WIIS

複素数の定義

指数が自然数である場合の複素数の累乗

目次

Mailで保存
Xで共有

指数が自然数である場合の複素数の累乗

複素数\(z\in \mathbb{C} \)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\(n\)個の\(z\)を掛け合せることにより得られる複素数を、\begin{equation*}z^{n}=\overset{n\text{個}}{\overbrace{z\cdot \cdots \cdot z}}
\end{equation*}で表記し、これを\(z\)の累乗(power)と呼びます。また、累乗\(z^{n}\)において掛け合されている複素数\(z\)を(base)と呼び、底\(z\)が掛け合されている回数を表す自然数\(n\)を指数(exponent)と呼びます。累乗\(z^{n}\)の指数が\(n\)であることを明示的に表現する場合には、\(z^{n}\)のことを\(z\)\(n\)(\(z\) to the \(n\)-th power)と呼びます。また、\begin{equation*}z^{0}=1
\end{equation*}と定めます。

複素数空間\(\mathbb{C} \)は乗法について閉じているため、底\(z\)が実数であり指数\(n\)が自然数である場合、累乗\(z^{n}\)は必ず1つの複素数として定まります。

例(複素数の累乗)
複素数\begin{equation*}
z=a+bi
\end{equation*}に対して、\begin{eqnarray*}
z^{1} &=&z\quad \because \text{累乗の定義} \\
&=&a+bi\quad \because z=a+bi
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
z^{2} &=&\left( a+bi\right) ^{2}\quad \because z=a+bi \\
&=&a^{2}+2abi+b^{2}i^{2} \\
&=&\left( a^{2}-b^{2}\right) +2abi
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
z^{3} &=&\left( a+bi\right) ^{3}\quad \because z=a+bi \\
&=&a^{3}+3a^{2}bi+3ab^{2}i^{2}+b^{3}i^{3} \\
&=&a^{3}+3a^{2}bi-3ab^{2}-b^{3}i \\
&=&\left( a^{3}-3ab^{2}\right) +\left( 3a^{2}b-b^{3}\right) i
\end{eqnarray*}です。以降についても同様です。

例(実数の累乗)
虚部がゼロであるような複素数\begin{equation*}
z=a
\end{equation*}は実数\(a\)と同一視されますが、累乗の定義より、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}z^{n}=a^{n}
\end{equation*}となります。以上の事実は、複素数の累乗は実数の累乗の一般化であることを意味します。

例(純虚数の累乗)
純虚数\begin{equation*}
z=bi
\end{equation*}に対して、\begin{eqnarray*}
z^{1} &=&\left( bi\right) ^{1} \\
&=&bi
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
z^{2} &=&\left( bi\right) ^{2} \\
&=&b^{2}i^{2} \\
&=&-b^{2}\quad \because i^{2}=-1
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
z^{3} &=&\left( bi\right) ^{3} \\
&=&b^{3}i^{3} \\
&=&-b^{3}i\quad \because i^{2}=-1
\end{eqnarray*}です。以降についても同様です。

例(虚数単位の累乗)
虚数単位\begin{equation*}
z=i
\end{equation*}に対して、\begin{eqnarray*}
z^{1} &=&i^{1} \\
&=&i
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
z^{2} &=&i^{2} \\
&=&-1
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
z^{3} &=&i^{3} \\
&=&-i
\end{eqnarray*}です。以降についても同様です。

 

非ゼロの複素数の累乗

非ゼロの複素数\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{equation*}z^{n}\not=0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、非ゼロの複素数の累乗は非ゼロです。

命題(非ゼロの複素数の累乗)
非ゼロの複素数\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}z^{n}\not=0
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(非ゼロの複素数の累乗)
先の命題より、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}\left( 2-3i\right) ^{n} &\not=&0 \\
2^{n} &\not=&0 \\
\left( -3i\right) ^{n} &\not=&0 \\
i^{n} &\not=&0
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

底を共有する累乗の積

複素数\(z\in \mathbb{C} \)と自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}z^{m}z^{n}=z^{m+n}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、底\(a\)を共有する累乗\(z^{m},z^{n}\)が与えられたとき、それらの積\(z^{m}z^{n}\)を求めるためには指数どうしの和\(m+n\)をとり、それを指数とする累乗\(z^{m+n}\)をとればよいということです。「累乗の積」に関する問題は「指数の和」に関する問題へと帰着させられます。

命題(底を共有する累乗の積)
複素数\(z\in \mathbb{C} \)と自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}z^{m}z^{n}=z^{m+n}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(底を共有する累乗の積)
先の命題より、\begin{eqnarray*}
\left( 2-3i\right) ^{2}\left( 2-3i\right) ^{3} &=&\left( 2-3i\right) ^{5} \\
2^{2}2^{3} &=&2^{5} \\
\left( -3i\right) ^{2}\left( -3i\right) ^{3} &=&\left( -3i\right) ^{5} \\
i^{2}i^{3} &=&i^{5}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

底を共有する累乗の商

ゼロとは異なる複素数\(z\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)と自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\frac{z^{m}}{z^{n}}=\left\{
\begin{array}{cc}
z^{m-n} & \left( if\ m>n\right) \\
\dfrac{1}{z^{n-m}} & \left( if\ m<n\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、底\(z\)を共有する累乗\(z^{m},z^{n}\)が与えられたとき、\(m>n\)の場合に商\(\frac{z^{m}}{z^{n}}\)を求めるためには指数どうしの差\(m-n\)をとり、それを指数とする累乗\(z^{m-n}\)をとればよいということです。逆に、\(m<n\)の場合に商\(\frac{z^{m}}{z^{n}}\)を求めるためには指数どうしの差\(n-m\)をとり、それを指数とする累乗\(z^{n-m}\)の逆数をとればよいということです。「累乗の商」に関する問題は「指数の差」に関する問題へと帰着させられます。

命題(底を共有する累乗の商)
非ゼロの複素数\(z\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)と自然数\(n,m\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\frac{z^{m}}{z^{n}}=\left\{
\begin{array}{cc}
z^{m-n} & \left( if\ m>n\right) \\
\dfrac{1}{z^{n-m}} & \left( if\ m<n\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(底を共有する累乗の商)
先の命題より、\begin{eqnarray*}
\frac{\left( 2-3i\right) ^{5}}{\left( 2-3i\right) ^{2}} &=&\left(
2-3i\right) ^{3} \\
\frac{\left( 2-3i\right) ^{2}}{\left( 2-3i\right) ^{5}} &=&\frac{1}{\left(
2-3i\right) ^{3}} \\
\frac{2^{5}}{2^{2}} &=&2^{3} \\
\frac{2^{2}}{2^{5}} &=&\frac{1}{2^{3}} \\
\frac{\left( -3i\right) ^{5}}{\left( -3i\right) ^{2}} &=&\left( -3i\right)
^{3} \\
\frac{\left( -3i\right) ^{2}}{\left( -3i\right) ^{5}} &=&\frac{1}{\left(
-3i\right) ^{3}} \\
\frac{i^{5}}{i^{2}} &=&i^{2} \\
\frac{i^{2}}{i^{5}} &=&\frac{1}{i^{3}}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

累乗の累乗

複素数\(z\in \mathbb{C} \)と自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\left( z^{m}\right) ^{n}=z^{mn}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、累乗\(z^{m}\)が与えられたとき、さらにその累乗\(\left( z^{m}\right) ^{n}\)を求めるためには指数どうしの積\(mn\)をとり、それを指数とする累乗\(z^{mn}\)をとればよいということです。「累乗の累乗」に関する問題は「指数の積」に関する問題へと帰着させられます。

命題(累乗の累乗)
複素数\(z\in \mathbb{C} \)と自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( z^{m}\right) ^{n}=z^{mn}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(累乗の累乗)
先の命題より、\begin{eqnarray*}
\left( \left( 2-3i\right) ^{2}\right) ^{3} &=&\left( 2-3i\right) ^{6} \\
\left( 2^{2}\right) ^{3} &=&2^{6} \\
\left( \left( -3i\right) ^{2}\right) ^{3} &=&\left( -3i\right) ^{6} \\
\left( i^{2}\right) ^{3} &=&i^{6}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

積の累乗

複素数\(z,w\in \mathbb{R} \)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\left( zw\right) ^{n}=z^{n}w^{n}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、複素数\(z,w\)が与えられたとき、それらの積の累乗\(\left( zw\right) ^{n}\)を求めるためには、\(z\)の累乗\(z^{n}\)と\(w\)の累乗\(w^{n}\)をそれぞれとり、それらの積をとればよいということです。「積の累乗」に関する問題は「累乗の積」に関する問題へと帰着させられます。

命題(積の累乗)
複素数\(z,w\in \mathbb{R} \)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( zw\right) ^{n}=z^{n}w^{n}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(積の累乗)
先の命題より、\begin{eqnarray*}
\left[ \left( 1-2i\right) \left( 3+i\right) \right] ^{3} &=&\left(
1-2i\right) ^{3}\left( 3+i\right) ^{3} \\
\left[ \left( 1-2i\right) 3\right] ^{3} &=&\left( 1-2i\right) ^{3}\cdot 3^{3}
\\
\left[ \left( -2\right) \left( 3+i\right) \right] ^{3} &=&\left( -2\right)
^{3}\left( 3+i\right) ^{3} \\
\left[ \left( -2i\right) i\right] ^{3} &=&\left( -2i\right) ^{3}i^{3}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

商の累乗

複素数\(z\in \mathbb{C} \)と非ゼロの複素数\(w\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)および自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\left( \frac{z}{w}\right) ^{n}=\frac{z^{n}}{w^{n}}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、複素数\(z,w\)が与えられたとき、それらの商の累乗\(\left( \frac{z}{w}\right) ^{n}\)を求めるためには、\(z\)の累乗\(z^{n}\)と\(w\)の累乗\(w^{n}\)をそれぞれとり、それらの商をとればよいということです。「商の累乗」に関する問題は「累乗の商」に関する問題へと帰着させられます。

命題(商の累乗)
複素数\(z\in \mathbb{C} \)と非ゼロの複素数\(w\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)および自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( \frac{z}{w}\right) ^{n}=\frac{z^{n}}{w^{n}}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(積の累乗)
先の命題より、\begin{eqnarray*}
\left( \frac{2-i}{3+5i}\right) ^{3} &=&\frac{\left( 2-i\right) ^{2}}{\left(
3+5i\right) ^{2}} \\
\left( \frac{2}{3+5i}\right) ^{3} &=&\frac{2^{3}}{\left( 3+5i\right) ^{3}} \\
\left( \frac{2-i}{5i}\right) ^{3} &=&\frac{\left( 2-i\right) ^{3}}{\left(
5i\right) ^{3}}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

累乗の共役複素数

複素数\(z\in \mathbb{C} \)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\overline{\left( z^{n}\right) }=\left( \overline{z}\right) ^{n}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、累乗の共役複素数は共役複素数の累乗と一致します。

命題(累乗の共役複素数)
複素数\(z\in \mathbb{C} \)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\overline{\left( z^{n}\right) }=\left( \overline{z}\right) ^{n}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

 

虚数単位の累乗の周期性

虚数単位\(i\)については、累乗の定義より、\begin{eqnarray*}i^{0} &=&1 \\
i^{1} &=&i \\
i^{2} &=&-1 \\
i^{3} &=&-1i=-i \\
i^{4} &=&-ii=1
\end{eqnarray*}となりますが、\(i^{4}\)は\(i^{0}\)と一致するため、以降は同じパターンの繰り返しです。

命題(虚数単位の累乗の周期性)
任意の\(n\in \mathbb{N} \cup \left\{ 0\right\} \)について、\begin{equation*}i^{n}=\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ n=4m\right) \\
i & \left( if\ n=4m+1\right) \\
-1 & \left( if\ n=4m+2\right) \\
-i & \left( if\ n=4m+3\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となる。ただし、\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(虚数単位の累乗の周期性)
これまで示した諸命題を用いると、任意の\(n\in \mathbb{N} \cup \left\{ 0\right\} \)について、\begin{equation*}\frac{1}{i^{n}}=\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ n=4m\right) \\
-i & \left( if\ n=4m+1\right) \\
-1 & \left( if\ n=4m+2\right) \\
i & \left( if\ n=4m+3\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つことが導かれます。ただし、\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)です(演習問題)。

 

極形式の複素数の累乗(ド・モアブルの定理)

非ゼロの複素数\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)の極形式\begin{equation*}z=r\left[ \cos \left( \theta \right) +\sin \left( \theta \right) i\right] \end{equation*}が与えられている場合には、\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}z^{n}=r^{n}\left[ \cos \left( n\theta \right) +\sin \left( n\theta \right) i\right] \end{equation*}が成り立ちます。つまり、非ゼロの複素数\(z\)の\(n\)乗をとることは、\(z\)の絶対値\(r\)を\(n\)乗し、\(z\)の偏角を\(n\)倍することを意味するということです。

命題(極形式の複素数の累乗)
非ゼロの複素数\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)の極形式\begin{equation*}z=r\left[ \cos \left( \theta \right) +\sin \left( \theta \right) i\right] \end{equation*}が与えられている場合には、\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}z^{n}=r^{n}\left[ \cos \left( n\theta \right) +\sin \left( n\theta \right) i\right] \end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(ド・モアブルの定理)
\(\theta \in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、以下の複素数\begin{equation*}z=\cos \left( \theta \right) +\sin \left( \theta \right) i
\end{equation*}を定義します。これは非ゼロの複素数であるため、先の命題より、\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}z^{n} &=&1^{n}\left[ \cos \left( n\theta \right) +\sin \left( n\theta
\right) i\right] \\
&=&\cos \left( n\theta \right) +\sin \left( n\theta \right) i
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
z^{n}=\cos \left( n\theta \right) +\sin \left( n\theta \right) i
\end{equation*}が成り立ちます。これをド・モアブルの定理(de Moivre’s theorem)と呼びます。

例(虚数単位の累乗の周期性)
先に示したように、任意の\(n\in \mathbb{N} \cup \left\{ 0\right\} \)について、\begin{equation}i^{n}=\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ n=4m\right) \\
i & \left( if\ n=4m+1\right) \\
-1 & \left( if\ n=4m+2\right) \\
-i & \left( if\ n=4m+3\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)です。同じことをド・モアブルの定理を用いて示します。具体的には、虚数単位\(i\)を極形式で表現すると、\begin{eqnarray*}i &=&0+i \\
&=&\cos \left( \frac{\pi }{2}\right) +\sin \left( \frac{\pi }{2}\right) i
\end{eqnarray*}となるため、ド・モアブルの定理より、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation}i^{n}=\cos \left( \frac{n\pi }{2}\right) +\sin \left( \frac{n\pi }{2}\right)
i \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。\(i^{0}=1\)であることも併せて考えると、\(n=4m\)の場合には、\begin{eqnarray*}i^{4m} &=&\cos \left( \frac{4m\pi }{2}\right) +\sin \left( \frac{4m\pi }{2}\right) i\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\cos \left( 2m\pi \right) +\sin \left( 2m\pi \right) i \\
&=&1+0i \\
&=&1
\end{eqnarray*}となり、\(n=4m+1\)の場合には、\begin{eqnarray*}i^{4m+1} &=&\cos \left( \frac{\left( 4m+1\right) \pi }{2}\right) +\sin
\left( \frac{\left( 4m+1\right) \pi }{2}\right) i\quad \because \left(
2\right) \\
&=&\cos \left( 2m\pi +\frac{\pi }{2}\right) +\sin \left( 2m\pi +\frac{\pi }{2}\right) i \\
&=&0+1i \\
&=&i
\end{eqnarray*}となり、\(n=4m+2\)の場合には、\begin{eqnarray*}i^{4m+2} &=&\cos \left( \frac{\left( 4m+2\right) \pi }{2}\right) +\sin
\left( \frac{\left( 4m+2\right) \pi }{2}\right) i\quad \because \left(
2\right) \\
&=&\cos \left( 2m\pi +\pi \right) +\sin \left( 2m\pi +\pi \right) i \\
&=&-1+0i \\
&=&-1
\end{eqnarray*}となり、\(n=4m+3\)の場合には、\begin{eqnarray*}i^{4m+3} &=&\cos \left( \frac{\left( 4m+3\right) \pi }{2}\right) +\sin
\left( \frac{\left( 4m+3\right) \pi }{2}\right) i\quad \because \left(
2\right) \\
&=&\cos \left( 2m\pi +\frac{3\pi }{2}\right) +\sin \left( 2m\pi +\frac{3\pi
}{2}\right) i \\
&=&0-1i \\
&=&-i
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 1\right) \)が導かれました。

 

複素数の指数表現の累乗

非ゼロの複素数\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)の指数表現\begin{equation*}z=re^{i\theta }
\end{equation*}が与えられている場合、\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}z^{n}=r^{n}e^{in\theta }
\end{equation*}が成り立ちます。

命題(複素数の指数表現の累乗)
非ゼロの複素数\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)の指数表現\begin{equation*}z=re^{i\theta }
\end{equation*}が与えられている場合には、\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}z^{n}=r^{n}e^{in\theta }
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

 

演習問題

問題(共役複素数と演算)
以下の複素数をそれぞれ\(a+bi\ \left( a,b\in \mathbb{R} \right) \)の形で表現してください。

  1. \(\overline{4i}\left( 2-i\right) ^{2}\)
  2. \(\left( \overline{2-i}\right) ^{2}\)
  3. \(\left( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right) ^{3}\)
  4. \(\left( 2i\right) ^{5}\)
  5. \(i^{12}+i^{25}-7i^{111}\)
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(虚数単位の累乗の周期性)
任意の\(n\in \mathbb{N} \cup \left\{ 0\right\} \)について、\begin{equation*}\frac{1}{i^{n}}=\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ n=4m\right) \\
-i & \left( if\ n=4m+1\right) \\
-1 & \left( if\ n=4m+2\right) \\
i & \left( if\ n=4m+3\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。ただし、\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)です。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(ド・モアブルの定理)
以下の複素数\begin{equation*}
\left( 2+2i\right) ^{11}
\end{equation*}を\(a+bi\ \left( a,b\in \mathbb{R} \right) \)の形で表現してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関連知識

Mailで保存
Xで共有

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです

会員登録

有料のプレミアム会員であれば、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。

ワイズのユーザーは年齢・性別・学歴・社会的立場などとは関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。

誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録