複素定数関数の微分
複素定数関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して定める値が、ある定数\(c\in \mathbb{C} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( z\right) =c
\end{equation*}と表されるということです。
点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =0
\end{equation*}となります。
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。したがって、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)が存在して、それぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( z\right) =0
\end{equation*}を定める。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素定数関数であるため、先の命題より、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)が存在して、それぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( z\right) =0
\end{equation*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素定数関数であるため、先の命題より、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)が存在して、それぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( z\right) =0
\end{equation*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素定数関数であるため、先の命題より、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)が存在して、それぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( z\right) =0
\end{equation*}を定めます。
複素定数関数は整関数
複素定数関数は整関数です。
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)は整関数である。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素定数関数であるため、先の命題より、\(f\)は整関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素定数関数であるため、先の命題より、\(f\)は整関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素定数関数であるため、先の命題より、\(f\)は整関数です。
解析関数が複素定数関数であるための条件
複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)の定義域\(Z\)は複素平面\(\mathbb{C} \)上の開集合であるとともに、\(f\)は\(Z\)上の解析関数であるものとします。加えて、\begin{equation*}\exists c\in \mathbb{R} ,\ \forall z\in Z:\left\vert f\left( z\right) \right\vert =c
\end{equation*}が成り立つものとします。つまり、複素変数の実数値関数\begin{equation*}
\left\vert f\left( z\right) \right\vert :\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定数関数であるということです。この場合、もとの複素関数\(f\)は\(Z\)上において複素定数関数になります。
\end{equation*}が成り立つものとする。このとき、\(f\)は\(Z\)上において複素定数関数である。
複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)の定義域\(Z\)は複素平面\(\mathbb{C} \)上の開集合であるとともに、\(f\)は\(Z\)上の解析関数であるものとします。加えて、\begin{equation*}\forall z\in Z:f^{\prime }\left( z\right) =0
\end{equation*}が成り立つものとします。この場合、もとの複素関数\(f\)は\(Z\)上において複素定数関数になります。
\end{equation*}が成り立つものとする。このとき、\(f\)は\(Z\)上において複素定数関数である。
演習問題
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)は\(\mathbb{C} \)上で微分可能であるとともに、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( z\right) =0
\end{equation*}を定めます。本文中では以上のことを微分の定義にもとづいて証明しましたが、同じことをコーシー・リーマンの方程式を用いて証明してください。
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