複素関数の微分可能性と連続性の関係

複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)が定義域の内点\(a\in Z^{i}\)において微分可能であるならば、\(f\)は点\(a\)において連続である。

複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)の定義域\(Z\)が\(\mathbb{C} \)上の開集合であるものとします。開集合の定義より、\(Z\)上の点はいずれも\(Z\)の内点です。したがって、\(f\)が\(Z\)上の任意の点において微分可能であるならば、先の命題より、\(f\)は\(Z\)上の任意の点において連続です。以上より、開集合\(Z\)上に定義された微分可能な複素関数は\(Z\)上において連続であることが明らかになりました。

複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =z^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\quad \because \text{微分の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left( a+h\right) ^{2}-a^{2}}{h}\quad \because
f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2ah+h^{2}}{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left( 2a+h\right) \quad \because h\not=0 \\
&=&2a+0 \\
&=&2a \\
&\in &\mathbb{C} \quad \because a\in \mathbb{C} \end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(a\)において微分可能です。任意の点\(a\in \mathbb{C} \)において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{C} \)上で微分可能です。したがって、先の命題より\(f\)は\(\mathbb{C} \)上において連続であるはずです。実際、点\(a\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) &=&\lim_{z\rightarrow a}z^{2}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&a^{2} \\
&=&f\left( a\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(a\)において連続です。任意の点\(a\in \mathbb{C} \)において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{C} \)上で連続です。この結果は先の命題の主張と整合的です。

関数\(f:\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\frac{1}{z}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\quad \because \text{微分の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\left( \frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}\right)
\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\left[ \frac{a-\left( a+h\right) }{\left(
a+h\right) a}\right] \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left[ -\frac{1}{a\left( a+h\right) }\right] \\
&=&-\frac{1}{a\left( a+0\right) } \\
&=&-\frac{1}{a^{2}} \\
&\in &\mathbb{C} \quad \because a\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(a\)において微分可能です。任意の点\(a\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で微分可能です。したがって、先の命題より\(f\)は\(\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)上において連続であるはずです。実際、点\(a\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{z\rightarrow a}f\left( z\right) &=&\lim_{z\rightarrow a}\frac{1}{z}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{a} \\
&=&f\left( a\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(a\)において連続です。任意の点\(a\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で連続です。この結果は先の命題の主張と整合的です。

複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z=x+yi\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =x+i4y
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a=b+ci\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続である一方で、点\(a\)において微分可能ではありません（演習問題）。

複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ \mathrm{Re}\left( z\right) <0\right) \\
i & \left( if\ \mathrm{Re}\left( z\right) \geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は定義域上の点\(0\in \mathbb{C} \)において微分可能でしょうか。\(\mathrm{Re}\left( z\right) <0\)を満たしながら\(z\rightarrow 0\)とする場合には、\begin{eqnarray*}\lim_{z\rightarrow 0}f\left( z\right) &=&\lim_{z\rightarrow 0}0\quad
\because \mathrm{Re}\left( z\right) <0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となる一方で、\(\mathrm{Re}\left(z\right) >0\)を満たしながら\(z\rightarrow 0\)とする場合には、\begin{eqnarray*}\lim_{z\rightarrow 0}f\left( z\right) &=&\lim_{z\rightarrow 0}i\quad
\because \mathrm{Re}\left( z\right) >0 \\
&=&i
\end{eqnarray*}となります。\(z\)を\(0\)へ近づける際の経路に依存して極限が異なることとは、\(z\rightarrow 0\)の場合に\(f\)は複素数へ収束しないことを意味します。したがって\(f\)は点\(0\)において連続ではありません。ゆえに先の命題より、\(f\)は点\(0\)において微分可能ではありません。

複素関数\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z=x+yi\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =x+i4y
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a=b+ci\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続である一方で、点\(a\)において微分可能ではないことを示してください。