複素対数関数の微分
複素対数関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( z\right) =\mathrm{Ln}\left( z\right)
\end{equation*}であるということです。
複素対数関数\(f\)は複素平面上の実軸の非負の領域\begin{equation*}\mathbb{R} _{-}=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \mathrm{Re}\left( z\right) \leq 0\wedge \mathrm{Im}\left( z\right)=0\right\}
\end{equation*}上において連続ではありません。連続ではない関数は微分可能ではないため、\(f\)は\(\mathbb{R} _{-}\)上の任意の点において微分可能ではありません。その一方で、\(\mathbb{R} _{-}\)の補集合\begin{eqnarray*}\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-} &=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \mathrm{Re}\left( z\right) >0\vee \mathrm{Im}\left( z\right) \not=0\right\} \\
&=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z\right\vert >0\wedge -\pi <\mathrm{Arg}\left( z\right) <\pi
\right\}
\end{eqnarray*}に属する点\(a\in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\frac{1}{a}
\end{equation*}となります。
命題（複素対数関数の微分）
複素関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\mathrm{Ln}\left( z\right)
\end{equation*}を定めるものとする。\(a\in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\frac{1}{a}
\end{equation*}が成り立つ。したがって、\(f\)の導関数\(f^{\prime }:\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( z\right) =\frac{1}{z}
\end{equation*}を定める。ただし、\begin{eqnarray*}\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-} &=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \mathrm{Re}\left( z\right) >0\vee \mathrm{Im}\left( z\right) \not=0\right\}
\\
&=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z\right\vert >0\wedge -\pi <\mathrm{Arg}\left( z\right) <\pi
\right\}
\end{eqnarray*}である。
\end{equation*}を定めるものとする。\(a\in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\frac{1}{a}
\end{equation*}が成り立つ。したがって、\(f\)の導関数\(f^{\prime }:\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( z\right) =\frac{1}{z}
\end{equation*}を定める。ただし、\begin{eqnarray*}\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-} &=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \mathrm{Re}\left( z\right) >0\vee \mathrm{Im}\left( z\right) \not=0\right\}
\\
&=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z\right\vert >0\wedge -\pi <\mathrm{Arg}\left( z\right) <\pi
\right\}
\end{eqnarray*}である。
例（複素対数関数の微分）
複素関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =z\mathrm{Ln}\left( z\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( z\right) &=&\frac{d}{dz}z\mathrm{Ln}\left( z\right) \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\mathrm{Ln}\left( z\right) \frac{d}{dz}z+z\frac{d}{dz}\mathrm{Ln}\left(
z\right) \quad \because \text{積の法則} \\
&=&\mathrm{Ln}\left( z\right) \cdot 1+z\cdot \frac{1}{z} \\
&=&\mathrm{Ln}\left( z\right) +1
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( z\right) &=&\frac{d}{dz}z\mathrm{Ln}\left( z\right) \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\mathrm{Ln}\left( z\right) \frac{d}{dz}z+z\frac{d}{dz}\mathrm{Ln}\left(
z\right) \quad \because \text{積の法則} \\
&=&\mathrm{Ln}\left( z\right) \cdot 1+z\cdot \frac{1}{z} \\
&=&\mathrm{Ln}\left( z\right) +1
\end{eqnarray*}を定めます。
例（複素対数関数の微分）
複素関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ -1\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ -1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\mathrm{Ln}\left( z+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素対数関数\(\mathrm{Ln}\left( z\right) \)と複素多項式関数\(z+1\)の合成関数であることに注意してください。\(f\)が微分可能な点からなる集合は、\begin{eqnarray*}Z &=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ z+1\in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\right\} \\
&=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z+1\right\vert >0\wedge -\pi <\mathrm{Arg}\left( z+1\right)
<\pi \right\}
\end{eqnarray*}であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in Z\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( z\right) &=&\frac{d}{dz}\mathrm{Ln}\left( z+1\right) \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dw}\mathrm{Ln}\left( w\right) \right\vert _{w=z+1}\cdot
\frac{d}{dz}\left( z+1\right) \\
&=&\left. \frac{1}{w}\right\vert _{w=z+1}\cdot 1 \\
&=&\frac{1}{z+1}
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素対数関数\(\mathrm{Ln}\left( z\right) \)と複素多項式関数\(z+1\)の合成関数であることに注意してください。\(f\)が微分可能な点からなる集合は、\begin{eqnarray*}Z &=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ z+1\in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\right\} \\
&=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z+1\right\vert >0\wedge -\pi <\mathrm{Arg}\left( z+1\right)
<\pi \right\}
\end{eqnarray*}であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in Z\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( z\right) &=&\frac{d}{dz}\mathrm{Ln}\left( z+1\right) \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dw}\mathrm{Ln}\left( w\right) \right\vert _{w=z+1}\cdot
\frac{d}{dz}\left( z+1\right) \\
&=&\left. \frac{1}{w}\right\vert _{w=z+1}\cdot 1 \\
&=&\frac{1}{z+1}
\end{eqnarray*}を定めます。
複素対数関数は解析関数
複素対数関数は\(\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)上の解析関数です。
命題（複素対数関数は解析関数）
複素関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\mathrm{Ln}\left( z\right)
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)は\(\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)上の解析関数である。ただし、\begin{eqnarray*}\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-} &=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \mathrm{Re}\left( z\right) >0\vee \mathrm{Im}\left( z\right) \not=0\right\} \\
&=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z\right\vert >0\wedge -\pi <\mathrm{Arg}\left( z\right) <\pi
\right\}
\end{eqnarray*}である。
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)は\(\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)上の解析関数である。ただし、\begin{eqnarray*}\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-} &=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \mathrm{Re}\left( z\right) >0\vee \mathrm{Im}\left( z\right) \not=0\right\} \\
&=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z\right\vert >0\wedge -\pi <\mathrm{Arg}\left( z\right) <\pi
\right\}
\end{eqnarray*}である。
例（解析関数）
複素関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =z\mathrm{Ln}\left( z\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(f\)は\(\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)上で微分可能です。しかも\(\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)は\(\mathbb{C} \)上の開集合であるため、\(f\)は\(\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)上の解析関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(f\)は\(\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)上で微分可能です。しかも\(\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)は\(\mathbb{C} \)上の開集合であるため、\(f\)は\(\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)上の解析関数です。
例（解析関数）
複素関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ -1\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ -1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\mathrm{Ln}\left( z+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(f\)は以下の集合\begin{eqnarray*}Z &=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ z+1\in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\right\} \\
&=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z+1\right\vert >0\wedge -\pi <\mathrm{Arg}\left( z+1\right)
<\pi \right\}
\end{eqnarray*}上で微分可能です。しかも\(Z\)は\(\mathbb{C} \)上の開集合であるため、\(f\)は\(Z\)上の解析関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(f\)は以下の集合\begin{eqnarray*}Z &=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ z+1\in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\right\} \\
&=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z+1\right\vert >0\wedge -\pi <\mathrm{Arg}\left( z+1\right)
<\pi \right\}
\end{eqnarray*}上で微分可能です。しかも\(Z\)は\(\mathbb{C} \)上の開集合であるため、\(f\)は\(Z\)上の解析関数です。
演習問題
問題（複素対数関数の微分）
複素関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =3z^{2}-e^{2iz}+i\mathrm{Ln}\left( z\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の導関数を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の導関数を求めてください。
問題（複素対数関数の微分）
複素関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\left( z+1\right) \mathrm{Ln}\left( z\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の導関数を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の導関数を求めてください。
問題（複素対数関数の微分）
複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in Z\)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\frac{\mathrm{Ln}\left( 2z-i\right) }{z^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{eqnarray*}
Z &=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ 2z-i\not=0\wedge z^{2}+1\not=0\right\} \\
&=&\mathbb{Z} \backslash \left\{ \frac{i}{2},i,-i\right\}
\end{eqnarray*}です。\(f\)の導関数を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{eqnarray*}
Z &=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ 2z-i\not=0\wedge z^{2}+1\not=0\right\} \\
&=&\mathbb{Z} \backslash \left\{ \frac{i}{2},i,-i\right\}
\end{eqnarray*}です。\(f\)の導関数を求めてください。
問題（複素対数関数の微分）
複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in Z\)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\mathrm{Ln}\left( z^{2}+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{eqnarray*}
Z &=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ z^{2}+1\not=0\right\} \\
&=&\mathbb{C} \backslash \left\{ i,-i\right\}
\end{eqnarray*}です。\(f\)の導関数を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{eqnarray*}
Z &=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ z^{2}+1\not=0\right\} \\
&=&\mathbb{C} \backslash \left\{ i,-i\right\}
\end{eqnarray*}です。\(f\)の導関数を求めてください。
