コーシー・リーマンの方程式
複素平面\(\mathbb{C} \)もしくはその部分集合\(Z\)を定義域とし、複素数を値としてとる複素関数\begin{equation*}f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が与えられているものとします。\(f\)の定義域の内点\(a\in Z^{i}\)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset Z
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は中心が\(a\)であり半径が\(\varepsilon \)であるような近傍であり、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z-a\right\vert <\varepsilon \right\}
\end{equation*}です。\(f\)が点\(a\)において微分可能であることとは、以下の極限\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}が複素数として定まることとして定義されます。
複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)およびその実部\(u:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \)と虚部\(v:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \)の間には以下の関係\begin{equation}\forall z\in Z:f\left( z\right) =u\left( z\right) +iv\left( z\right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。複素数\(z\in Z\)を任意に選んだとき、これは何らかの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation}z=x+yi \quad \cdots (2)
\end{equation}と表すことができるため、以下の関係\begin{eqnarray*}
f\left( z\right) &=&f\left( x+yi\right) \quad \because \left( 2\right) \\
&=&u\left( x+yi\right) +iv\left( x+yi\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。このような事情を踏まえると、複素関数\(f\)の実部\(u\)と虚部\(v\)を、実数を値としてとり得る2つの変数\(x,y\)に関する2変数の実数値関数\begin{eqnarray*}u\left( x,y\right) &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \\
v\left( x,y\right) &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}とみなすことができます。このような解釈のもとでは、複素数\(z=x+y\in Z\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}f\left( z\right) =u\left( x,y\right) +iv\left( x,y\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)が定義域の内点\(a=b+ci\in Z^{i}\)において微分可能である場合、\(f\)の実部と虚部\(u,v:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \)はともに点\(\left( b,c\right) \)において偏微分可能であるとともに、そこでの偏微分係数の間に以下の関係\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \frac{\partial u\left( b,c\right) }{\partial x}=\frac{\partial v\left( b,c\right) }{\partial y} \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial u\left( b,c\right) }{\partial y}=-\frac{\partial v\left( b,c\right) }{\partial x}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。これをコーシー・リーマンの方程式（Cauchy-Riemann equations）と呼びます。しかもこの場合、\(f\)の点\(a\)における微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\frac{\partial u\left( b,c\right) }{\partial x}+i\frac{\partial v\left( b,c\right) }{\partial x}
\end{equation*}と一致します。
\end{equation*}が成り立つ。\(f\)の定義域の内点\(a=b+ci\in Z^{i}\)が与えられたとき、\(f\)が点\(a\)において微分可能であるならば、\(u,v\)はともに点\(\left( b,c\right) \)において偏微分可能であるとともに、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \frac{\partial u\left( b,c\right) }{\partial x}=\frac{\partial v\left( b,c\right) }{\partial y} \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial u\left( b,c\right) }{\partial y}=-\frac{\partial v\left( b,c\right) }{\partial x}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。さらに、\(f\)の点\(a\)における微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\frac{\partial u\left( b,c\right) }{\partial x}+i\frac{\partial v\left( b,c\right) }{\partial x}
\end{equation*}となる。
\end{equation*}が成り立ちます。\(f\)の定義域\(Z\)は複素平面\(\mathbb{C} \)上の開集合であるとともに、\(f\)は\(Z\)上の任意の点において微分可能であるものとします。つまり、\(f\)は\(Z\)上の解析関数であるということです。点\(z=x+yi\in Z\)を任意に選んだとき、先の命題より、\(u,v\)はともに点\(\left( x,y\right) \in Z\)において偏微分可能であるとともに、以下の関係\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \frac{\partial u\left( x,y\right) }{\partial x}=\frac{\partial v\left( x,y\right) }{\partial y} \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial u\left( x,y\right) }{\partial y}=-\frac{\partial v\left( x,y\right) }{\partial x}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(z=x+yi\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( z\right) &=&f\left( x+yi\right) \\
&=&\left( x+yi\right) ^{2}+\left( x+yi\right) \\
&=&x^{2}+2xyi-y^{2}+x+yi \\
&=&\left( x^{2}+x-y^{2}\right) +\left( 2xy+y\right) i
\end{eqnarray*}であるため、\(f\)の実部と虚部は、\begin{eqnarray*}u\left( x,y\right) &=&x^{2}+x-y^{2} \\
v\left( x,y\right) &=&2xy+y
\end{eqnarray*}です。点\(a=b+ci\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left[ \left( a+h\right) ^{2}+\left(
a+h\right) \right] -\left( a^{2}+a\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left( a^{2}+2ah+h^{2}+a+h\right) -\left(
a^{2}+a\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2ah+h^{2}+h}{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left( 2a+h+1\right) \\
&=&2a+0+1 \\
&=&2a+1
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(a\)において偏微分可能です。したがって先の命題より、点\(\left( b,c\right) \)においてコーシー・リーマンの方程式が成り立つはずです。実際、\(f\)の実部と虚部は偏微分可能であり、\begin{eqnarray*}\frac{\partial u\left( x,y\right) }{\partial x} &=&\frac{\partial }{\partial
x}\left( x^{2}+x-y^{2}\right) =2x+1 \\
\frac{\partial u\left( x,y\right) }{\partial y} &=&\frac{\partial }{\partial
y}\left( x^{2}+x-y^{2}\right) =-2y \\
\frac{\partial v\left( x,y\right) }{\partial x} &=&\frac{\partial }{\partial
x}\left( 2xy+y\right) =2y \\
\frac{\partial v\left( x,y\right) }{\partial y} &=&\frac{\partial }{\partial
y}\left( 2xy+y\right) =2x+1
\end{eqnarray*}が成り立つため、点\(\left( b,c\right) \)において、\begin{eqnarray*}\frac{\partial u\left( b,c\right) }{\partial x} &=&\frac{\partial v\left(
b,c\right) }{\partial y}=2b+1 \\
\frac{\partial u\left( b,c\right) }{\partial y} &=&-\frac{\partial v\left(
b,c\right) }{\partial x}=-2b
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上より、コーシー・リーマンの方程式が成り立つことが明らかになりました。ちなみに、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( a\right) &=&\frac{\partial u\left( b,c\right) }{\partial x}+i\frac{\partial v\left( b,c\right) }{\partial x} \\
&=&\left( 2b+1\right) +i2c \\
&=&2\left( b+ci\right) +1 \\
&=&2a+1
\end{eqnarray*}となりますが、これは先の結果と一致します。
複素関数が微分可能ではないことの証明
複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)およびその実部\(u:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \)と虚部\(v:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられた状況において複素数\(z=x+y\in Z\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}f\left( z\right) =u\left( x,y\right) +iv\left( x,y\right)
\end{equation*}が成り立ちます。\(f\)の定義域の内点\(a=b+ci\in Z^{i}\)が与えられたとき、点\(\left( b,c\right) \)において、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \frac{\partial u\left( b,c\right) }{\partial x}=\frac{\partial v\left( b,c\right) }{\partial y} \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial u\left( b,c\right) }{\partial y}=-\frac{\partial v\left( b,c\right) }{\partial x}
\end{eqnarray*}の少なくとも一方が成り立たない場合には、すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \frac{\partial u\left( b,c\right) }{\partial x}\not=\frac{\partial v\left( b,c\right) }{\partial y} \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial u\left( b,c\right) }{\partial y}\not=-\frac{\partial v\left( b,c\right) }{\partial x}
\end{eqnarray*}の少なくとも一方が成り立つ場合には、先の命題の対偶より、\(f\)は点\(a\)において微分可能ではありません。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の実部と虚部は、\begin{eqnarray*}u\left( x,y\right) &=&x \\
v\left( x,y\right) &=&4y
\end{eqnarray*}です。\(f\)の実部と虚部は偏微分可能であり、\begin{eqnarray*}\frac{\partial u\left( x,y\right) }{\partial x} &=&\frac{\partial }{\partial
x}x=1 \\
\frac{\partial u\left( x,y\right) }{\partial y} &=&\frac{\partial }{\partial
y}x=0 \\
\frac{\partial v\left( x,y\right) }{\partial x} &=&\frac{\partial }{\partial
x}4y=0 \\
\frac{\partial v\left( x,y\right) }{\partial y} &=&\frac{\partial }{\partial
y}4y=4
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、点\(a=b+ci\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\frac{\partial u\left( b,c\right) }{\partial x}=1\not=4=\frac{\partial
v\left( b,c\right) }{\partial y}
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より、\(f\)は点\(a\)において微分可能ではありません。
微分可能であるための十分条件
複素関数\(f\)が点\(a=b+ci\)において微分可能である場合には、\(f\)の実部\(u\)と虚部\(v\)は点\(\left( b,c\right) \)において偏微分可能であるとともに、コーシー・リーマンの方程式\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \frac{\partial u\left( b,c\right) }{\partial x}=\frac{\partial v\left( b,c\right) }{\partial y} \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial u\left( b,c\right) }{\partial y}=-\frac{\partial v\left( b,c\right) }{\partial x}
\end{eqnarray*}を満たすことが明らかになりました。では、逆の主張もまた成り立つのでしょうか。つまり、点\(\left( b,c\right) \)において\(f\)の実部\(u\)と虚部\(v\)が偏微分可能であるとともにコーシー・リーマンの方程式を満たす場合、\(f\)が点\(a=b+ci\)において微分可能であることを保証できるのでしょうか。こちらの主張は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{cc}
\dfrac{z^{5}}{\left\vert z\right\vert ^{4}} & \left( if\ z\not=0\right) \\
0 & \left( if\ z=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を満たすものとします。点\(0=0+0i\in \mathbb{C} \)に注目したとき、\(f\)は点\(0\)において微分可能ではありませんが、\(f\)の実部\(u\)と虚部\(v\)は点\(\left( 0,0\right) \)において偏微分可能であるとともに、コーシー・リーマンの方程式\begin{eqnarray*}\frac{\partial u\left( 0,0\right) }{\partial x} &=&\frac{\partial v\left(
0,0\right) }{\partial y} \\
\frac{\partial u\left( 0,0\right) }{\partial y} &=&-\frac{\partial v\left(
0,0\right) }{\partial x}
\end{eqnarray*}を満たします（演習問題）。
コーシー・リーマンの方程式は微分可能性を含意するとは限らないことが明らかになりました。コーシー・リーマンの方程式から微分可能性を導くためには追加的な条件が必要です。具体的には以下の通りです。
複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)およびその実部\(u:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \)と虚部\(v:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられた状況を想定します。加えて、\(f\)の定義域\(Z\)は複素平面\(\mathbb{C} \)上の開集合であるものとします。点\(a=b+ci\in Z\)を選びます。\(u,v\)は\(Z\)上において偏微分可能であるものとします。つまり、偏導関数\begin{eqnarray*}\frac{\partial u\left( x,y\right) }{\partial x} &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \\
\frac{\partial u\left( x,y\right) }{\partial y} &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \\
\frac{\partial v\left( x,y\right) }{\partial x} &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \\
\frac{\partial v\left( x,y\right) }{\partial y} &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が存在するということです。加えて、これらの偏導関数はいずれも点\(\left( b,c\right) \)において連続であるとともに、コーシー・リーマンの方程式\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \frac{\partial u\left( b,c\right) }{\partial x}=\frac{\partial v\left( b,c\right) }{\partial y} \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial u\left( b,c\right) }{\partial y}=-\frac{\partial v\left( b,c\right) }{\partial x}
\end{eqnarray*}が成り立つものとします。以上の条件のもとでは、もとの複素関数\(f\)は点\(a\)において微分可能であることが保証されるとともに、そこでの微分係数が、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\frac{\partial u\left( b,c\right) }{\partial x}+i\frac{\partial v\left( b,c\right) }{\partial x}
\end{equation*}と定まることが保証されます。
\end{equation*}が成り立つ。\(Z\)は\(\mathbb{C} \)上の開集合であるものとする。点\(a=b+ci\in Z\)が与えられているものとする。\(u,v\)はともに\(Z\)上で偏微分可能であり、なおかつ、偏導関数\begin{eqnarray*}\frac{\partial u\left( x,y\right) }{\partial x} &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \\
\frac{\partial u\left( x,y\right) }{\partial y} &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \\
\frac{\partial v\left( x,y\right) }{\partial x} &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \\
\frac{\partial v\left( x,y\right) }{\partial y} &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}はいずれも点\(\left( b,c\right) \)において連続であるとともに、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \frac{\partial u\left( b,c\right) }{\partial x}=\frac{\partial v\left( b,c\right) }{\partial y} \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial u\left( b,c\right) }{\partial y}=-\frac{\partial v\left( b,c\right) }{\partial x}
\end{eqnarray*}が成り立つものとする。このとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\frac{\partial u\left( b,c\right) }{\partial x}+i\frac{\partial v\left( b,c\right) }{\partial x}
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}が成り立ちます。\(Z\)は\(\mathbb{C} \)上の開集合であるとともに、\(u,v\)はともに\(Z\)上で偏微分可能であり、なおかつ、偏導関数\begin{eqnarray*}\frac{\partial u\left( x,y\right) }{\partial x} &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \\
\frac{\partial u\left( x,y\right) }{\partial y} &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \\
\frac{\partial v\left( x,y\right) }{\partial x} &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \\
\frac{\partial v\left( x,y\right) }{\partial y} &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}はいずれも\(Z\)上で連続であるものとします（つまり、\(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial y}\)は\(Z\)上で\(C^{1}\)級）。さらに、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \left( x,y\right) \in Z:\frac{\partial u\left(
x,y\right) }{\partial x}=\frac{\partial v\left( x,y\right) }{\partial y} \\
&&\left( b\right) \ \forall \left( x,y\right) \in Z:\frac{\partial u\left(
x,y\right) }{\partial y}=-\frac{\partial v\left( x,y\right) }{\partial x}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、先の命題より、\(f\)は\(Z\)上の任意の点において微分可能です。つまり、\(f\)は\(Z\)上における解析関数です。しかも、導関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z=x+yi\in Z\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( z\right) =\frac{\partial u\left( x,y\right) }{\partial x}+i\frac{\partial v\left( x,y\right) }{\partial x}
\end{equation*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(z=x+yi\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f\left( z\right) &=&f\left( x+yi\right) \\
&=&e^{x+yi} \\
&=&e^{x}e^{yi} \\
&=&e^{x}\left[ \cos \left( y\right) +i\sin \left( y\right) \right] \end{eqnarray*}であるため、\(f\)の実部と虚部は、\begin{eqnarray*}u\left( x,y\right) &=&e^{x}\cos \left( y\right) \\
v\left( x,y\right) &=&e^{x}\sin \left( y\right)
\end{eqnarray*}となります。点\(\left( x,y\right)\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\frac{\partial u\left( x,y\right) }{\partial x} &=&\frac{\partial }{\partial
x}e^{x}\cos \left( y\right) =e^{x}\cos \left( y\right) \\
\frac{\partial u\left( x,y\right) }{\partial y} &=&\frac{\partial }{\partial
y}e^{x}\cos \left( y\right) =-e^{x}\sin \left( y\right) \\
\frac{\partial v\left( x,y\right) }{\partial x} &=&\frac{\partial }{\partial
x}e^{x}\sin \left( y\right) =e^{x}\sin \left( y\right) \\
\frac{\partial v\left( x,y\right) }{\partial y} &=&\frac{\partial }{\partial
y}e^{x}\sin \left( y\right) =e^{x}\cos \left( y\right)
\end{eqnarray*}となります。これらはいずれも\(\mathbb{C} \)上において連続であるとともに、任意の\(\left( x,y\right) \in \mathbb{C} \)において、\begin{eqnarray*}\frac{\partial u\left( x,y\right) }{\partial x} &=&\frac{\partial v\left(
x,y\right) }{\partial x} \\
\frac{\partial u\left( x,y\right) }{\partial y} &=&-\frac{\partial v\left(
x,y\right) }{\partial y}
\end{eqnarray*}がともに成立しているため、先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{C} \)上の任意の点において微分可能です。つまり、\(f\)は\(\mathbb{C} \)上の解析関数です。言い換えると、\(f\)は整関数です。さらに、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( z\right) &=&\frac{\partial u\left( x,y\right) }{\partial x}+i\frac{\partial v\left( x,y\right) }{\partial x} \\
&=&e^{x}\cos \left( y\right) +ie^{x}\sin \left( y\right) \\
&=&e^{x}\left[ \cos \left( y\right) +i\sin \left( y\right) \right] \\
&=&e^{x}e^{yi} \\
&=&e^{x+yi} \\
&=&e^{z}
\end{eqnarray*}を定めます。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が微分可能な点を特定してください。また、\(f\)が解析関数であるか判定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が微分可能な点を特定してください。また、\(f\)が解析関数であるか判定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が微分可能な点を特定してください。また、\(f\)が解析関数であるか判定してください。
\begin{array}{cc}
\dfrac{z^{5}}{\left\vert z\right\vert ^{4}} & \left( if\ z\not=0\right) \\
0 & \left( if\ z=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を満たすものとします。点\(0=0+0i\in \mathbb{C} \)に注目したとき、\(f\)は点\(0\)において微分可能ではないことを示してください。また、\(f\)の実部\(u\)と虚部\(v\)は点\(\left( 0,0\right) \)において偏微分可能であるとともに、コーシー・リーマンの方程式\begin{eqnarray*}\frac{\partial u\left( 0,0\right) }{\partial x} &=&\frac{\partial v\left(
0,0\right) }{\partial y} \\
\frac{\partial u\left( 0,0\right) }{\partial y} &=&-\frac{\partial v\left(
0,0\right) }{\partial x}
\end{eqnarray*}が成り立つことを示してください。
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