微分可能な複素関数の商の微分
定義域を共有する2つの複素関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \\
g &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの\(z\in Z\)に対して、\begin{equation*}\left( \frac{f}{g}\right) \left( z\right) =\frac{f\left( z\right) }{g\left(
z\right) }
\end{equation*}を値として定める新たな複素関数\begin{equation*}
\frac{f}{g}:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能です。複素数をゼロで割ることはできないため、複素関数\(g\)は値として非ゼロをとることに注意してください。
定義域の内点\(a\in Z^{i}\)を選んだとき、複素関数\(f,g\)がともに点\(a\)において微分可能ならば、複素関数\(fg\)もまた点\(a\)において微分可能であることが保証されるとともに、これらの微分係数の間には以下の関係\begin{equation*}\left( \frac{f}{g}\right) ^{\prime }\left( a\right) =\frac{f^{\prime }\left(
a\right) \cdot g\left( a\right) -f\left( a\right) \cdot g^{\prime }\left(
a\right) }{\left[ g\left( a\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}が成り立ちます。
a\right) \cdot g\left( a\right) -f\left( a\right) \cdot g^{\prime }\left(
a\right) }{\left[ g\left( a\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}を満たす。
g^{\prime } &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}がともに存在するということです。すると先の命題より複素関数\(\frac{f}{g}\)もまた定義域\(Z\)上の任意の点において微分可能です。つまり、導関数\begin{equation*}\left( \frac{f}{g}\right) ^{\prime }:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が存在するということです。しかも、これらの導関数の間には以下の関係\begin{equation*}
\forall z\in Z:\left( \frac{f}{g}\right) ^{\prime }\left( z\right) =\frac{f^{\prime }\left( z\right) \cdot g\left( z\right) -f\left( z\right) \cdot
g^{\prime }\left( z\right) }{\left[ g\left( z\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( \frac{f}{g}\right) ^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-fg^{\prime }}{g^{2}}
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)上において微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( z\right) &=&\frac{d}{dz}\left( \frac{1}{z}\right) \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\frac{z\frac{d}{dz}1-1\frac{d}{dz}z}{z^{2}}\quad \because \text{商の法則} \\
&=&\frac{z\cdot 0-1\cdot 1}{z^{2}} \\
&=&-\frac{1}{z^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
Z=\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ z^{3}+3z^{2}+z\not=0\right\}
\end{equation*}です。\(f\)は\(Z\)上において微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in Z\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( z\right) &=&\frac{d}{dz}\left( \frac{z^{3}}{z^{3}+3z^{2}+z}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\left( z^{3}+3z^{2}+z\right) \frac{d}{dz}z^{3}-z^{3}\frac{d}{dz}\left( z^{3}+3z^{2}+z\right) }{\left( z^{3}+3z^{2}+z\right) ^{2}}\quad
\because \text{商の法則} \\
&=&\frac{\left( z^{3}+3z^{2}+z\right) \frac{d}{dz}z^{3}-z^{3}\left( \frac{d}{dz}z^{3}+\frac{d}{dz}3z^{2}+\frac{d}{dz}z\right) }{\left(
z^{3}+3z^{2}+z\right) ^{2}}\quad \because \text{和の法則} \\
&=&\frac{\left( z^{3}+3z^{2}+z\right) \frac{d}{dz}z^{3}-z^{3}\left( \frac{d}{dz}z^{3}+3\frac{d}{dz}z^{2}+\frac{d}{dz}z\right) }{\left(
z^{3}+3z^{2}+z\right) ^{2}}\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&\frac{\left( z^{3}+3z^{2}+z\right) 3z^{2}-z^{3}\left( 3z^{2}+3\cdot
2z+1\right) }{\left( z^{3}+3z^{2}+z\right) ^{2}}\quad \because \text{べき乗の法則} \\
&=&\frac{z\left( 3z+2\right) }{\left( z^{2}+3z+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。
解析関数の商は解析関数
定義域を共有する2つの複素関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \\
g &:&\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの\(z\in Z\)に対して、\begin{equation*}\left( \frac{f}{g}\right) \left( z\right) =\frac{f\left( z\right) }{g\left(
z\right) }
\end{equation*}を値として定める新たな複素関数\begin{equation*}
\frac{f}{g}:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能です。
定義域の内点\(a\in Z^{i}\)を選んだとき、複素関数\(f,g\)がともに点\(a\)において解析関数であるならば、複素関数\(\frac{f}{g}\)もまた点\(a\)において解析関数です。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
