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複素関数の微分

複素関数の差の微分(差の法則)

目次

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微分可能な複素関数の差の微分

定義域を共有する2つの複素関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \\
g &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの\(z\in Z\)に対して、\begin{equation*}\left( f-g\right) \left( z\right) =f\left( z\right) -g\left( z\right)
\end{equation*}を値として定める新たな複素関数\begin{equation*}
f-g:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能です。

定義域の内点\(a\in Z^{i}\)を選んだとき、複素関数\(f,g\)がともに点\(a\)において微分可能ならば、複素関数\(f-g\)もまた点\(a\)において微分可能であることが保証されるとともに、これらの微分係数の間には以下の関係\begin{equation*}\left( f-g\right) ^{\prime }\left( a\right) =f^{\prime }\left( a\right)
-g^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

したがって、何らかの複素関数\(f,g\)の差の形をしている複素関数\(f-g\)の微分可能性を検討する際には、複素関数の微分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)を分けた上で、それぞれが微分可能であることを確認すればよいということになります。さらに、複素関数\(f,g\)がともに微分可能である場合、\(f\)の微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)と\(g\)の微分係数\(g^{\prime }\left( a\right) \)の差をとれば、複素関数\(f\)の微分係数\(\left( f-g\right) ^{\prime }\left( a\right) \)が得られます。

命題(微分可能な複素関数の差の微分)
複素関数\(f,g:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)が与えられたとき、そこから複素関数\(f-g:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)を定義する。\(f,g\)がともに定義域の内点\(a\in Z^{i}\)において微分可能であるならば、複素関数\(f-g\)もまた点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}\left( f-g\right) ^{\prime }\left( a\right) =f^{\prime }\left( a\right)
-g^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。

証明

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例(微分可能な複素関数の差の微分)
複素関数\(f,g:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)から複素関数\(f-g:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)を定義します。\(f,g\)がともに定義域\(Z\)上の任意の点において微分可能であるものとします。つまり、導関数\begin{eqnarray*}f^{\prime } &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \\
g^{\prime } &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}がともに存在するということです。すると先の命題より複素関数\(f-g\)もまた定義域\(Z\)上の任意の点において微分可能です。つまり、導関数\begin{equation*}\left( f-g\right) ^{\prime }:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が存在するということです。しかも、これらの導関数の間には以下の関係\begin{equation*}
\forall z\in Z:\left( f-g\right) ^{\prime }\left( z\right) =f^{\prime
}\left( z\right) -g^{\prime }\left( z\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( f-g\right) ^{\prime }=f^{\prime }-g^{\prime }
\end{equation*}が成り立ちます。

例(微分可能な複素関数の差の微分)
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =2z-1
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{C} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( z\right) &=&\frac{d}{dz}\left( 2z-1\right) \quad \because
f\text{の定義} \\
&=&\frac{d}{dz}2z-\frac{d}{dz}1\quad \because \text{差の法則} \\
&=&2\frac{d}{dz}z-\frac{d}{dz}1\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&2\cdot 1-0\quad \because \text{複素恒等関数と複素定数関数の微分} \\
&=&2
\end{eqnarray*}を定めます。

 

解析関数の差は解析関数

定義域を共有する2つの複素関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \\
g &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの\(z\in Z\)に対して、\begin{equation*}\left( f-g\right) \left( z\right) =f\left( z\right) -g\left( z\right)
\end{equation*}を値として定める新たな複素関数\begin{equation*}
f-g:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能です。

定義域の内点\(a\in Z^{i}\)を選んだとき、複素関数\(f,g\)がともに点\(a\)において解析関数であるならば、複素関数\(f-g\)もまた点\(a\)において解析関数です。

命題(解析関数の差は解析関数)
複素関数\(f,g:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)が与えられたとき、そこから複素関数\(f-g:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)を定義する。\(f,g\)がともに定義域の内点\(a\in Z^{i}\)において解析関数であるならば、\(f-g\)もまた点\(a\)において解析関数である。
証明

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例(解析関数の差は解析関数)
複素関数\(f,g:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)から複素関数\(f-g:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)を定義します。\(Z\)が\(\mathbb{C} \)上の開集合であるとともに\(f,g\)がともに\(Z\)上で解析関数であるならば、先の命題より、\(f-g\)もまた\(Z\)上で解析関数です。
例(整関数の差は整関数)
複素関数\(f,g:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)から複素関数\(f-g:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)を定義します。\(f,g\)がともに整関数であるならば、先の命題より、\(f-g\)もまた整関数です。

 

演習問題

問題(複素関数の差の微分)
複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\left( 3+i\right) z-4
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
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