指数が自然数である場合の複素数の累乗
複素数\(z\in \mathbb{C} \)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\(n\)個の\(z\)を掛け合せることにより得られる複素数を、\begin{equation*}z^{n}=\overset{n\text{個}}{\overbrace{z\cdot \cdots \cdot z}}
\end{equation*}で表記し、これを\(z\)の累乗(power)と呼びます。また、累乗\(z^{n}\)において掛け合されている複素数\(z\)を底(base)と呼び、底\(z\)が掛け合されている回数を表す自然数\(n\)を指数(exponent)と呼びます。累乗\(z^{n}\)の指数が\(n\)であることを明示的に表現する場合には、\(z^{n}\)のことを\(z\)の\(n\)乗(\(z\) to the \(n\)-th power)と呼びます。また、\begin{equation*}z^{0}=1
\end{equation*}と定めます。
複素数空間\(\mathbb{C} \)は乗法について閉じているため、底\(z\)が実数であり指数\(n\)が自然数である場合、累乗\(z^{n}\)は必ず1つの複素数として定まります。
z=a+bi
\end{equation*}に対して、\begin{eqnarray*}
z^{1} &=&z\quad \because \text{累乗の定義} \\
&=&a+bi\quad \because z=a+bi
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
z^{2} &=&\left( a+bi\right) ^{2}\quad \because z=a+bi \\
&=&a^{2}+2abi+b^{2}i^{2} \\
&=&\left( a^{2}-b^{2}\right) +2abi
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
z^{3} &=&\left( a+bi\right) ^{3}\quad \because z=a+bi \\
&=&a^{3}+3a^{2}bi+3ab^{2}i^{2}+b^{3}i^{3} \\
&=&a^{3}+3a^{2}bi-3ab^{2}-b^{3}i \\
&=&\left( a^{3}-3ab^{2}\right) +\left( 3a^{2}b-b^{3}\right) i
\end{eqnarray*}です。以降についても同様です。
z=a
\end{equation*}は実数\(a\)と同一視されますが、累乗の定義より、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}z^{n}=a^{n}
\end{equation*}となります。以上の事実は、複素数の累乗は実数の累乗の一般化であることを意味します。
z=bi
\end{equation*}に対して、\begin{eqnarray*}
z^{1} &=&\left( bi\right) ^{1} \\
&=&bi
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
z^{2} &=&\left( bi\right) ^{2} \\
&=&b^{2}i^{2} \\
&=&-b^{2}\quad \because i^{2}=-1
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
z^{3} &=&\left( bi\right) ^{3} \\
&=&b^{3}i^{3} \\
&=&-b^{3}i\quad \because i^{2}=-1
\end{eqnarray*}です。以降についても同様です。
z=i
\end{equation*}に対して、\begin{eqnarray*}
z^{1} &=&i^{1} \\
&=&i
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
z^{2} &=&i^{2} \\
&=&-1
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
z^{3} &=&i^{3} \\
&=&-i
\end{eqnarray*}です。以降についても同様です。
非ゼロの複素数の累乗
非ゼロの複素数\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{equation*}z^{n}\not=0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、非ゼロの複素数の累乗は非ゼロです。
\end{equation*}が成り立つ。
2^{n} &\not=&0 \\
\left( -3i\right) ^{n} &\not=&0 \\
i^{n} &\not=&0
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
底を共有する累乗の積
複素数\(z\in \mathbb{C} \)と自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}z^{m}z^{n}=z^{m+n}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、底\(a\)を共有する累乗\(z^{m},z^{n}\)が与えられたとき、それらの積\(z^{m}z^{n}\)を求めるためには指数どうしの和\(m+n\)をとり、それを指数とする累乗\(z^{m+n}\)をとればよいということです。「累乗の積」に関する問題は「指数の和」に関する問題へと帰着させられます。
\end{equation*}が成り立つ。
\left( 2-3i\right) ^{2}\left( 2-3i\right) ^{3} &=&\left( 2-3i\right) ^{5} \\
2^{2}2^{3} &=&2^{5} \\
\left( -3i\right) ^{2}\left( -3i\right) ^{3} &=&\left( -3i\right) ^{5} \\
i^{2}i^{3} &=&i^{5}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
底を共有する累乗の商
ゼロとは異なる複素数\(z\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)と自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\frac{z^{m}}{z^{n}}=\left\{
\begin{array}{cc}
z^{m-n} & \left( if\ m>n\right) \\
\dfrac{1}{z^{n-m}} & \left( if\ m<n\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、底\(z\)を共有する累乗\(z^{m},z^{n}\)が与えられたとき、\(m>n\)の場合に商\(\frac{z^{m}}{z^{n}}\)を求めるためには指数どうしの差\(m-n\)をとり、それを指数とする累乗\(z^{m-n}\)をとればよいということです。逆に、\(m<n\)の場合に商\(\frac{z^{m}}{z^{n}}\)を求めるためには指数どうしの差\(n-m\)をとり、それを指数とする累乗\(z^{n-m}\)の逆数をとればよいということです。「累乗の商」に関する問題は「指数の差」に関する問題へと帰着させられます。
\begin{array}{cc}
z^{m-n} & \left( if\ m>n\right) \\
\dfrac{1}{z^{n-m}} & \left( if\ m<n\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つ。
\frac{\left( 2-3i\right) ^{5}}{\left( 2-3i\right) ^{2}} &=&\left(
2-3i\right) ^{3} \\
\frac{\left( 2-3i\right) ^{2}}{\left( 2-3i\right) ^{5}} &=&\frac{1}{\left(
2-3i\right) ^{3}} \\
\frac{2^{5}}{2^{2}} &=&2^{3} \\
\frac{2^{2}}{2^{5}} &=&\frac{1}{2^{3}} \\
\frac{\left( -3i\right) ^{5}}{\left( -3i\right) ^{2}} &=&\left( -3i\right)
^{3} \\
\frac{\left( -3i\right) ^{2}}{\left( -3i\right) ^{5}} &=&\frac{1}{\left(
-3i\right) ^{3}} \\
\frac{i^{5}}{i^{2}} &=&i^{2} \\
\frac{i^{2}}{i^{5}} &=&\frac{1}{i^{3}}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
累乗の累乗
複素数\(z\in \mathbb{C} \)と自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\left( z^{m}\right) ^{n}=z^{mn}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、累乗\(z^{m}\)が与えられたとき、さらにその累乗\(\left( z^{m}\right) ^{n}\)を求めるためには指数どうしの積\(mn\)をとり、それを指数とする累乗\(z^{mn}\)をとればよいということです。「累乗の累乗」に関する問題は「指数の積」に関する問題へと帰着させられます。
\end{equation*}が成り立つ。
\left( \left( 2-3i\right) ^{2}\right) ^{3} &=&\left( 2-3i\right) ^{6} \\
\left( 2^{2}\right) ^{3} &=&2^{6} \\
\left( \left( -3i\right) ^{2}\right) ^{3} &=&\left( -3i\right) ^{6} \\
\left( i^{2}\right) ^{3} &=&i^{6}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
積の累乗
複素数\(z,w\in \mathbb{R} \)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\left( zw\right) ^{n}=z^{n}w^{n}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、複素数\(z,w\)が与えられたとき、それらの積の累乗\(\left( zw\right) ^{n}\)を求めるためには、\(z\)の累乗\(z^{n}\)と\(w\)の累乗\(w^{n}\)をそれぞれとり、それらの積をとればよいということです。「積の累乗」に関する問題は「累乗の積」に関する問題へと帰着させられます。
\end{equation*}が成り立つ。
\left[ \left( 1-2i\right) \left( 3+i\right) \right] ^{3} &=&\left(
1-2i\right) ^{3}\left( 3+i\right) ^{3} \\
\left[ \left( 1-2i\right) 3\right] ^{3} &=&\left( 1-2i\right) ^{3}\cdot 3^{3}
\\
\left[ \left( -2\right) \left( 3+i\right) \right] ^{3} &=&\left( -2\right)
^{3}\left( 3+i\right) ^{3} \\
\left[ \left( -2i\right) i\right] ^{3} &=&\left( -2i\right) ^{3}i^{3}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
商の累乗
複素数\(z\in \mathbb{C} \)と非ゼロの複素数\(w\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)および自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\left( \frac{z}{w}\right) ^{n}=\frac{z^{n}}{w^{n}}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、複素数\(z,w\)が与えられたとき、それらの商の累乗\(\left( \frac{z}{w}\right) ^{n}\)を求めるためには、\(z\)の累乗\(z^{n}\)と\(w\)の累乗\(w^{n}\)をそれぞれとり、それらの商をとればよいということです。「商の累乗」に関する問題は「累乗の商」に関する問題へと帰着させられます。
\end{equation*}が成り立つ。
\left( \frac{2-i}{3+5i}\right) ^{3} &=&\frac{\left( 2-i\right) ^{2}}{\left(
3+5i\right) ^{2}} \\
\left( \frac{2}{3+5i}\right) ^{3} &=&\frac{2^{3}}{\left( 3+5i\right) ^{3}} \\
\left( \frac{2-i}{5i}\right) ^{3} &=&\frac{\left( 2-i\right) ^{3}}{\left(
5i\right) ^{3}}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
累乗の共役複素数
複素数\(z\in \mathbb{C} \)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\overline{\left( z^{n}\right) }=\left( \overline{z}\right) ^{n}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、累乗の共役複素数は共役複素数の累乗と一致します。
\end{equation*}が成り立つ。
虚数単位の累乗の周期性
虚数単位\(i\)については、累乗の定義より、\begin{eqnarray*}i^{0} &=&1 \\
i^{1} &=&i \\
i^{2} &=&-1 \\
i^{3} &=&-1i=-i \\
i^{4} &=&-ii=1
\end{eqnarray*}となりますが、\(i^{4}\)は\(i^{0}\)と一致するため、以降は同じパターンの繰り返しです。
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ n=4m\right) \\
i & \left( if\ n=4m+1\right) \\
-1 & \left( if\ n=4m+2\right) \\
-i & \left( if\ n=4m+3\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となる。ただし、\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)である。
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ n=4m\right) \\
-i & \left( if\ n=4m+1\right) \\
-1 & \left( if\ n=4m+2\right) \\
i & \left( if\ n=4m+3\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つことが導かれます。ただし、\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)です(演習問題)。
極形式の複素数の累乗(ド・モアブルの定理)
非ゼロの複素数\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)の極形式\begin{equation*}z=r\left[ \cos \left( \theta \right) +\sin \left( \theta \right) i\right] \end{equation*}が与えられている場合には、\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}z^{n}=r^{n}\left[ \cos \left( n\theta \right) +\sin \left( n\theta \right) i\right] \end{equation*}が成り立ちます。つまり、非ゼロの複素数\(z\)の\(n\)乗をとることは、\(z\)の絶対値\(r\)を\(n\)乗し、\(z\)の偏角を\(n\)倍することを意味するということです。
\end{equation*}を定義します。これは非ゼロの複素数であるため、先の命題より、\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}z^{n} &=&1^{n}\left[ \cos \left( n\theta \right) +\sin \left( n\theta
\right) i\right] \\
&=&\cos \left( n\theta \right) +\sin \left( n\theta \right) i
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
z^{n}=\cos \left( n\theta \right) +\sin \left( n\theta \right) i
\end{equation*}が成り立ちます。これをド・モアブルの定理(de Moivre’s theorem)と呼びます。
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ n=4m\right) \\
i & \left( if\ n=4m+1\right) \\
-1 & \left( if\ n=4m+2\right) \\
-i & \left( if\ n=4m+3\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)です。同じことをド・モアブルの定理を用いて示します。具体的には、虚数単位\(i\)を極形式で表現すると、\begin{eqnarray*}i &=&0+i \\
&=&\cos \left( \frac{\pi }{2}\right) +\sin \left( \frac{\pi }{2}\right) i
\end{eqnarray*}となるため、ド・モアブルの定理より、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation}i^{n}=\cos \left( \frac{n\pi }{2}\right) +\sin \left( \frac{n\pi }{2}\right)
i \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。\(i^{0}=1\)であることも併せて考えると、\(n=4m\)の場合には、\begin{eqnarray*}i^{4m} &=&\cos \left( \frac{4m\pi }{2}\right) +\sin \left( \frac{4m\pi }{2}\right) i\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\cos \left( 2m\pi \right) +\sin \left( 2m\pi \right) i \\
&=&1+0i \\
&=&1
\end{eqnarray*}となり、\(n=4m+1\)の場合には、\begin{eqnarray*}i^{4m+1} &=&\cos \left( \frac{\left( 4m+1\right) \pi }{2}\right) +\sin
\left( \frac{\left( 4m+1\right) \pi }{2}\right) i\quad \because \left(
2\right) \\
&=&\cos \left( 2m\pi +\frac{\pi }{2}\right) +\sin \left( 2m\pi +\frac{\pi }{2}\right) i \\
&=&0+1i \\
&=&i
\end{eqnarray*}となり、\(n=4m+2\)の場合には、\begin{eqnarray*}i^{4m+2} &=&\cos \left( \frac{\left( 4m+2\right) \pi }{2}\right) +\sin
\left( \frac{\left( 4m+2\right) \pi }{2}\right) i\quad \because \left(
2\right) \\
&=&\cos \left( 2m\pi +\pi \right) +\sin \left( 2m\pi +\pi \right) i \\
&=&-1+0i \\
&=&-1
\end{eqnarray*}となり、\(n=4m+3\)の場合には、\begin{eqnarray*}i^{4m+3} &=&\cos \left( \frac{\left( 4m+3\right) \pi }{2}\right) +\sin
\left( \frac{\left( 4m+3\right) \pi }{2}\right) i\quad \because \left(
2\right) \\
&=&\cos \left( 2m\pi +\frac{3\pi }{2}\right) +\sin \left( 2m\pi +\frac{3\pi
}{2}\right) i \\
&=&0-1i \\
&=&-i
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 1\right) \)が導かれました。
複素数の指数表現の累乗
非ゼロの複素数\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)の指数表現\begin{equation*}z=re^{i\theta }
\end{equation*}が与えられている場合、\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}z^{n}=r^{n}e^{in\theta }
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}が与えられている場合には、\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}z^{n}=r^{n}e^{in\theta }
\end{equation*}が成り立つ。
演習問題
- \(\overline{4i}\left( 2-i\right) ^{2}\)
- \(\left( \overline{2-i}\right) ^{2}\)
- \(\left( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right) ^{3}\)
- \(\left( 2i\right) ^{5}\)
- \(i^{12}+i^{25}-7i^{111}\)
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ n=4m\right) \\
-i & \left( if\ n=4m+1\right) \\
-1 & \left( if\ n=4m+2\right) \\
i & \left( if\ n=4m+3\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。ただし、\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)です。
\left( 2+2i\right) ^{11}
\end{equation*}を\(a+bi\ \left( a,b\in \mathbb{R} \right) \)の形で表現してください。
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