複素数体は全順序体にはなり得ない
複素数集合\(\mathbb{C} \)上に複素数加法と複素数乗法\begin{eqnarray*}+ &:&\mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \\
\cdot &:&\mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}を定義すれば、これらの組\begin{equation*}
\left( \mathbb{C} ,+,\cdot \right)
\end{equation*}は体としての性質\begin{eqnarray*}
&&\left( C_{1}\right) \ \forall z,v,w\in \mathbb{C} :\left( z+v\right) +w=z+\left( v+w\right) \\
&&\left( C_{2}\right) \ \exists \boldsymbol{0}\in \mathbb{C} ,\ \forall z\in \mathbb{C} :z+\boldsymbol{0}=z \\
&&\left( C_{3}\right) \ \forall z\in \mathbb{C} ,\ \exists -z\in \mathbb{C} :z+\left( -z\right) =\boldsymbol{0} \\
&&\left( C_{4}\right) \ \forall z,w\in \mathbb{C} :z+w=w+z \\
&&\left( C_{5}\right) \ \forall z,v,w\in \mathbb{C} :\left( zv\right) w=z\left( vw\right) \\
&&\left( C_{6}\right) \ \exists \boldsymbol{1}\in \mathbb{C} \backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} ,\ \forall z\in \mathbb{C} :z\boldsymbol{1}=z \\
&&\left( C_{7}\right) \ \forall z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} ,\ \exists z^{-1}\in \mathbb{C} :zz^{-1}=\boldsymbol{1} \\
&&\left( C_{8}\right) \ \forall z,w\in \mathbb{C} :zw=wz \\
&&\left( C_{9}\right) \ \forall z,v,w\in \mathbb{C} :\left( z+v\right) w=zw+vw
\end{eqnarray*}を満たすことが明らかになりました。加法\(+\)と乗法\(\cdot \)に加えて何らかの二項関係\begin{equation*}\leq \in \mathbb{C} \times \mathbb{C} \end{equation*}を定義することにより、これらの組\begin{equation*}
\left( \mathbb{C} ,+,\cdot ,\leq \right)
\end{equation*}が全順序体になり得るのでしょうか。つまり、以下の性質\begin{eqnarray*}
&&\left( C_{1}\right) \ \forall z,v,w\in \mathbb{C} :\left( z+v\right) +w=z+\left( v+w\right) \\
&&\left( C_{2}\right) \ \exists \boldsymbol{0}\in \mathbb{C} ,\ \forall z\in \mathbb{C} :z+\boldsymbol{0}=z \\
&&\left( C_{3}\right) \ \forall z\in \mathbb{C} ,\ \exists -z\in \mathbb{C} :z+\left( -z\right) =\boldsymbol{0} \\
&&\left( C_{4}\right) \ \forall z,w\in \mathbb{C} :z+w=w+z \\
&&\left( C_{5}\right) \ \forall z,v,w\in \mathbb{C} :\left( zv\right) w=z\left( vw\right) \\
&&\left( C_{6}\right) \ \exists \boldsymbol{1}\in \mathbb{C} \backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} ,\ \forall z\in \mathbb{C} :z\boldsymbol{1}=z \\
&&\left( C_{7}\right) \ \forall z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} ,\ \exists z^{-1}\in \mathbb{C} :zz^{-1}=\boldsymbol{1} \\
&&\left( C_{8}\right) \ \forall z,w\in \mathbb{C} :zw=wz \\
&&\left( C_{9}\right) \ \forall z,v,w\in \mathbb{C} :\left( z+v\right) w=zw+vw \\
&&\left( C_{10}\right) \ \forall z\in \mathbb{C} :z\leq z \\
&&\left( C_{11}\right) \ \forall z,w\in \mathbb{C} :\left[ \left( z\leq w\wedge w\leq z\right) \Rightarrow z=w\right] \\
&&\left( C_{12}\right) \ \forall z,v,w\in \mathbb{C} :\left[ \left( z\leq v\wedge v\leq w\right) \Rightarrow z\leq w\right] \\
&&\left( C_{13}\right) \ \forall z,w\in \mathbb{C} :\left( z\leq w\vee w\leq z\right) \\
&&\left( C_{14}\right) \ \forall z,v,w\in \mathbb{C} :\left( z\leq v\Rightarrow z+w\leq v+w\right) \\
&&\left( C_{15}\right) \ \forall z,w\in \mathbb{C} :\left[ \left( \boldsymbol{0}\leq z\wedge \boldsymbol{0}\leq w\right)
\Rightarrow \boldsymbol{0}\leq zw\right]
\end{eqnarray*}が成り立つ事態は起こり得るのでしょうか。ただし、\(\leq \)が\(\left(C_{10}\right) \)から\(\left( C_{13}\right) \)を満たすことは\(\leq \)が\(\mathbb{C} \)上の全順序であることを意味し、それらに加えて\(\left( C_{14}\right) ,\left( C_{15}\right) \)が成り立つことは\(\mathbb{C} \)が\(+,\cdot ,\leq \)のもとで全順序体であることを意味します。
\(\left( \mathbb{C} ,+,\cdot ,\leq \right) \)が全順序体になるような二項関係\(\leq \)が存在するものと仮定します。つまり、\(\left( C_{1}\right) \)から\(\left( C_{15}\right) \)が成り立つ状況を想定するということです。
まずは以下の命題を示します。
\end{equation*}が成り立つ。
続いて、以下の命題を示します。
\end{equation*}が成り立つ。
以下の複素数\begin{equation*}
i=\left( 0,1\right) \in \mathbb{C} \end{equation*}に注目します。すると\(\left( C_{13}\right) \)より、これとゼロ\(\boldsymbol{0}\in \mathbb{C} \)の間には以下の関係\begin{equation*}i\leq \boldsymbol{0}\vee \boldsymbol{0}\leq i
\end{equation*}が成り立ちます。そこで、以降では\(i\leq \boldsymbol{0}\)の場合と\(\boldsymbol{0}\leq i\)の場合のそれぞれについて考えます。
\(i\leq \boldsymbol{0}\)が成り立つものとします。すると\(\left( C_{14}\right) \)より、\begin{equation*}i+\left( -i\right) \leq \boldsymbol{0}+\left( -i\right)
\end{equation*}を得るため、\(\left( C_{2}\right) ,\left(C_{3}\right) ,\left( C_{4}\right) \)より、\begin{equation*}\boldsymbol{0}\leq -i
\end{equation*}を得ます。すると\(\left(C_{15}\right) \)より、\begin{equation*}\boldsymbol{0}\leq \left( -i\right) \left( -i\right)
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\begin{eqnarray*}
\left( -i\right) \left( -i\right) &=&\left( 0,1\right) \left( 0,1\right) \\
&=&\left( -1,0\right) \\
&=&-\boldsymbol{1}
\end{eqnarray*}であるため、先の不等式は、\begin{equation*}
\boldsymbol{0}\leq -\boldsymbol{1}
\end{equation*}と必要十分です。すると\(\left( C_{14}\right) \)より、\begin{equation*}\boldsymbol{0}+\boldsymbol{1}\leq -\boldsymbol{1}+\boldsymbol{1}
\end{equation*}を得るため、\(\left( C_{2}\right) ,\left(C_{3}\right) \)より、\begin{equation*}\boldsymbol{1}\leq \boldsymbol{0}
\end{equation*}を得ますが、これは\(\boldsymbol{1}>\boldsymbol{0}\)と矛盾です。
\(\boldsymbol{0}\leq i\)が成り立つものとします。すると\(\left( C_{15}\right) \)より、\begin{equation*}\boldsymbol{0}\leq ii
\end{equation*}を得ます。ただし、\begin{eqnarray*}
ii &=&\left( 0,1\right) \left( 0,1\right) \\
&=&\left( -1,0\right) \\
&=&-\boldsymbol{1}
\end{eqnarray*}であるため、先の不等式は、\begin{equation*}
\boldsymbol{0}\leq -\boldsymbol{1}
\end{equation*}と必要十分です。すると\(\left( C_{14}\right) \)より、\begin{equation*}\boldsymbol{0}+\boldsymbol{1}\leq -\boldsymbol{1}+\boldsymbol{1}
\end{equation*}を得るため、\(\left( C_{2}\right) ,\left(C_{3}\right) \)より、\begin{equation*}\boldsymbol{1}\leq \boldsymbol{0}
\end{equation*}を得ますが、これは\(\boldsymbol{1}>\boldsymbol{0}\)と矛盾です。
以上の議論より、\(\left( \mathbb{C} ,+,\cdot ,\leq \right) \)が全順序体になるような二項関係\(\leq \)が存在するものと仮定すると、公理系が矛盾することが明らかになりました。したがって、\(\left( \mathbb{C} ,+,\cdot ,\leq \right) \)が全順序体になるような二項関係\(\leq \)は存在しません。複素数体は全順序体にはなり得ないということです。
複素数体上の全順序の例:辞書式順序
\(\left( \mathbb{C} ,+,\cdot ,\leq \right) \)が全順序体になるような二項関係\(\leq \)は存在しないことが明らかになりました。ただし、\(\left( \mathbb{C} ,\leq \right) \)が全順序集合になるような二項関係\(\leq \)は存在します。つまり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( C_{10}\right) \ \forall z\in \mathbb{C} :z\leq z \\
&&\left( C_{11}\right) \ \forall z,w\in \mathbb{C} :\left[ \left( z\leq w\wedge w\leq z\right) \Rightarrow z=w\right] \\
&&\left( C_{12}\right) \ \forall z,v,w\in \mathbb{C} :\left[ \left( z\leq v\wedge v\leq w\right) \Rightarrow z\leq w\right] \\
&&\left( C_{13}\right) \ \forall z,w\in \mathbb{C} :\left( z\leq w\vee w\leq z\right)
\end{eqnarray*}を満たす二項関係\(\leq \)は存在します。以下が具体例です。
任意の複素数\(z,w\in \mathbb{C} \)に対して、以下の条件\begin{equation*}z\leq w\Leftrightarrow \mathrm{Re}\left( z\right) <\mathrm{Re}\left( w\right)
\vee \left[ \mathrm{Re}\left( z\right) =\mathrm{Re}\left( w\right) \wedge \mathrm{Im}\left( z\right) \leq \mathrm{Im}\left( w\right) \right]
\end{equation*}を満たすものとして\(\mathbb{C} \)上の二項関係\(\leq \)を定義します。ただし、左辺中の\(\leq \)は新たに定義された\(\mathbb{C} \)上の二項関係であるのに対し、右辺中の\(=,\leq ,<\)は\(\mathbb{R} \)上の相等関係、大小関係、狭義大小関係です。つまり、2つの複素数\(z,w\)が与えられたとき、\(w\)の実部が\(z\)の実部を上回る場合や、\(w\)の実部と\(z\)の実部が一致するとともに\(w\)の虚部が\(z\)の虚部以上である場合には、\(z\)を\(w\)以上と判定するということです。このような二項関係\(\leq \)を辞書式順序(lexicographic order)と呼びます。
辞書式順序は全順序関係です。
\vee \left[ \mathrm{Re}\left( z\right) =\mathrm{Re}\left( w\right) \wedge \mathrm{Im}\left( z\right) \leq \mathrm{Im}\left( w\right) \right] \end{equation*}を満たすものとして\(\mathbb{C} \)上の二項関係\(\leq \)を定義する。\(\leq \)は\(\mathbb{C} \)上の全順序である。
複素数体上の半順序の例:標準的順序
任意の複素数\(z,w\in \mathbb{C} \)に対して、以下の条件\begin{equation*}z\leq w\Leftrightarrow \mathrm{Re}\left( z\right) \leq \mathrm{Re}\left(
w\right) \wedge \mathrm{Im}\left( z\right) \leq \mathrm{Im}\left( w\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(\mathbb{C} \)上の二項関係\(\leq \)を定義します。ただし、左辺中の\(\leq \)は新たに定義された\(\mathbb{C} \)上の二項関係であるのに対し、右辺中の\(\leq \)は\(\mathbb{R} \)上の大小関係です。つまり、2つの複素数\(z,w\)が与えられたとき、\(w\)の実部が\(z\)の実部以上であり、なおかつ\(w\)の虚部が\(z\)の虚部以上である場合には、\(z\)を\(w\)以上と判定するということです。このような二項関係\(\leq \)を標準的順序(normal ordering)や自然順序(natural ordering)などと呼びます。
標準的順序は半順序関係です。
w\right) \wedge \mathrm{Im}\left( z\right) \leq \mathrm{Im}\left( w\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(\mathbb{C} \)上の二項関係\(\leq \)を定義する。\(\leq \)は\(\mathbb{C} \)上の半順序である。
標準的順序は半順序である一方で全順序ではありません。つまり、標準的順序\(\leq \)は完備律\begin{equation*}\left( C_{13}\right) \ \forall z,w\in \mathbb{C} :\left( z\leq w\vee w\leq z\right)
\end{equation*}を満たしません。以下の例より明らかです。
z &=&\left( 1,0\right) \in \mathbb{C} \\
w &=&\left( 0,1\right) \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}に注目すると、標準的順序\(\leq \)の定義より\(z\leq w\)と\(w\leq z\)はともに成り立たず、したがって\(\leq \)は完備律\begin{equation*}\forall z,w\in \mathbb{C} :\left( z\leq w\vee w\leq z\right)
\end{equation*}を満たしません。
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