複素指数関数の微分
複素指数関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( z\right) =e^{z}
\end{equation*}であるということです。
定義域上の点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =e^{a}
\end{equation*}となります。
命題（複素指数関数の微分）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =e^{z}
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =e^{a}
\end{equation*}が成り立つ。したがって、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)が存在して、それぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( z\right) =e^{z}
\end{equation*}を定める。
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =e^{a}
\end{equation*}が成り立つ。したがって、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)が存在して、それぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( z\right) =e^{z}
\end{equation*}を定める。
例（複素指数関数の微分）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =iz^{4}\left( z^{2}-e^{z}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{C} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( z\right) &=&\frac{d}{dz}\left[ iz^{4}\left(
z^{2}-e^{z}\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&i\frac{d}{dz}\left[ z^{4}\left( z^{2}-e^{z}\right) \right] \quad \because
\text{定数倍の法則} \\
&=&i\left[ \left( z^{2}-e^{z}\right) \frac{d}{dz}z^{4}+z^{4}\frac{d}{dz}\left( z^{2}-e^{z}\right) \right] \quad \because \text{積の法則} \\
&=&i\left[ \left( z^{2}-e^{z}\right) \frac{d}{dz}z^{4}+z^{4}\left( \frac{d}{dz}z^{2}-\frac{d}{dz}e^{z}\right) \right] \quad \because \text{差の法則} \\
&=&i\left[ \left( z^{2}-e^{z}\right) 4z^{3}+z^{4}\left( 2z-e^{z}\right) \right] \quad \because \text{複素多項式関数や複素指数関数の微分} \\
&=&i\left( 4z^{5}-e^{z}4z^{3}+2z^{5}-e^{z}z^{4}\right) \\
&=&6z^{5}i-4e^{z}z^{3}i-e^{z}z^{4}i
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{C} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( z\right) &=&\frac{d}{dz}\left[ iz^{4}\left(
z^{2}-e^{z}\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&i\frac{d}{dz}\left[ z^{4}\left( z^{2}-e^{z}\right) \right] \quad \because
\text{定数倍の法則} \\
&=&i\left[ \left( z^{2}-e^{z}\right) \frac{d}{dz}z^{4}+z^{4}\frac{d}{dz}\left( z^{2}-e^{z}\right) \right] \quad \because \text{積の法則} \\
&=&i\left[ \left( z^{2}-e^{z}\right) \frac{d}{dz}z^{4}+z^{4}\left( \frac{d}{dz}z^{2}-\frac{d}{dz}e^{z}\right) \right] \quad \because \text{差の法則} \\
&=&i\left[ \left( z^{2}-e^{z}\right) 4z^{3}+z^{4}\left( 2z-e^{z}\right) \right] \quad \because \text{複素多項式関数や複素指数関数の微分} \\
&=&i\left( 4z^{5}-e^{z}4z^{3}+2z^{5}-e^{z}z^{4}\right) \\
&=&6z^{5}i-4e^{z}z^{3}i-e^{z}z^{4}i
\end{eqnarray*}を定めます。
例（複素指数関数の微分）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =e^{z^{2}-\left( 1+i\right) z+3}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素指数関数\(e^{z}\)と複素多項式関数\(z^{2}-\left( 1+i\right) z+3\)の合成関数であることに注意してください。したがって、\(f\)は\(\mathbb{C} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( z\right) &=&\frac{d}{dz}e^{z^{2}-\left( 1+i\right)
z+3}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dw}e^{w}\right\vert _{w=z^{2}-\left( 1+i\right) z+3}\cdot
\frac{d}{dz}\left[ z^{2}-\left( 1+i\right) z+3\right] \quad \because \text{合成複素関数の微分} \\
&=&\left. e^{w}\right\vert _{w=z^{2}-\left( 1+i\right) z+3}\cdot \left[
2z-\left( 1+i\right) \right] \quad \because \text{複素多項式関数や複素指数関数の微分} \\
&=&e^{z^{2}-\left( 1+i\right) z+3}\cdot \left( 2z-1-i\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素指数関数\(e^{z}\)と複素多項式関数\(z^{2}-\left( 1+i\right) z+3\)の合成関数であることに注意してください。したがって、\(f\)は\(\mathbb{C} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( z\right) &=&\frac{d}{dz}e^{z^{2}-\left( 1+i\right)
z+3}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dw}e^{w}\right\vert _{w=z^{2}-\left( 1+i\right) z+3}\cdot
\frac{d}{dz}\left[ z^{2}-\left( 1+i\right) z+3\right] \quad \because \text{合成複素関数の微分} \\
&=&\left. e^{w}\right\vert _{w=z^{2}-\left( 1+i\right) z+3}\cdot \left[
2z-\left( 1+i\right) \right] \quad \because \text{複素多項式関数や複素指数関数の微分} \\
&=&e^{z^{2}-\left( 1+i\right) z+3}\cdot \left( 2z-1-i\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
複素指数関数は整関数
複素指数関数は整関数です。
命題（複素指数関数は整関数）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =e^{z}
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)は整関数である。
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)は整関数である。
例（整関数）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =iz^{4}\left( z^{2}-e^{z}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(f\)は\(\mathbb{C} \)上で微分可能であるため、\(f\)は整関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(f\)は\(\mathbb{C} \)上で微分可能であるため、\(f\)は整関数です。
例（整関数）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =e^{z^{2}-\left( 1+i\right) z+3}
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(f\)は\(\mathbb{C} \)上で微分可能であるため、\(f\)は整関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(f\)は\(\mathbb{C} \)上で微分可能であるため、\(f\)は整関数です。
演習問題
問題（複素指数関数の微分）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =z^{2}e^{z+i}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を特定してください。
問題（複素指数関数の微分）
複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in Z\)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\frac{3e^{2z}-ie^{-z}}{z^{3}-1+i}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
Z=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ z^{3}-1+i\not=0\right\}
\end{equation*}です。導関数\(f^{\prime }\)を特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
Z=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ z^{3}-1+i\not=0\right\}
\end{equation*}です。導関数\(f^{\prime }\)を特定してください。
問題（複素指数関数の微分）
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =e^{iz}-e^{-iz}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を特定してください。
問題（複素指数関数の微分）
複素関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =ie^{\frac{1}{z}}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を特定してください。
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