微分可能な複素関数の定数倍の微分
複素数\(c\in \mathbb{C} \)と複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)が与えられたとき、それぞれの\(z\in Z\)に対して、\begin{equation*}\left( cf\right) \left( z\right) =cf\left( z\right)
\end{equation*}を値として定める複素関数\begin{equation*}
cf:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能です。
定義域の内点\(a\in Z^{i}\)を選んだとき、複素関数\(f\)が点\(a\)において微分可能ならば、複素関数\(cf\)もまた点\(a\)において微分可能であることが保証されるとともに、両者の微分係数の間には以下の関係\begin{equation*}\left( cf\right) ^{\prime }\left( a\right) =cf^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}が成立します。
したがって、何らかの複素関数\(f\)の定数倍の形をしている複素関数\(cf\)の微分可能性を検討する際には、複素関数の微分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(f\)を分けた上で、\(f\)が微分可能であることを確認すればよいということになります。さらに、複素関数\(f\)が微分可能である場合、\(f\)の微分係数\(f^{\prime }\left(a\right) \)の定数\(c\)倍をとれば、複素関数\(cf\)の微分係数が得られます。
\end{equation*}を満たす。
\forall z\in Z:\left( cf\right) ^{\prime }\left( z\right) =cf^{\prime
}\left( z\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( cf\right) ^{\prime }=cf^{\prime }
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素恒等関数\(z\)の定数倍（\(-1\)倍）として定義されています。複素恒等関数は\(\mathbb{C} \)上で微分可能であるため、先の命題より\(f\)は\(\mathbb{C} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( z\right) &=&\left( -z\right) ^{\prime }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\left( z\right) ^{\prime }\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&-1\quad \because \text{複素恒等関数の微分}
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素恒等関数\(z\)の定数倍（\(i\)倍）として定義されています。複素恒等関数は\(\mathbb{C} \)上で微分可能であるため、先の命題より\(f\)は\(\mathbb{C} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( z\right) &=&\left( iz\right) ^{\prime }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&i\left( z\right) ^{\prime }\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&i1\quad \because \text{複素恒等関数の微分} \\
&=&i
\end{eqnarray*}を定めます。
解析関数の定数倍は解析関数
複素数\(c\in \mathbb{C} \)と複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)が与えられたとき、それぞれの\(z\in Z\)に対して、\begin{equation*}\left( cf\right) \left( z\right) =cf\left( z\right)
\end{equation*}を値として定める複素関数\begin{equation*}
cf:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能です。
定義域の内点\(a\in Z^{i}\)を選んだとき、複素関数\(f\)が点\(a\)において解析関数であるならば、複素関数\(cf\)もまた点\(a\)において解析関数です。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
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