複素合成関数の微分
2つの複素関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \\
g &:&\mathbb{C} \supset W\rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}が与えられた状況を想定します。ただし、\(f\)の値域が\(g\)の定義域の部分集合であるものとします。つまり、\begin{equation*}f\left( Z\right) \subset W
\end{equation*}が成り立つということです。この場合には複素合成関数\begin{equation*}
g\circ f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの複素数\(z\in Z\)に対して、以下の複素数\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( z\right) =g\left( f\left( z\right) \right)
\end{equation*}を値として定めます。以上を踏まえた上で、複素合成関数\(g\circ f\)を構成する複素関数\(f,g\)に関して以下の2つの条件が成り立つものとします。
1つ目の条件は、複素関数\(f\)が定義域上の点\(a\in Z\)において微分可能であるということです。つまり、点\(a\)は複素関数\(f\)の定義域\(Z\)の内点であるとともに、複素関数\(f\)の点\(a\)における微分係数\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\left. \frac{df\left( z\right) }{dz}\right\vert
_{z=a}
\end{equation*}が複素数として定まるということです。
複素関数\(f\)が先の点\(a\)に対して定める値は\(f\left( a\right) \)ですが、複素合成関数の定義より、この点\(f\left( a\right) \)はもう一方の複素関数\(g\)の定義域\(W\)上の点です。そこで、2つ目の条件として、複素関数\(g\)が点\(f\left(a\right) \)において微分可能であるものとします。つまり、点\(f\left( a\right) \)は複素関数\(g\)の定義域\(W\)の内点であるとともに、複素関数\(g\)の点\(f\left(a\right) \)における微分係数\begin{equation*}g^{\prime }\left( f\left( a\right) \right) =\left. \frac{dg\left( z\right) }{dz}\right\vert _{z=f\left( a\right) }
\end{equation*}が複素数として定まるということです。
以上の条件が満たされる場合には、複素合成関数\(g\circ f\)もまた点\(a\)において微分可能であることが保証されるとともに、そこでの微分係数が、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( a\right) &=&g^{\prime }\left(
f\left( a\right) \right) \cdot f^{\prime }\left( a\right) \\
&=&\left. \frac{dg\left( z\right) }{dz}\right\vert _{z=f\left( a\right)
}\cdot \left. \frac{df\left( z\right) }{dz}\right\vert _{z=a}
\end{eqnarray*}と定まることが保証されます。つまり、複素合成関数\(g\circ f\)の点\(a\)における微分係数は、複素関数\(f\)の点\(a\)における微分係数と、複素関数\(g\)の点\(f\left( a\right) \)における複素関数の積として定まるということです。
したがって、2つの複素関数\(f,g\)の複素合成関数\(g\circ f\)の微分可能性を判定する際には、複素微分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)に分けた上で、それらがそれぞれ微分可能であることを確認すればよいということになります。
f &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \\
g &:&\mathbb{C} \supset W\rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}が与えられているものとする。\(f\left( Z\right) \subset W\)が成り立つものとする。この場合、複素合成関数\begin{equation*}g\circ f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能である。点\(a\in Z\)に対して、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\text{は点}a\text{において微分可能} \\
&&\left( b\right) \ g\text{は点}f\left( a\right) \text{において微分可能}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(g\circ f\)もまた点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( a\right) &=&g^{\prime }\left(
f\left( a\right) \right) \cdot f^{\prime }\left( a\right) \\
&=&\left. \frac{dg\left( z\right) }{dz}\right\vert _{z=f\left( a\right)
}\cdot \left. \frac{df\left( z\right) }{dz}\right\vert _{z=a}
\end{eqnarray*}となる。
f &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \\
g &:&\mathbb{C} \supset W\rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。\(f\left( Z\right) \subset W\)が成り立つ場合には複素合成関数\begin{equation*}g\circ f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能です。\(Z\)と\(W\)はともに\(\mathbb{R} \)上の開集合であるものとします。この場合、任意の点\(z\in Z\)は\(Z\)の内点であるとともに、点\(f\left( z\right) \in W\)は\(W\)の内点です。したがって、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\text{は}Z\text{上において微分可能} \\
&&\left( b\right) \ g\text{は}W\text{上において微分可能}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、先の命題より複素合成関数\(g\circ f\)は\(Z\)上で微分可能であり、導関数\(\left( g\circ f\right) ^{\prime }:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in Z\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( z\right) &=&g^{\prime }\left(
f\left( z\right) \right) \cdot f^{\prime }\left( z\right) \\
&=&\left. \frac{dg\left( w\right) }{dw}\right\vert _{w=f\left( z\right)
}\cdot \frac{df\left( z\right) }{dz}
\end{eqnarray*}を定めます。これを連鎖公式（chain rule）と呼びます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素多項式関数である\(2z-1\)と\(z^{3}\)の複素合成関数であることに注意してください。複素多項式関数\(2z-1\)は\(\mathbb{C} \)上で微分可能であり、複素合成関数\(z^{3}\)は\(\mathbb{C} \)上で微分可能であるため、それらの複素合成関数である\(f\)は\(\mathbb{C} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( z\right) &=&\frac{d}{dz}\left( 2z-1\right) ^{3}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dw}w^{3}\right\vert _{w=2z-1}\cdot \frac{d}{dz}\left(
2z-1\right) \quad \because \text{複素合成関数の微分} \\
&=&\left. 3w^{2}\right\vert _{w=2z-1}\cdot 2 \\
&=&3\left( 2z-1\right) ^{2}\cdot 2 \\
&=&6\left( 2z-1\right) ^{2}
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素多項式関数\(z^{2}+1\)と複素有理関数\(\frac{1}{z}\)の合成関数であることに注意してください。複素多項式関数\(z^{2}+1\)は\(\mathbb{C} \)上で微分可能であり、複素有理関数\(\frac{1}{z}\)は\(\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で微分可能であるため、それらの複素合成関数である\(f\)が微分可能な点からなる集合は、\begin{equation*}\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ z^{2}+1\not=0\right\} =\mathbb{C} \backslash \left\{ \pm i\right\}
\end{equation*}であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{C} \backslash \left\{ \pm i\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ \pm i\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( z\right) &=&\frac{d}{dz}\left( \frac{1}{z^{2}+1}\right)
\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dw}\left( \frac{1}{w}\right) \right\vert
_{w=z^{2}+1}\cdot \frac{d}{dz}\left( z^{2}+1\right) \quad \because \text{複素合成関数の微分} \\
&=&\left. -\frac{1}{w^{2}}\right\vert _{w=z^{2}+1}\cdot 2z \\
&=&-\frac{2z}{\left( z^{2}+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。
3個以上の複素関数の合成
3個以上の微分可能な複素関数の複素合成関数についても同様の議論が成立します。以下の複素関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \\
g &:&\mathbb{C} \supset V\rightarrow \mathbb{C} \\
h &:&\mathbb{C} \supset W\rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}が与えられているとともに、これらの間に以下の関係\begin{eqnarray*}
f\left( Z\right) &\subset &V \\
g\left( V\right) &\subset &W
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には複素合成関数\begin{equation*}
h\circ g\circ f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(z\in Z\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( h\circ g\circ f\right) \left( z\right) &=&h\left( \left( g\circ
f\right) \left( z\right) \right) \quad \because \text{複素合成関数の定義} \\
&=&h\left( g\left( f\left( z\right) \right) \right) \quad \because \text{複素合成関数の定義}
\end{eqnarray*}を値として定めます。以上を踏まえた上で、複素合成関数\(h\circ g\circ f\)を構成する複素関数\(f,g,h\)に関して以下の3つの条件が成り立つものとします。
1つ目の条件は、複素関数\(f\)が定義域上の点\(a\in Z\)において微分可能であるということです。つまり、点\(a\)は複素関数\(f\)の定義域\(Z\)の内点であるとともに、複素関数\(f\)の点\(a\)における微分係数\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\left. \frac{df\left( z\right) }{dz}\right\vert
_{z=a}
\end{equation*}が複素数として定まるということです。
複素関数\(f\)が先の点\(a\)に対して定める値は\(f\left( a\right) \)ですが、複素合成関数の定義より、この点\(f\left( a\right) \)は複素関数\(g\)の定義域\(V\)上の点です。そこで、2つ目の条件として、複素関数\(g\)が点\(f\left( a\right) \)において微分可能であるものとします。つまり、点\(f\left( a\right) \)は複素関数\(g\)の定義域\(V\)の内点であるとともに、複素関数\(g\)の点\(f\left( a\right) \)における微分係数\begin{equation*}g^{\prime }\left( f\left( a\right) \right) =\left. \frac{dg\left( z\right) }{dz}\right\vert _{z=f\left( a\right) }
\end{equation*}が複素数として定まるということです。
複素関数\(g\)が先の点\(f\left(a\right) \)に対して定める値は\(g\left( f\left( a\right) \right) \)ですが、複素合成関数の定義より、この点\(g\left( f\left( a\right)\right) \)は複素関数\(h\)の定義域\(W\)上の点です。そこで、3つ目の条件として、複素関数\(h\)が点\(g\left(f\left( a\right) \right) \)において微分可能であるものとします。つまり、点\(g\left(f\left( a\right) \right) \)は複素関数\(h\)の定義域\(W\)の内点であるとともに、複素関数\(h\)の点\(g\left( f\left( a\right) \right) \)における微分係数\begin{equation*}h^{\prime }\left( g\left( f\left( a\right) \right) \right) =\left. \frac{dh\left( z\right) }{dz}\right\vert _{z=g\left( f\left( a\right) \right) }
\end{equation*}が複素数として定まるということです。
以上の条件が満たされる場合には、複素合成関数\(h\circ g\circ f\)もまた点\(a\)において微分可能であることが保証されるとともに、そこでの微分係数が、\begin{eqnarray*}\left( h\circ g\circ f\right) ^{\prime }\left( a\right) &=&h^{\prime
}\left( g\left( f\left( a\right) \right) \right) \cdot g^{\prime }\left(
f\left( a\right) \right) \cdot f^{\prime }\left( a\right) \\
&=&\left. \frac{dh\left( z\right) }{dz}\right\vert _{z=g\left( f\left(
a\right) \right) }\cdot \left. \frac{dg\left( z\right) }{dz}\right\vert
_{z=f\left( a\right) }\cdot \left. \frac{df\left( z\right) }{dz}\right\vert
_{z=a}
\end{eqnarray*}と定まることが保証されます。
f &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \\
g &:&\mathbb{C} \supset V\rightarrow \mathbb{C} \\
h &:&\mathbb{C} \supset W\rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}が与えられているものとする。\(f\left( Z\right) \subset V\)かつ\(g\left( V\right) \subset W\)が成り立つものとする。この場合、複素合成関数\begin{equation*}h\circ g\circ f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能である。点\(a\in Z\)に対して、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\text{は点}a\text{において微分可能} \\
&&\left( b\right) \ g\text{は点}f\left( a\right) \text{において微分可能} \\
&&\left( c\right) \ h\text{は点}g\left( f\left( a\right) \right)
\text{において微分可能}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(h\circ g\circ f\)もまた点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*}\left( h\circ g\circ f\right) ^{\prime }\left( a\right) &=&h^{\prime
}\left( g\left( f\left( a\right) \right) \right) \cdot g^{\prime }\left(
f\left( a\right) \right) \cdot f^{\prime }\left( a\right) \\
&=&\left. \frac{dh\left( z\right) }{dz}\right\vert _{z=g\left( f\left(
a\right) \right) }\cdot \left. \frac{dg\left( z\right) }{dz}\right\vert
_{z=f\left( a\right) }\cdot \left. \frac{df\left( z\right) }{dz}\right\vert
_{z=a}
\end{eqnarray*}となる。
f &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \\
g &:&\mathbb{C} \supset V\rightarrow \mathbb{C} \\
h &:&\mathbb{C} \supset W\rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。\(f\left( Z\right) \subset V\)かつ\(g\left( V\right) \subset W\)が成り立つ場合には複素合成関数\begin{equation*}h\circ g\circ f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能です。\(Z,V,W\)はいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合であるものとします。この場合、任意の点\(z\in Z\)は\(Z\)の内点であり、点\(f\left( z\right)\in V\)は\(V\)の内点であり、点\(g\left( f\left( z\right) \right) \in W\)は\(W\)の内点です。したがって、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\text{は}Z\text{上において微分可能} \\
&&\left( b\right) \ g\text{は}V\text{上において微分可能} \\
&&\left( c\right) \ h\text{は}W\text{上において微分可能}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、先の命題より複素合成関数\(h\circ g\circ f\)は\(X\)上で微分可能であり、導関数\(\left( h\circ g\circ f\right) ^{\prime }:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in Z\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( h\circ g\circ f\right) ^{\prime }\left( z\right) &=&h^{\prime
}\left( g\left( f\left( z\right) \right) \right) \cdot g^{\prime }\left(
f\left( z\right) \right) \cdot f^{\prime }\left( z\right) \\
&=&\left. \frac{dh\left( v\right) }{dv}\right\vert _{v=g\left( f\left(
z\right) \right) }\cdot \left. \frac{dg\left( w\right) }{dw}\right\vert
_{w=f\left( a\right) }\cdot \frac{df\left( z\right) }{dz}
\end{eqnarray*}を定めます。これが3つの複素関数の複素合成関数に関する連鎖公式です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素有理関数\(\frac{1}{z}\)と複素多項式関数\(2z^{5}-1\)と複素多項式関数\(z^{3}\)の複素合成関数であることに注意してください。複素有理関数\(\frac{1}{z}\)は\(\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で微分可能であり、複素多項式関数\(2z^{5}-1\)は\(\mathbb{C} \)上で微分可能であり、複素多項式関数\(z^{3}\)は\(\mathbb{C} \)上で微分可能であるため、それらの複素合成関数である\(f\)は\(\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( z\right) &=&\frac{d}{dz}\left[ 2\left( \frac{1}{z}\right)
^{5}-1\right] ^{3}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dv}v^{3}\right\vert _{v=2\left( \frac{1}{z}\right)
^{5}-1}\cdot \left. \frac{d}{dw}\left( 2w^{5}-1\right) \right\vert _{w=\frac{1}{z}}\cdot \frac{d}{dz}\left( \frac{1}{z}\right) \quad \because \text{複素合成関数の微分} \\
&=&\left. 3v^{2}\right\vert _{v=2\left( \frac{1}{z}\right) ^{5}-1}\cdot
\left. 10w^{4}\right\vert _{w=\frac{1}{z}}\cdot \left( -\frac{1}{z^{2}}\right) \\
&=&3\left[ 2\left( \frac{1}{z}\right) ^{5}-1\right] ^{2}\cdot 10\left( \frac{1}{z}\right) ^{4}\cdot \left( -\frac{1}{z^{2}}\right) \\
&=&-30\left( \frac{2-z^{5}}{z^{5}}\right) ^{2}\cdot \frac{1}{z^{6}} \\
&=&-\frac{30\left( 2-z^{5}\right) ^{2}}{z^{16}}
\end{eqnarray*}を定めます。
4個以上の微分可能な複素関数の複素合成関数の微分についても同様に考えます。
演習問題
\end{equation*}と表されるものとします。\(Z\)が\(\mathbb{C} \)上の開集合であるとともに\(g\)が\(Z\)上において微分可能である場合には、\(f\)は\(Z\)上において微分可能であるとともに、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in Z\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( z\right) =n\left[ g\left( z\right) \right] ^{n-1}g^{\prime
}\left( z\right)
\end{equation*}を定めることを証明してください。
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
z^{2}+9i}\right] ^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
Z=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left( 2-i\right) z^{2}+9i\not=0\right\}
\end{equation*}です。導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
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