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複素数の定義

複素数の極形式(極表示)

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複素数の定義

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複素数の絶対値と偏角

複素数は実数を成分とする順序対として定義されるため、複素数\(z\in \mathbb{C} \)を表現するためにはその実部\(\mathrm{Re}\left( z\right) \)と虚部\(\mathrm{Im}\left( z\right) \)に相当する実数を指定すればよく、その結果、\begin{equation*}z=\left( \mathrm{Re}\left( z\right) ,\mathrm{Im}\left( z\right) \right)
\end{equation*}が得られます。これを複素数\(z\)の標準形(standard form)や直交形式(rectangular form)などと呼びます。以降では、標準形とは異なる方法で複素数を表現する方法を解説します。

図:複素平面
図:複素平面

複素数\(z\in \mathbb{C} \)が複素平面上の点として表現されている状況を想定します(上図)。

線分\(Oz\)の長さを複素数\(z\)の絶対値(absolute value)や長さ(length)などと呼び、これを、\begin{equation*}\left\vert z\right\vert
\end{equation*}で表記します。線分\(Oz\)の長さは非負の実数として定まるため、複素数\(z\)の絶対値\(\left\vert z\right\vert \)は1つの非負の実数として定まります。具体的には、三平方の定理より、\begin{equation*}\left\vert z\right\vert =\sqrt{\left[ \mathrm{Re}\left( z\right) \right] ^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( z\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}が成り立ちます。

線分\(Oz\)と実軸のなす角の大きさを\(z\)の偏角(argument)と呼び、これを、\begin{equation*}\arg \left( z\right)
\end{equation*}で表記します。線分\(Oz\)と実軸のなす角の大きさを反時計回りに計測する場合には\(z\)の偏角は正の実数になる一方で、時計回りに計測する場合には\(z\)の偏角は負の実数になります。いずれにせよ、正弦および余弦の定義より、\(\left\vert z\right\vert \not=0\)である場合には、\begin{eqnarray*}\cos \left( \arg \left( z\right) \right) &=&\frac{\mathrm{Re}\left( z\right)
}{\left\vert z\right\vert } \\
\sin \left( \arg \left( z\right) \right) &=&\frac{\mathrm{Im}\left( z\right)
}{\left\vert z\right\vert }
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\left\vert z\right\vert \not=0\)を満たす複素数\(z\)の偏角\(\arg \left( z\right) \)は以上の2つの条件を満たす値として定義されます。

複素数\(z\)の偏角が\(\theta \)である場合、\(\theta \)に\(2\pi \)の整数倍を足しても点\(z\)の位置は変わらないため、任意の整数\(n\in \mathbb{Z} \)について\(\theta +2n\pi \)もまた\(z\)の偏角になります。つまり、複素数\(z\)の偏角\(\theta \)を任意に選んだ場合、\(z\)の偏角を以下の集合\begin{equation*}\arg \left( z\right) =\left\{ \theta +2n\pi \in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{Z} \right\}
\end{equation*}と同一視することができます。この集合に属する値の中でも\(-\pi \)より大きく\(\pi \)以下であるような偏角を複素数\(z\)の偏角の主値(principal value of the argument of \(z\))と呼び、\begin{equation*}\mathrm{Arg}\left( z\right)
\end{equation*}で表記します。つまり、\(\left\vert z\right\vert \not=0\)を満たす複素数\(z\)の偏角の主値\(\mathrm{Arg}\left( z\right) \)は、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \cos \left( \mathrm{Arg}\left( z\right) \right) =\frac{\mathrm{Re}\left( z\right) }{\left\vert z\right\vert } \\
&&\left( b\right) \ \sin \left( \mathrm{Arg}\left( z\right) \right) =\frac{\mathrm{Im}\left( z\right) }{\left\vert z\right\vert } \\
&&\left( c\right) \ -\pi <\mathrm{Arg}\left( z\right) \leq \pi
\end{eqnarray*}を満たす値として定義されます。複素数の偏角は一意的に定まらない一方で、偏角の主値は一意的に定まります。定義より、偏角とその主値の間には以下の関係\begin{equation*}
\arg \left( z\right) =\mathrm{Arg}\left( z\right) +2n\pi \quad \left( n\in \mathbb{Z} \right)
\end{equation*}が成り立ちます。

主値が満たすべき条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)より、\(\mathrm{Re}\left( z\right) \not=0\)の場合には、\begin{equation*}\tan \left( \mathrm{Arg}\left( z\right) \right) =\frac{\mathrm{Im}\left(
z\right) }{\mathrm{Re}\left( z\right) }
\end{equation*}が成り立ちますが、正接関数は単射ではないため、以上の関係を満たす\(\mathrm{Arg}\left( z\right) \)の値、すなわち、\begin{equation*}\mathrm{Arg}\left( z\right) =\arctan \left( \frac{\mathrm{Im}\left( z\right) }{\mathrm{Re}\left( z\right) }\right)
\end{equation*}は一意的に定まりません。以上の条件を満たす角度\(\mathrm{Arg}\left( z\right) \)を特定した上で、その中から、\begin{equation*}-\pi <\mathrm{Arg}\left( z\right) \leq \pi
\end{equation*}を満たすものを選ぶことになります。

実部と虚部がともに\(0\)であるような複素数を、\begin{equation*}\boldsymbol{0}=\left( 0,0\right) \in \mathbb{C} \end{equation*}で表記し、これをゼロ(zero)と呼びます。ゼロの絶対値は、\begin{equation*}
\left\vert \boldsymbol{0}\right\vert =\sqrt{0^{2}+0^{2}}=0
\end{equation*}である一方で、ゼロの偏角\(\arg \left( \boldsymbol{0}\right) \)および主値\(\mathrm{Arg}\left( \boldsymbol{0}\right) \)定義されません。

例(複素数の偏角と絶対値)
以下の複素数\begin{equation*}
z=\left( 1,0\right)
\end{equation*}の絶対値は、\begin{eqnarray*}
\left\vert z\right\vert &=&\sqrt{1^{2}+0^{2}} \\
&=&1
\end{eqnarray*}です。また、\begin{eqnarray*}
\tan \left( \theta \right) &=&\frac{\mathrm{Im}\left( z\right) }{\mathrm{Re}\left( z\right) } \\
&=&\frac{0}{1} \\
&=&0
\end{eqnarray*}を満たす\(\theta \)は、\begin{equation*}\theta =0+n\pi \quad \left( n\in \mathbb{Z} \right)
\end{equation*}です。点\(z\)は第1象限上に存在するため、偏角の主値は、\begin{equation*}\mathrm{Arg}\left( z\right) =0
\end{equation*}となります。

例(複素数の偏角と絶対値)
以下の複素数\begin{equation*}
z=\left( 1,1\right)
\end{equation*}の絶対値は、\begin{eqnarray*}
\left\vert z\right\vert &=&\sqrt{1^{2}+1^{2}} \\
&=&\sqrt{2}
\end{eqnarray*}です。また、\begin{eqnarray*}
\tan \left( \theta \right) &=&\frac{\mathrm{Im}\left( z\right) }{\mathrm{Re}\left( z\right) } \\
&=&\frac{1}{1} \\
&=&1
\end{eqnarray*}を満たす\(\theta \)は、\begin{equation*}\theta =\frac{\pi }{4}+n\pi \quad \left( n\in \mathbb{Z} \right)
\end{equation*}です。点\(z\)は第1象限上に存在するため、偏角の主値は、\begin{equation*}\mathrm{Arg}\left( z\right) =\frac{\pi }{4}
\end{equation*}となります。

例(複素数の偏角と絶対値)
以下の複素数\begin{equation*}
z=\left( -1,0\right)
\end{equation*}の絶対値は、\begin{eqnarray*}
\left\vert z\right\vert &=&\sqrt{\left( -1\right) ^{2}+0^{2}} \\
&=&1
\end{eqnarray*}です。また、\begin{eqnarray*}
\tan \left( \theta \right) &=&\frac{\mathrm{Im}\left( z\right) }{\mathrm{Re}\left( z\right) } \\
&=&\frac{0}{-1} \\
&=&0
\end{eqnarray*}を満たす\(\theta \)は、\begin{equation*}\theta =0+n\pi \quad \left( n\in \mathbb{Z} \right)
\end{equation*}です。点\(z\)は第2象限上に存在するため、偏角の主値は、\begin{equation*}\mathrm{Arg}\left( z\right) =\pi
\end{equation*}となります。

 

複素数の極形式(極表示)

\(\boldsymbol{0}\in \mathbb{C} \)とは異なる複素数\(z\in \mathbb{C} \)の標準形\begin{equation*}z=\left( \mathrm{Re}\left( z\right) ,\mathrm{Im}\left( z\right) \right)
\end{equation*}が与えられている状況を想定します。\(z\not=\boldsymbol{0}\)であるため、\(z\)の絶対値と偏角がそれぞれ、

図:複素平面
図:複素平面

正弦および余弦の定義より、\begin{eqnarray}
\sin \left( \mathrm{Arg}\left( z\right) \right) &=&\frac{\mathrm{Im}\left(
z\right) }{\left\vert z\right\vert } \quad \cdots (1) \\
\cos \left( \mathrm{Arg}\left( z\right) \right) &=&\frac{\mathrm{Re}\left(
z\right) }{\left\vert z\right\vert } \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
z &=&\left( \mathrm{Re}\left( z\right) ,\mathrm{Im}\left( z\right) \right) \quad
\because z\in \mathbb{C} \\
&=&\left( \left\vert z\right\vert \cos \left( \mathrm{Arg}\left( z\right)
\right) ,\left\vert z\right\vert \sin \left( \mathrm{Arg}\left( z\right)
\right) \right) \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
z=\left( \left\vert z\right\vert \cos \left( \mathrm{Arg}\left( z\right)
\right) ,\left\vert z\right\vert \sin \left( \mathrm{Arg}\left( z\right)
\right) \right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、複素数\(z\)を自身の絶対値\(\left\vert z\right\vert \)と偏角\(\mathrm{Arg}\left( z\right) \)を用いて上のように表現できます。これを複素数\(z\)の極形式(polar form)や極表示(polar representation)などと呼びます。

例(複素数の極形式)
以下の複素数\begin{equation*}
z=\left( 1,0\right)
\end{equation*}の絶対値と偏角は、\begin{eqnarray*}
\left\vert z\right\vert &=&1 \\
\mathrm{Arg}\left( z\right) &=&0
\end{eqnarray*}であるため、\(z\)の極形式は、\begin{eqnarray*}z &=&\left( \left\vert z\right\vert \cos \left( \mathrm{Arg}\left( z\right)
\right) ,\left\vert z\right\vert ,\sin \left( \mathrm{Arg}\left( z\right)
\right) \right) \\
&=&\left( 1\cos \left( 0\right) ,1\sin \left( 0\right) \right) \\
&=&\left( \cos \left( 0\right) ,\sin \left( 0\right) \right)
\end{eqnarray*}となります。

例(複素数の極形式)
以下の複素数\begin{equation*}
z=\left( 1,1\right)
\end{equation*}の絶対値と偏角は、\begin{eqnarray*}
\left\vert z\right\vert &=&\sqrt{2} \\
\mathrm{Arg}\left( z\right) &=&\frac{\pi }{4}
\end{eqnarray*}であるため、\(z\)の極形式は、\begin{eqnarray*}z &=&\left( \left\vert z\right\vert \cos \left( \mathrm{Arg}\left( z\right)
\right) ,\left\vert z\right\vert ,\sin \left( \mathrm{Arg}\left( z\right)
\right) \right) \\
&=&\left( \sqrt{2}\cos \left( \frac{\pi }{4}\right) ,\sqrt{2}\sin \left(
\frac{\pi }{4}\right) \right)
\end{eqnarray*}となります。

例(複素数の極形式)
以下の複素数\begin{equation*}
z=\left( -1,0\right)
\end{equation*}の絶対値と偏角は、\begin{eqnarray*}
\left\vert z\right\vert &=&1 \\
\mathrm{Arg}\left( z\right) &=&\pi
\end{eqnarray*}であるため、\(z\)の極形式は、\begin{eqnarray*}z &=&\left( \left\vert z\right\vert \cos \left( \mathrm{Arg}\left( z\right)
\right) ,\left\vert z\right\vert ,\sin \left( \mathrm{Arg}\left( z\right)
\right) \right) \\
&=&\left( 1\cos \left( \pi \right) ,1\sin \left( \pi \right) \right) \\
&=&\left( \cos \left( \pi \right) ,\sin \left( \pi \right) \right)
\end{eqnarray*}となります。

 

複素数の極形式の一意性

\(\boldsymbol{0}\in \mathbb{C} \)とは異なる複素数\(z\in \mathbb{C} \)の標準形\begin{equation*}z=\left( \mathrm{Re}\left( z\right) ,\mathrm{Im}\left( z\right) \right)
\end{equation*}が与えられたとき、\(z\)の絶対値と偏角がそれぞれ、\begin{eqnarray*}\left\vert z\right\vert &>&0 \\
\mathrm{Arg}\left( z\right) &\in &(-\pi ,\pi ] \end{eqnarray*}を満たす値として一意的に定まるため、\(z\)の極形式\begin{equation*}z=\left( \left\vert z\right\vert \cos \left( \mathrm{Arg}\left( z\right)
\right) ,\left\vert z\right\vert ,\sin \left( \mathrm{Arg}\left( z\right)
\right) \right)
\end{equation*}は必ず存在します。しかも、\(z\)の極形式は一意的に定まります。実際、\(z\)が以下の条件\begin{eqnarray*}r &>&0 \\
\theta &\in &(-\pi ,\pi ] \end{eqnarray*}を満たす実数\(r,\theta \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}z=\left( r\cos \left( \theta \right) ,r\sin \left( \theta \right) \right)
\end{equation*}と表されるものとすると、\(z\)の絶対値は、\begin{eqnarray*}\left\vert z\right\vert &=&\sqrt{r^{2}\cos ^{2}\left( \theta \right)
+r^{2}\sin ^{2}\left( \theta \right) } \\
&=&\sqrt{r^{2}\left[ \cos ^{2}\left( \theta \right) +\sin ^{2}\left( \theta
\right) \right] } \\
&=&\sqrt{r^{2}} \\
&=&r
\end{eqnarray*}となり、これは\(r\)と一致します。また、\begin{eqnarray*}\mathrm{Re}\left( z\right) &=&r\cos \left( \theta \right) \\
\mathrm{Im}\left( z\right) &=&r\sin \left( \theta \right)
\end{eqnarray*}および\(r>0\)より、\begin{eqnarray*}\cos \left( \theta \right) &=&\frac{\mathrm{Re}\left( z\right) }{r} \\
\sin \left( \theta \right) &=&\frac{\mathrm{Im}\left( z\right) }{r}
\end{eqnarray*}となるため、\(\theta \)は\(z\)の偏角と一致します。

 

演習問題

問題(複素数の極形式)
以下の複素数\begin{equation*}
z=\left( 0,4\right)
\end{equation*}の極形式を特定してください。

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問題(複素数の極形式)
以下の複素数\begin{equation*}
z=\left( -4,4\right)
\end{equation*}の極形式を特定してください。

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問題(複素数の極形式)
以下の複素数\begin{equation*}
z=\left( \sqrt{3},1\right)
\end{equation*}の極形式を特定してください。

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問題(複素数の絶対値と偏角から標準形を得る)
複素数\(z\in \mathbb{C} \)の絶対値と偏角がそれぞれ、\begin{eqnarray*}\left\vert z\right\vert &=&13 \\
\tan \left( \mathrm{Arg}\left( z\right) \right) &=&\frac{5}{12}
\end{eqnarray*}を満たすものとします。\(z\)の標準形を特定してください。
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