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複素関数の微分

複素ベキ関数の微分

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複素ベキ関数の微分

複素ベキ関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して定める値が、複素数\(p\in \mathbb{C} \)を用いて、\begin{eqnarray*}f\left( z\right) &=&z^{p} \\
&=&e^{p\mathrm{Ln}\left( z\right) }
\end{eqnarray*}と表されるということです。\(p=0\)の場合には、\begin{equation*}f\left( z\right) =z^{0}=1
\end{equation*}となり、\(f\)は複素定数関数になります。複素定数関数の微分についてはすでに解説したため、以降では\(p\not=0\)の場合について考えます。

複素ベキ関数\(f\)は複素平面上の実軸の非負の領域\begin{equation*}\mathbb{R} _{-}=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \mathrm{Re}\left( z\right) \leq 0\wedge \mathrm{Im}\left( z\right)=0\right\}
\end{equation*}上において連続ではありません。連続ではない複素関数は微分可能ではないため、\(f\)は\(\mathbb{R} _{-}\)上の任意の点において微分可能ではありません。その一方で、\(\mathbb{R} _{-}\)の補集合\begin{eqnarray*}\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-} &=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \mathrm{Re}\left( z\right) >0\vee \mathrm{Im}\left( z\right) \not=0\right\} \\
&=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z\right\vert >0\wedge -\pi <\mathrm{Arg}\left( z\right) <\pi
\right\}
\end{eqnarray*}に属する点\(a\in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =pa^{p-1}
\end{equation*}となります。

命題(複素ベキ関数の微分)
複素関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)がそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して定める値が、複素数\(p\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( z\right) =z^{p}
\end{equation*}と表されるものとする。\(a\in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =pa^{p-1}
\end{equation*}が成り立つ。したがって、\(f\)の導関数\(f^{\prime }:\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( z\right) =pz^{p-1}
\end{equation*}を定める。ただし、\begin{eqnarray*}\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-} &=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \mathrm{Re}\left( z\right) >0\vee \mathrm{Im}\left( z\right) \not=0\right\}
\\
&=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z\right\vert >0\wedge -\pi <\mathrm{Arg}\left( z\right) <\pi
\right\}
\end{eqnarray*}である。

証明

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例(複素ベキ関数の微分)
複素関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =z^{\frac{i}{\pi }}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( z\right) &=&\frac{d}{dz}z^{\frac{i}{\pi }}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{i}{\pi }z^{\frac{i}{\pi }-1}
\end{eqnarray*}を定めます。

例(複素ベキ関数の微分)
複素関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =e^{z}z^{i}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( z\right) &=&\frac{d}{dz}e^{z}z^{i}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&z^{i}\frac{d}{dz}e^{z}+e^{z}\frac{d}{dz}z^{i}\quad \because \text{積の法則} \\
&=&z^{i}e^{z}+e^{z}iz^{i-1} \\
&=&z^{i-1}e^{z}\left( z+i\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

例(複素ベキ関数の微分)
複素関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ i\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ i\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\left( i-z\right) ^{i}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は複素多項式関数\(i-z\)と複素ベキ関数\(z^{i}\)の合成関数であることに注意してください。\(f\)が微分可能な点からなる集合は、\begin{eqnarray*}Z &=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ i-z\in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\right\} \\
&=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert i-z\right\vert >0\wedge -\pi <\mathrm{Arg}\left( i-z\right)
<\pi \right\}
\end{eqnarray*}であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in Z\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( z\right) &=&\frac{d}{dz}\left( i-z\right) ^{i}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dw}w^{i}\right\vert _{w=i-z}\cdot \frac{d}{dz}\left(
i-z\right) \quad \because \text{複素合成関数の微分} \\
&=&\left. iw^{i-1}\right\vert _{w=i-z}\cdot \left( -1\right) \\
&=&-i\left( i-z\right) ^{i-1}
\end{eqnarray*}を定めます。

 

複素ベキ関数は解析関数

複素ベキ関数は\(\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)上の解析関数です。

命題(複素ベキ関数は解析関数)
複素関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)がそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して定める値が、複素数\(p\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( z\right) =z^{p}
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)は\(\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)上の解析関数である。ただし、\begin{eqnarray*}\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-} &=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \mathrm{Re}\left( z\right) >0\vee \mathrm{Im}\left( z\right) \not=0\right\} \\
&=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z\right\vert >0\wedge -\pi <\mathrm{Arg}\left( z\right) <\pi
\right\}
\end{eqnarray*}である。

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例(解析関数)
複素関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =z^{\frac{i}{\pi }}
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(f\)は\(\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)上で微分可能です。しかも\(\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)は\(\mathbb{C} \)上の開集合であるため、\(f\)は\(\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)上の解析関数です。
例(解析関数)
複素関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =e^{z}z^{i}
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(f\)は\(\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)上で微分可能です。しかも\(\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)は\(\mathbb{C} \)上の開集合であるため、\(f\)は\(\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\)上の解析関数です。
例(解析関数)
複素関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ i\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ i\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\left( i-z\right) ^{i}
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(f\)は以下の集合\begin{eqnarray*}Z &=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ i-z\in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R} _{-}\right\} \\
&=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert i-z\right\vert >0\wedge -\pi <\mathrm{Arg}\left( i-z\right)
<\pi \right\}
\end{eqnarray*}上で微分可能です。しかも\(Z\)は\(\mathbb{C} \)上の開集合であるため、\(f\)は\(Z\)上の解析関数です。

 

演習問題

問題(複素ベキ関数の微分)
複素関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =z^{\frac{2}{\pi }i}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
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問題(複素ベキ関数の微分)
複素関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =z^{\frac{i}{\pi }}-e^{2iz}+i\mathrm{Ln}\left( z\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
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問題(複素ベキ関数の微分)
複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in Z\)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\frac{\left( 2z-i\right) ^{i}}{z^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{eqnarray*}
Z &=&\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ 2z-i\not=0\wedge z^{2}+1\right\} \\
&=&\mathbb{C} \backslash \left\{ \frac{i}{2},i,-i\right\}
\end{eqnarray*}です。導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
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