複素有理関数の微分
複素有理関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(z\in Z\)に対して定める値が、2つの複素多項式関数\begin{eqnarray*}g &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \\
h &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}を用いて、\begin{equation*}
f\left( z\right) =\frac{g\left( z\right) }{h\left( z\right) }
\end{equation*}と表されるということです。複素数をゼロで割ることはできないため、複素関数\(h\)は非ゼロの複素数を値としてとることに注意してください。
定義域上の点\(a\in Z\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\frac{g^{\prime }\left( a\right) \cdot h\left(
a\right) -g\left( a\right) \cdot h^{\prime }\left( a\right) }{\left[ h\left(
a\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}となります。
命題（複素有理関数の微分）
複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)がそれぞれの\(z\in Z\)に対して定める値が、複素多項式関数である\(g:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)および\(h:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( z\right) =\frac{g\left( z\right) }{h\left( z\right) }
\end{equation*}と表されるものとする。定義域上の点\(a\in Z\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\frac{g^{\prime }\left( a\right) \cdot h\left(
a\right) -g\left( a\right) \cdot h^{\prime }\left( a\right) }{\left[ h\left(
a\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}が成り立つ。したがって、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)が存在して、それぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( z\right) =\frac{g^{\prime }\left( z\right) \cdot h\left(
z\right) -g\left( z\right) \cdot h^{\prime }\left( z\right) }{\left[ h\left(
z\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}を定める。
\end{equation*}と表されるものとする。定義域上の点\(a\in Z\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\frac{g^{\prime }\left( a\right) \cdot h\left(
a\right) -g\left( a\right) \cdot h^{\prime }\left( a\right) }{\left[ h\left(
a\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}が成り立つ。したがって、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)が存在して、それぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( z\right) =\frac{g^{\prime }\left( z\right) \cdot h\left(
z\right) -g\left( z\right) \cdot h^{\prime }\left( z\right) }{\left[ h\left(
z\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}を定める。
例（複素有理関数の微分）
複素関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ -1\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ -1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\frac{\left( 3+i\right) z^{4}-z^{2}+2z}{z+1}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{C} \backslash \left\{ -1\right\} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{C} \backslash \left\{ -1\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ -1\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( z\right) &=&\frac{d}{dz}\frac{\left( 3+i\right)
z^{4}-z^{2}+2z}{z+1}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\left( z+1\right) \frac{d}{dz}\left[ \left( 3+i\right)
z^{4}-z^{2}+2z\right] -\left[ \left( 3+i\right) z^{4}-z^{2}+2z\right] \frac{d}{dz}\left( z+1\right) }{\left( z+1\right) ^{2}}\quad \because \text{複素有理関数の微分} \\
&=&\frac{\left( z+1\right) \left[ 4\left( 3+i\right) z^{3}-2z+2\right] -\left[ \left( 3+i\right) z^{4}-z^{2}+2z\right] 1}{\left( z+1\right) ^{2}}\quad \because \text{複素多項式関数の微分} \\
&=&\frac{\left( 9+3i\right) z^{4}+\left( 12+4i\right) z^{3}-z^{2}-2z+2}{\left( z+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{C} \backslash \left\{ -1\right\} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{C} \backslash \left\{ -1\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ -1\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( z\right) &=&\frac{d}{dz}\frac{\left( 3+i\right)
z^{4}-z^{2}+2z}{z+1}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\left( z+1\right) \frac{d}{dz}\left[ \left( 3+i\right)
z^{4}-z^{2}+2z\right] -\left[ \left( 3+i\right) z^{4}-z^{2}+2z\right] \frac{d}{dz}\left( z+1\right) }{\left( z+1\right) ^{2}}\quad \because \text{複素有理関数の微分} \\
&=&\frac{\left( z+1\right) \left[ 4\left( 3+i\right) z^{3}-2z+2\right] -\left[ \left( 3+i\right) z^{4}-z^{2}+2z\right] 1}{\left( z+1\right) ^{2}}\quad \because \text{複素多項式関数の微分} \\
&=&\frac{\left( 9+3i\right) z^{4}+\left( 12+4i\right) z^{3}-z^{2}-2z+2}{\left( z+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。
複素有理関数は解析関数
複素有理関数は定義域上の解析関数です。
命題（複素有理関数は解析関数）
複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)がそれぞれの\(z\in Z\)に対して定める値が、複素多項式関数である\(g:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)および\(h:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( z\right) =\frac{g\left( z\right) }{h\left( z\right) }
\end{equation*}と表されるものとする。\(Z\)が\(\mathbb{C} \)上の開集合であるならば、\(f\)は\(Z\)上の解析関数である。
\end{equation*}と表されるものとする。\(Z\)が\(\mathbb{C} \)上の開集合であるならば、\(f\)は\(Z\)上の解析関数である。
演習問題
問題（複素有理関数の微分）
複素関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ 1+\sqrt{3}i\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 1+\sqrt{3}i\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\frac{z^{2}-2z+4}{z-1-\sqrt{3}i}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
問題（複素有理関数の微分）
複素関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ \pm 1\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ \pm 1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\frac{z^{2}+1}{z^{2}-1}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
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