複素数の減法（複素数の差）

複素数の減法

2つの複素数\(z,w\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}z-w=z+\left( -w\right)
\end{equation*}と定義される複素数\(z-w\)を\(z\)と\(w\)の差（difference）と呼びます。ただし、左辺中の\(-\)は複素数の減法、右辺中の\(+\)は複素数の加法、\(-w\)は\(w\)の加法逆元を表す記号です。

複素数\(z,w\in \mathbb{C} \)を任意に選びます。複素数の加法逆元は複素数であるため\(-w\in \mathbb{C} \)です。さらに、複素数どうしの和は複素数であるため\(z+\left( -w\right) \in \mathbb{C} \)です。以上の事実と複素数の差の定義より、\begin{equation*}\forall z,w\in \mathbb{C} :z-w\in \mathbb{C} \end{equation*}を得ます。このことを指して、\(\mathbb{C} \)は\(-\)について閉じている（\(\mathbb{C} \) is closed under \(-\)）と言います。このような事情を踏まえると、それぞれの順序対\(\left( z,w\right) \in \mathbb{C} \times \mathbb{C} \)に対して差\(z-w\in \mathbb{C} \)を1つずつ定める二項演算\begin{equation*}-:\mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能です。この演算を複素数の減法（subtraction of complex numbers）と呼びます。順序対\(\left(z,w\right) \)に対して減法\(-\)を適用することを\(z\)から\(w\)を引く（subtract）と言います。

複素数\(z,w\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}z-w &=&z+\left( -w\right) \quad \because \text{複素数の減法の定義} \\
&=&\left( \mathrm{Re}\left( z\right) ,\mathrm{Im}\left( z\right) \right) +\left[
-\left( \mathrm{Re}\left( w\right) ,\mathrm{Im}\left( w\right) \right) \right] \quad \because z,w\in \mathbb{C} \\
&=&\left( \mathrm{Re}\left( z\right) ,\mathrm{Im}\left( z\right) \right) +\left(
-\mathrm{Re}\left( w\right) ,-\mathrm{Im}\left( w\right) \right) \quad \because
\text{複素数の加法逆元の定義} \\
&=&\left( \mathrm{Re}\left( z\right) +\left[ -\mathrm{Re}\left( w\right) \right] ,\mathrm{Im}\left( z\right) +\left[ -\mathrm{Im}\left( w\right) \right] \right)
\quad \because \text{複素数の加法の定義} \\
&=&\left( \mathrm{Re}\left( z\right) -\mathrm{Re}\left( w\right) ,\mathrm{Im}\left( z\right) -\mathrm{Im}\left( w\right) \right) \quad \because \text{実数の差の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
z-w=\left( \mathrm{Re}\left( z\right) -\mathrm{Re}\left( w\right) ,\mathrm{Im}\left( z\right) -\mathrm{Im}\left( w\right) \right)
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、左辺中の\(-\)は複素数の減法、右辺中の\(-\)は実数の減法を表す記号です。つまり、複素数の差\(z-w\)とは\(z,w\)の実部どうしの差を実部とし、虚部どうしの差を虚部とする複素数です。

ベクトル減法としての複素数減法

複素平面上に存在する2つの点\(Z,W\)を選んだ上で、これらの点の位置ベクトルに相当する複素数を、\begin{eqnarray*}z &\in &\mathbb{C} \\
w &\in &\mathbb{C} \end{eqnarray*}でそれぞれ表現します。つまり、ベクトル\(\overrightarrow{OZ}\)の終点座標が\(z\)であり、ベクトル\(\overrightarrow{OW}\)の終点座標が\(w\)です。

これらの位置ベクトル\(z,w\)の複素数としての差は、\begin{equation*}z-w=z+\left( -w\right)
\end{equation*}は2つの位置ベクトル\(z,-w\)のベクトル和と一致するため、これはベクトル\(\overrightarrow{OZ}+\left( -\overrightarrow{OW}\right) \)の終点座標と一致します。つまり、\(z-w\)は2つのベクトル\(\overrightarrow{OZ},-\overrightarrow{OW}\)によって形作られる平行四辺形の対角線の終点の位置ベクトルと一致します。

複素数の差の極形式

非ゼロの複素数\(z_{1},z_{2}\in \mathbb{C} \)の極形式\begin{eqnarray*}z_{1} &=&\left( r_{1}\cos \left( \theta _{1}\right) ,r_{1}\sin \left( \theta
_{1}\right) \right) \\
z_{2} &=&\left( r_{2}\cos \left( \theta _{2}\right) ,r_{2}\sin \left( \theta
_{2}\right) \right)
\end{eqnarray*}が与えられている場合、これらの差は、\begin{equation*}
z_{1}-z_{2}=\left( r_{1}\cos \left( \theta _{1}\right) -r_{2}\cos \left(
\theta _{2}\right) ,r_{1}\sin \left( \theta _{1}\right) -r_{2}\sin \left(
\theta _{2}\right) \right)
\end{equation*}となります。ただし、このままでは\(z_{1}-z_{2}\)の絶対値と偏角を特定できません。

極形式で表現された複素数\(z_{1},z_{2}\)の差\(z_{1}-z_{2}\)を極形式で表現するためには、\(z_{1},z_{2}\)を標準形\begin{eqnarray*}z_{1} &=&\left( \mathrm{Re}\left( z_{1}\right) ,\mathrm{Im}\left( z_{1}\right)
\right) \\
z_{2} &=&\left( \mathrm{Re}\left( z_{2}\right) ,\mathrm{Im}\left( z_{2}\right)
\right)
\end{eqnarray*}に変換してからこれらの差\begin{equation*}
z_{1}-z_{2}=\left( \mathrm{Re}\left( z_{1}\right) -\mathrm{Re}\left(
z_{2}\right) ,\mathrm{Im}\left( z_{1}\right) -\mathrm{Im}\left( z_{2}\right)
\right)
\end{equation*}をとり、さらにこれを極形式に変換することになります。

ゼロとの複素数減法

複素数\(z\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、それとゼロ\(\boldsymbol{0}=\left(0,0\right) \in \mathbb{C} \)の間には、\begin{eqnarray*}z-\boldsymbol{0} &=&z \\
\boldsymbol{0}-z &=&-z
\end{eqnarray*}などの関係が成り立ちます。つまり、複素数からゼロを引いても変化は起こらず、ゼロから複素数を引くと加法逆元が得られます。

複素数の和や差の加法逆元

\(\mathbb{C} \)は複素数の加法や減法について閉じているため、複素数\(z,w\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、それらの和\(z+w\)や差\(z-w\)もまた複素数です。任意の複素数の加法逆元は複素数であるため\(-\left( z+w\right) \)や\(-\left( z-w\right) \)はいずれも複素数であるが、これらについては、\begin{eqnarray*}-\left( z+w\right) &=&-z-w \\
-\left( z-w\right) &=&w-z
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。つまり、複素数の和や差の加法逆元はいずれも複素数の差を用いて表現可能です。

演習問題