平均変化率
複素平面\(\mathbb{C} \)もしくはその部分集合\(Z\)を定義域とし、複素数を値としてとる複素関数\begin{equation*}f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が与えられているものとします。\(f\)の定義域の内点\(a\in Z^{i}\)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset Z
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は中心が\(a\)であり半径が\(\varepsilon \)であるような近傍であり、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z-a\right\vert <\varepsilon \right\}
\end{equation*}です。この場合、\(f\)は点\(a\)および周辺の任意の点において定義されていることになります。このような点を議論の対象とする理由については後述します。
複素関数\(f\)の変数\(z\)を点\(a\)から\(h\not=0\)だけ変化させると、それに応じて\(f\left( z\right) \)の値は\(f\left( a\right) \)から\(f\left( a+h\right) \)まで変化します。このとき、\(f\left(z\right) \)の変化量と\(z\)の変化量の比に相当する、\begin{equation*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}を、変数\(z\)を点\(a\)から\(h\)だけ動かした場合の\(f\left( z\right) \)の平均変化率(average rate of change)と呼びます。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選びます。変数\(z\)を点\(a\)から\(h\not=0\)だけ動かした場合の\(f\left(z\right) \)の平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h} &=&\frac{\left( a+h\right)
^{2}-a^{2}}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h} \\
&=&\frac{2ah+h^{2}}{h} \\
&=&2a+h\quad \because h\not=0
\end{eqnarray*}となります。したがって、例えば、点\(1\)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( 1+h\right) -f\left( 1\right) }{h} &=&2\cdot 1+h \\
&=&2+h
\end{eqnarray*}であり、点\(i\)における平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( i+h\right) -f\left( i\right) }{h}=2i+h
\end{equation*}です。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選びます。変数\(z\)を点\(a\)から\(h\not=0\)だけ動かした場合の\(f\left( z\right) \)の平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h} &=&\frac{1}{h}\left( \frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{h}\left[ \frac{a-\left( a+h\right) }{\left( a+h\right) a}\right] \\
&=&\frac{1}{h}\left[ \frac{-h}{\left( a+h\right) a}\right] \\
&=&-\frac{1}{\left( a+h\right) a}
\end{eqnarray*}となります。したがって、例えば、点\(1\)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( 1+h\right) -f\left( 1\right) }{h} &=&-\frac{1}{\left(
1+h\right) 1} \\
&=&-\frac{1}{1+h}
\end{eqnarray*}であり、点\(i\)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( i+h\right) -f\left( i\right) }{h} &=&-\frac{1}{\left(
i+h\right) i} \\
&=&\frac{1}{1-hi} \\
&=&\frac{1+hi}{\left( 1-hi\right) \left( 1+hi\right) } \\
&=&\frac{1+hi}{1+h^{2}} \\
&=&\frac{1}{1+h^{2}}+\frac{h}{1+h^{2}}i
\end{eqnarray*}です。
微分係数
複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)の定義域の内点\(a\in Z^{i}\)を任意に選びます。\(f\)の変数\(z\)を点\(a\)から\(h\not=0\)だけ動かした場合の\(f\left(z\right) \)の平均変化率\begin{equation*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}をとり、これを変数\(h\)に関する複素関数とみなした上で、\(h\rightarrow 0\)の場合の極限\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}をとります。この極限は複素数として定まるとは限りませんが、仮に複素数として定まる場合、その極限を複素関数\(f\)の点\(a\)における微分係数(differential coefficient at \(a\))と呼び、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) ,\quad \frac{df\left( a\right) }{dz},\quad \frac{d}{dz}f\left( z\right) ,\quad \left. \frac{df\left( z\right) }{dz}\right\vert
_{z=a}
\end{equation*}などで表記します。つまり、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{C} \end{equation*}を満たすものとして微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)は定義されるということです。微分係数\(f^{\prime }\left(a\right) \)が存在する場合、複素関数\(f\)は点\(a\)において微分可能である(differentiable at \(a\))とか複素微分可能である(complex differentiable)などと言います。
\end{equation*}を定めるものとします。先に明らかにしたように、点\(a\in \mathbb{C} \)における平均変化率は、\begin{equation}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}=2a+h \quad \cdots (1)
\end{equation}です。\(h\rightarrow 0\)の場合の極限をとると、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left( 2a+h\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&2a+0\quad \because \text{複素多項式関数の極限} \\
&=&2a
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =2a
\end{equation*}となります。したがって、例えば、点\(1\)における微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 1\right) &=&2\cdot 1 \\
&=&2
\end{eqnarray*}であり、点\(i\)における平均変化率は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( i\right) =2i
\end{equation*}です。
\end{equation*}を定めるものとします。先に明らかにしたように、点\(a\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)における平均変化率は、\begin{equation}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}=-\frac{1}{\left( a+h\right) a} \quad \cdots (1)
\end{equation}です。\(h\rightarrow 0\)の場合の極限をとると、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left[ -\frac{1}{\left( a+h\right) a}\right] \quad
\because \left( 1\right) \\
&=&-\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{\left( a+h\right) a}\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&-\frac{\lim\limits_{h\rightarrow 0}1}{\lim\limits_{h\rightarrow 0}\left(
a+h\right) a}\quad \because \text{商の法則} \\
&=&-\frac{1}{\left( a+0\right) a}\quad \because \text{複素多項式関数の極限} \\
&=&-\frac{1}{a^{2}}
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =-\frac{1}{a^{2}}
\end{equation*}となります。したがって、例えば、点\(1\)における微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 1\right) &=&-\frac{1}{1^{2}} \\
&=&-1
\end{eqnarray*}であり、点\(i\)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( i\right) &=&-\frac{1}{i^{2}} \\
&=&1
\end{eqnarray*}です。
微分可能な点の候補に関する留意点
複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)の点\(a\in Z\)における微分可能性を定義する際に、点\(a\)が複素関数\(f\)の定義域\(Z\)の内点であることを前提として話を進めましたが、その理由を以下で解説します。
複素関数\(f\)の点\(a\)における微分係数は、以下の極限\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}として定義されます。この極限が複素数として定まることとは、平均変化率\(\frac{f\left(a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)を変数\(h\)に関する複素関数とみなした場合に、\(h\)がどのような経路をたどって\(0\)へ限りなく近づく場合においても、それに応じて\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left(a\right) }{h}\)が必ず1つの複素数へ限りなく近づくことを意味します。ただ、そもそも以上の検証を行うためには、\(h\)がどのような経路をたどって\(0\)へ限りなく近づく場合においても、その経路上の任意の\(h\)において\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)が定義されている必要があります。つまり、\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)が定義されている必要があるということです。点\(a\)が複素関数\(f\)の定義域\(Z\)の内点である場合、\(f\)は点\(a\)および周辺の任意の点において定義されていることになるため、\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において\(\frac{f\left( a+h\right)-f\left( a\right) }{h}\)もまた定義されていることになります。したがってこの場合、\(h\rightarrow 0\)のときに\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)が複素数へ収束するか検証できます。
複素関数は微分可能であるとは限らない
複素関数\(f\)が点\(a\)において定義されていない、すなわち\(f\left( a\right) \)が定義されていない場合には平均変化率\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)もまた定義されないため、この場合には\(f\)が点\(a\)において微分可能であるか検証できず、したがって\(f\)は点\(a\)において微分可能ではありません。つまり、複素関数\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合、\(f\)は点\(a\)において微分可能ではないということです。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)において定義されていないため、\(f\)は点\(0\)において微分可能ではありません。
複素関数\(f\)が点\(a\)において定義されているものの、点\(a\)が\(f\)の定義域\(Z\)の内点で花井場合には、点\(a\)における平均変化率\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left(a\right) }{h}\)は\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において定義されているとは言えません。したがって、この場合には\(f\)が点\(a\)において微分可能であるか検証できないため、\(f\)は点\(a\)において微分可能ではありません。
\end{equation*}であるものとします。\(\mathrm{Re}\left( a\right) =1\)を満たす点\(a\in \mathbb{C} \)を選んだとき、\(f\)は点\(a\)において定義されているものの、点\(a\)は\(f\)の定義域\(Z\)の内点ではなく、したがって\(f\)は点\(a\)において微分可能ではありません。
複素関数\(f\)が点\(a\)において定義されており、なおかつ点\(a\)が\(f\)の定義域\(Z\)の内点である場合においても、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a=b+ci\in \mathbb{C} \)を任意に選びます。\(h=\Delta x+i\Delta y\)とおいたとき、\(f\)の点\(a\)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h} &=&\frac{\left[ \left(
b+\Delta x\right) +4\left( c+\Delta y\right) i\right] -\left( b+4ci\right) }{\Delta x+i\Delta y} \\
&=&\frac{\Delta x+i4\Delta y}{\Delta x+i\Delta y}
\end{eqnarray*}となります。実軸と平行に\(h\rightarrow 0\)とする場合、\(\Delta y=0\)としたまま\(\left(\Delta x,\Delta y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)とすることになるため、この場合には、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
&=&\lim_{\left( \Delta x,\Delta y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\frac{\Delta x+i4\Delta y}{\Delta x+i\Delta y} \\
&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta x}{\Delta x}\quad \because
\Delta y=0 \\
&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。その一方で、虚軸と平行に\(h\rightarrow 0\)とする場合、\(\Delta x=0\)としたまま\(\left( \Delta x,\Delta y\right)\rightarrow \left( 0,0\right) \)とすることになるため、この場合には、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
&=&\lim_{\left( \Delta x,\Delta y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\frac{\Delta x+i4\Delta y}{\Delta x+i\Delta y} \\
&=&\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{i4\Delta y}{i\Delta y}\quad \because
\Delta x=0 \\
&=&\lim_{\Delta y\rightarrow 0}4 \\
&=&4
\end{eqnarray*}となります。\(h\)を\(0\)に限りなく近づける際の経路に応じて\(\frac{f\left(a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)の極限が変化することが明らかになりました。したがって、\(h\rightarrow 0\)の場合に\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)は複素数へ収束せず、ゆえに\(f\)は点\(a\)において微分可能ではないことが明らかになりました。
微分係数の一意性
複素関数\(f\)の点\(a\)における微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)は、平均変化率\(\frac{f\left(a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)を変数\(h\)に関する複素関数とみなした上で\(h\rightarrow 0\)とした場合の極限として定義されます。一般に、複素関数が収束する場合にはそこでの極限が1つの複素数として定まるため、複素関数の極限として定義される微分係数もまた1つの複素数として定まります。
導関数
複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)が定義域の内点\(a\in Z\)において微分可能であることは、点\(a\)における微分係数に相当する複素数\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{C} \end{equation*}が存在することを意味します。しかも、先に示したように微分係数は常に1つの複素数として定まります。このような事情を踏まえると、\(f\)が微分可能な点からなる集合を\(W\subset Z\)で表記するとき、それぞれの\(z\in W\)に対して、そこでの微分係数\(f^{\prime }\left( z\right) \in \mathbb{C} \)を値として定める複素関数\begin{equation*}f^{\prime }:\mathbb{C} \supset W\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)の導関数(derivative)と呼び、\begin{equation*}f^{\prime }\left( z\right) ,\quad \frac{df\left( z\right) }{dz},\quad \frac{d}{dz}f\left( z\right)
\end{equation*}などで表記します。
複素関数\(f\)は定義域\(Z\)上の任意の点において微分可能であるとは限りません。定義域\(Z\)の中に内点が存在する場合や、\(Z\)の中に複素関数\(f\)が微分可能ではない点が存在する場合、導関数\(f^{\prime }\)の定義域\(W\)は\(Z\)の真部分集合になります。複素関数\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)は、もとの複素関数\(f\)が微分可能な点においてのみ定義される複素関数であるということです。一方、複素関数\(f\)の定義域\(Z\)と導関数\(f^{\prime }\)の定義域\(W\)が一致する場合、すなわち、複素関数\(f\)が定義域\(Z\)上の任意の点において微分可能である場合、\(f\)は\(Z\)上で微分可能である(differentiable on \(Z\))とか微分可能である(differentiable)などと言います。
\end{equation*}を定めるものとします。先に明らかにしたように、点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =2a
\end{equation*}です。\(\mathbb{C} \)上の任意の点において同様であるため\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( z\right) =2z
\end{equation*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。先に明らかにしたように、点\(a\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =-\frac{1}{a^{2}}
\end{equation*}です。\(\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)上の任意の点において同様であるため\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( z\right) =-\frac{1}{z^{2}}
\end{equation*}を定めます。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
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