調和関数と調和共役関数

解析関数の実部と虚部は調和関数

複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)およびその実部\(u:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \)と虚部\(v:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \)の間には以下の関係\begin{equation}\forall z\in Z:f\left( z\right) =u\left( z\right) +iv\left( z\right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。複素数\(z\in Z\)を任意に選んだとき、これは何らかの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation}z=x+yi \quad \cdots (2)
\end{equation}と表すことができるため、以下の関係\begin{eqnarray*}
f\left( z\right) &=&f\left( x+yi\right) \quad \because \left( 2\right) \\
&=&u\left( x+yi\right) +iv\left( x+yi\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。このような事情を踏まえると、複素関数\(f\)の実部\(u\)と虚部\(v\)を、実数を値としてとり得る2つの変数\(x,y\)に関する2変数の実数値関数\begin{eqnarray*}u\left( x,y\right) &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \\
v\left( x,y\right) &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}とみなすことができます。このような解釈のもとでは、複素数\(z=x+y\in Z\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}f\left( z\right) =u\left( x,y\right) +iv\left( x,y\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

複素関数\(f\)の定義域\(Z\)が複素平面\(\mathbb{C} \)上の開集合であるとともに、\(f\)の実部\(u\)と虚部\(v\)がともに\(Z\)上で\(C^{1}\)級であるものとします。つまり、偏導関数\begin{eqnarray*}\frac{\partial u\left( x,y\right) }{\partial x} &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \\
\frac{\partial u\left( x,y\right) }{\partial y} &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \\
\frac{\partial v\left( x,y\right) }{\partial x} &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \\
\frac{\partial v\left( x,y\right) }{\partial y} &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が存在するとともに、これらはいずれも\(Z\)上で連続であるということです。さらに、\(Z\)上においてコーシー・リーマンの方程式\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \left( x,y\right) \in Z:\frac{\partial u\left(
x,y\right) }{\partial x}=\frac{\partial v\left( x,y\right) }{\partial y} \\
&&\left( b\right) \ \forall \left( x,y\right) \in Z:\frac{\partial u\left(
x,y\right) }{\partial y}=-\frac{\partial v\left( x,y\right) }{\partial x}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(Z\)上の任意の点において微分可能になります。つまり、\(f\)は\(Z\)上の解析関数です。逆も成立するため、以上の条件が成り立つことと\(f\)が\(Z\)上の解析関数であることは必要十分です。さらにこのとき、導関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)がそれぞれの\(z=x+yi\in Z\)に対して定める値は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( z\right) =\frac{\partial u\left( x,y\right) }{\partial x}+i\frac{\partial v\left( x,y\right) }{\partial x}
\end{equation*}と一致します。以上がこれまで明らかになった事実です。

複素関数\(f\)の定義域\(Z\)が複素平面\(\mathbb{C} \)上の開集合であるとともに、\(f\)が\(Z\)上の解析関数である状況を想定します。詳細は必要な知識が揃った段階で証明しますが、実は、この場合には\(f\)の実部\(u\)と虚部\(v\)がともに\(Z\)上で\(C^{2}\)級になります。つまり、\(u,v\)の連続な偏導関数が存在するだけでなく、2階偏導関数\begin{eqnarray*}\frac{\partial ^{2}u\left( x,y\right) }{\partial x^{2}} &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \\
\frac{\partial ^{2}u\left( x,y\right) }{\partial y\partial x} &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \\
\frac{\partial ^{2}u\left( x,y\right) }{\partial x\partial y} &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \\
\frac{\partial ^{2}u\left( x,y\right) }{\partial y^{2}} &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \\
\frac{\partial ^{2}v\left( x,y\right) }{\partial x^{2}} &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \\
\frac{\partial ^{2}v\left( x,y\right) }{\partial y\partial x} &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \\
\frac{\partial ^{2}v\left( x,y\right) }{\partial x\partial y} &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \\
\frac{\partial ^{2}v\left( x,y\right) }{\partial y^{2}} &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が存在するとともに、これらもまた\(Z\)上で連続になります。しかもこのとき、\(Z\)上において以下の2階偏微分方程式\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \left( x,y\right) \in Z:\frac{\partial
^{2}u\left( x,y\right) }{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2}u\left(
x,y\right) }{\partial y^{2}}=0 \\
&&\left( b\right) \ \forall \left( x,y\right) \in Z:\frac{\partial
^{2}v\left( x,y\right) }{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2}v\left(
x,y\right) }{\partial y^{2}}=0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial
^{2}u}{\partial y^{2}}=0 \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}+\frac{\partial
^{2}v}{\partial y^{2}}=0
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。以上のような2階偏微分方程式をラプラスの方程式（Laplace’s equation）と呼びます。また、\(u,v\)が\(Z\)上で\(C^{2}\)級であるとともにラプラスの方程式を満たすことを指して、\(u,v\)は\(Z\)上において調和関数（harmonic function in \(Z\)）であると言います。つまり、\(Z\)上の解析関数\(f\)の実部\(u\)と虚部\(v\)はともに\(Z\)上の調和関数であるということです。

調和共役関数

複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)およびその実部\(u:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \)と虚部\(v:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられた状況において複素数\(z=x+y\in Z\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation}f\left( z\right) =u\left( x,y\right) +iv\left( x,y\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(Z\)は\(\mathbb{C} \)上の開集合であるものとします。\(f\)が\(Z\)上の解析関数である場合には、\(u,v\)はともに\(Z\)上の調和関数になることが明らかになりました。では、調和関数\(u\)が与えられたとき、\(\left( 1\right) \)のように定義される複素関数\(f\)が解析関数になるような調和関数\(v\)を特定できるでしょうか。順番に考えます。

複素平面\(\mathbb{C} \)上の開集合\(Z\)を定義域とする調和関数\begin{equation*}u:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられた状況を想定します。つまり、\(u\)は\(Z\)上において\(C^{2}\)級であるとともに、ラプラスの方程式\begin{equation*}\forall \left( x,y\right) \in Z:\frac{\partial ^{2}u\left( x,y\right) }{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2}u\left( x,y\right) }{\partial y^{2}}=0
\end{equation*}を満たすということです。これに対して、調和関数\begin{equation*}
v:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が存在して、\(u,v\)は\(Z\)上においてコーシー・リーマンの方程式を満たすのであれば、すなわち、ラプラスの方程式\begin{equation*}\forall \left( x,y\right) \in Z:\frac{\partial ^{2}v\left( x,y\right) }{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2}v\left( x,y\right) }{\partial y^{2}}=0
\end{equation*}に加えて、コーシー・リーマンの方程式\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall \left( x,y\right) \in Z:\frac{\partial u\left(
x,y\right) }{\partial x}=\frac{\partial v\left( x,y\right) }{\partial y} \\
&&\left( b\right) \ \forall \left( x,y\right) \in Z:\frac{\partial u\left(
x,y\right) }{\partial y}=-\frac{\partial v\left( x,y\right) }{\partial x}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(v\)を\(u\)の調和共役関数（harmonic conjugate function）と呼びます。

調和関数\(u:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \)に対して、その調和共役関数\(v:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合、それぞれの\(z=x+yi\in Z\)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =u\left( x,y\right) +iv\left( x,y\right)
\end{equation*}を値として定める複素関数\begin{equation*}
f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能です。調和関数の定義より\(u,v\)は\(C^{2}\)級であるため、\(u,v\)の導関数は連続です。加えて、コーシー・リーマンの方程式が成り立つため、\(f\)は\(Z\)上の任意の点において微分可能であり、したがって\(f\)は\(Z\)上の解析関数になります。つまり、調和関数\(u\)の調和共役関数\(v\)が存在する場合、これらから解析関数\(f\)を構成できるということです。

演習問題