_{2}\)と積\(z_{1}z_{2}\)の絶対値と偏角の間には以下の関係\begin{eqnarray*}\left\vert z_{1}z_{2}\right\vert &=&\left\vert z_{1}\right\vert \left\vert
z_{2}\right\vert \\
\arg \left( z_{1}z_{2}\right) &=&\arg \left( z_{1}\right) +\arg \left(
z_{2}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、動径\(Oz_{2}\)を反時計回りに\(\arg \left( z_{1}\right)=\theta _{1}\)だけ回転した上で、その長さを\(\left\vert z_{2}\right\vert=r_{2}\)倍すれば、積\(z_{1}z_{2}\)を表す複素平面上の点が得られます。

複素数乗法の結合律

複素数加法は以下の性質\begin{equation*}
\left( C_{5}\right) \ \forall z,v,w\in \mathbb{C} :\left( zv\right) w=z\left( vw\right)
\end{equation*}を満たします。以上の性質を複素数乗法に関する結合律（associative law）と呼びます。

括弧\(\left( \ \right) \)は複素数乗法\(\cdot \)を適用する順番を表す記号です。つまり、左辺\(\left( zv\right) w\)は、はじめに\(z\)と\(v\)を掛けた上で、得られた結果\(zv\)と\(w\)をさらに掛けることにより得られる複素数です。右辺の\(z\left( vw\right) \)は、はじめに\(v\)と\(w\)を掛けた上で、\(z\)と先の結果\(vw\)を掛けることにより得られる複素数です。結合律はこれらの複素数が等しいことを保証します。つまり、3つの複素数\(z,v,w\)に対して複素数乗法を適用する際には、隣り合うどの2つを先に掛けても得られる結果は変わらないということです。

イチ（複素数乗法単位元）

\(\mathbb{C} \)の要素である複素数は実数を成分とする順序対として定義されるため、実部が\(1\)であり虚部が\(0\)であるような複素数\begin{equation*}\boldsymbol{1}=\left( 1,0\right) \in \mathbb{C} \end{equation*}が存在します。これをイチ（one）と呼びます。

複素数乗法は以下の性質\begin{equation*}
\left( C_{6}\right) \ \exists \boldsymbol{1}\in \mathbb{C} \backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} ,\ \forall z\in \mathbb{C} :z\boldsymbol{1}=z
\end{equation*}を満たします。つまり、先の理由によりイチ\(\boldsymbol{1}\)が存在しますが、任意の複素数\(z\)に対してイチ\(\boldsymbol{1}\)を掛けてもその結果は\(z\)のままであるということです。このような事情を踏まえた上で、イチ\(\boldsymbol{1}\)を複素数乗法単位元（identity element of multiplication of complex numbers）と呼ぶ場合もあります。

\(\mathbb{R} \)の乗法単位元\(1\)と加法単位元\(0\)は一意的であるため、\(1\)と\(0\)を成分として持つ複素数として定義されるイチ\(\boldsymbol{1}\)もまた一意的です。

複素数乗法逆元

ゼロ\(\boldsymbol{0}=\left( 0,0\right) \in \mathbb{C} \)とは異なる複素数\begin{equation*}z=\left( \mathrm{Re}\left( z\right) ,\mathrm{Im}\left( z\right) \right) \in \mathbb{C} \end{equation*}が与えられたとき、\(z\not=\boldsymbol{0}\)ゆえに、\begin{equation*}\left[ \mathrm{Re}\left( z\right) \right] ^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( z\right) \right] ^{2}>0
\end{equation*}が成り立ちます。加えて、\(z\)の実部\(\mathrm{Re}\left( z\right) \)と虚部\(\mathrm{Im}\left( z\right) \)は実数であるため、以下のような複素数\begin{equation*}z^{-1}=\left( \frac{\mathrm{Re}\left( z\right) }{\left[ \mathrm{Re}\left(
z\right) \right] ^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( z\right) \right] ^{2}},-\frac{\mathrm{Im}\left( z\right) }{\left[ \mathrm{Re}\left( z\right) \right] ^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( z\right) \right] ^{2}}\right)
\end{equation*}が存在することが保証されます。これを\(z\)の複素数乗法逆元（inverse element of multiplication of complex numbers）と呼びます。

複素数乗法は以下の性質\begin{equation*}
\left( C_{7}\right) \ \forall z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} ,\ \exists z^{-1}\in \mathbb{C} :zz^{-1}=\boldsymbol{1}
\end{equation*}を満たします。つまり、ゼロとは異なる複数\(z\)を任意に選んだとき、先の理由によりその乗法逆元\(z^{-1}\)が存在することが保証されますが、\(z\)と\(z^{-1}\)の積はイチと一致することが保証されるということです。

先の命題ではゼロ\(\boldsymbol{0}\)とは複素数\(z\)に対してのみ、その乗法逆元\(z^{-1}\)の存在を保証しています。では、\(\boldsymbol{0}\)の乗法逆元\(\boldsymbol{0}^{-1}\)は存在するのでしょうか。つまり、\begin{equation}\boldsymbol{00}^{-1}=\boldsymbol{1} \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす複素数\(\boldsymbol{0}^{-1}\)は存在するのでしょうか。複素数\(\boldsymbol{0}^{-1}\)が存在するものと仮定すると、これは何らかの実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation}\boldsymbol{0}^{-1}=\left( a,b\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}と表すことができます。このとき、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{00}^{-1} &=&\left( 0,0\right) \left( a,b\right) \quad \because
\left( 2\right) \\
&=&\left( 0,0\right) \quad \because \text{複素数乗法の定義} \\
&=&\boldsymbol{0}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{00}^{-1}=\boldsymbol{0}
\end{equation*}を得ます。これと\(\left(1\right) \)より、\begin{equation*}\boldsymbol{0}=\boldsymbol{1}
\end{equation*}を得ます。実際には、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{0} &=&\left( 0,0\right) \\
\boldsymbol{1} &=&\left( 1,0\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\boldsymbol{0}\not=\boldsymbol{1}
\end{equation*}であり、矛盾です。したがって背理法より、\(\boldsymbol{0}^{-1}\)は存在しないことが明らかになりました。

それぞれの複素数に対してその実部と虚部はそれぞれ一意的に定まるため、ゼロとは異なるそれぞれの複素数\(z\)に対して、その乗法逆元\(z^{-1}\)は一意的に定まります。

複素数乗法の交換律

複素数乗法は以下の性質\begin{equation*}
\left( C_{8}\right) \ \forall z,w\in \mathbb{C} :zw=wz
\end{equation*}を満たします。以上の性質を複素数乗法に関する交換律（commutative law）と呼びます。

本来、2つの複素数\(z,w\)を成分とする順序対\(\left( z,w\right) ,\left( w,z\right) \)は異なるものとして区別されるため、\(\left( z,w\right) \)に複素数乗法を適用して得られる複素数\(zw\)と、\(\left(w,z\right) \)に複素数乗法を適用して得られる複素数\(wz\)もまた区別されるべきですが、交換律はこれらが等しい複素数であることを保証します。

可換群としての複素数空間

これまで明らかになった複素数乗法の性質を改めて整理すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( C_{5}\right) \ \forall z,v,w\in \mathbb{C} :\left( zv\right) w=z\left( vw\right) \\
&&\left( C_{6}\right) \ \exists \boldsymbol{1}\in \mathbb{C} \backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} ,\ \forall z\in \mathbb{C} :z\boldsymbol{1}=z \\
&&\left( C_{7}\right) \ \forall z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} ,\ \exists z^{-1}\in \mathbb{C} :zz^{-1}=\boldsymbol{1} \\
&&\left( C_{8}\right) \ \forall z,w\in \mathbb{C} :zw=wz
\end{eqnarray*}となります。

乗法\(\cdot \)が\(\left( C_{5}\right) \)を満たすことは\(\mathbb{C} \)が乗法\(\cdot \)に関して半群（semigroup）であることを意味します。また、\(\left( C_{5}\right) \)に加えて\(\left( C_{6}\right) \)を満たすことは\(\mathbb{C} \backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)が乗法\(\cdot \)に関してモノイド（monoid）であることを意味します。さらに、\(\left( C_{5}\right) ,\left( C_{6}\right) \)に加えて\(\left( C_{7}\right) \)が成り立つことは\(\mathbb{C} \backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)が乗法\(\cdot \)に関して群（group）であることを意味します。また、\(\left( C_{5}\right) ,\left(C_{6}\right) ,\left( C_{7}\right) \)に加えて\(\left(C_{8}\right) \)が成り立つことは\(\mathbb{C} \backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)が乗法\(\cdot \)に関して可換群（commutative group）またはアーベル群（abelian group）であることを意味します。

複素数の加法逆元の加法逆元

ゼロとは異なる複素数\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)を任意に選んだとき、\(\left( C_{7}\right) \)より乗法逆元\(z^{-1}\)に相当する複素数が存在します。しかも、\(z^{-1}\)は\(\boldsymbol{0}\)とは異なる複素数です。実際、\begin{equation}z^{-1}=\boldsymbol{0} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つものと仮定すると、\begin{eqnarray*}
z\boldsymbol{0} &=&zz^{-1}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\boldsymbol{1\quad \because }\text{複素数乗法逆元の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
z\boldsymbol{0}=\boldsymbol{1} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つ一方で、\begin{eqnarray*}
z\boldsymbol{0} &=&\left( a,b\right) \left( 0,0\right) \quad \because
z=\left( a,b\right) \text{とおいた} \\
&=&\left( 0,0\right) \quad \boldsymbol{\because }\text{複素数乗法の定義} \\
&=&\boldsymbol{0}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
z\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}
\end{equation*}が成り立つため、これと\(\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}\boldsymbol{0}=\boldsymbol{1}
\end{equation*}を得ます。実際には、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{0} &=&\left( 0,0\right) \\
\boldsymbol{1} &=&\left( 1,0\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\boldsymbol{0}\not=\boldsymbol{1}
\end{equation*}であり、矛盾です。したがって背理法より\(z^{-1}\not=\boldsymbol{0}\)であることが明らかになりました。

ゼロとは異なる複素数\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)を任意に選んだとき、その乗法逆元もまた\(z^{-1}\in \mathbb{C} \backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)を満たすことが明らかになりました。したがって\(\left( C_{7}\right) \)より乗法逆元\(\left(z^{-1}\right) ^{-1}\)に相当する複素数が存在しますが、これはもとの複素数\(z\)と一致します。つまり、ゼロとは異なる任意の複素数\(z\)に対して、その乗法逆元の乗法逆元は\(z\)と一致するということです。

イチの乗法逆元

乗法単位元であるイチ\(\boldsymbol{1}\)はゼロ\(\boldsymbol{0}\)とは異なる複素数であるため、乗法逆元の定義より、その乗法逆元\(\boldsymbol{1}^{-1}\)もまた複素数ですが、これは\(\boldsymbol{1}\)と一致します。しかも、乗法単位元の定義より\(\boldsymbol{1}\not=\boldsymbol{0}\)であるため、\(\boldsymbol{1}\)と一致する\(\boldsymbol{1}^{-1}\)に関しても\(\boldsymbol{1}^{-1}\not=\boldsymbol{0}\)であることが保証されます。

演習問題