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DIFFERENTIATION OF COMPLEX FUNCTION

複素関数の積分

OVERVIEW

複素関数の微分

複素関数の微分(複素微分)の概念を定義した上で、複素微分の性質について解説します。
TABLE OF CONTENTS

目次

DERIVATIVE OF COMPLEX FUNCTION

複素関数の微分を定義します。

極形式のコーシー・リーマンの方程式

複素関数の変数が極形式(指数表現)で表現されている状況において、その複素関数が微分可能であることや解析的であることを判定する際に、実部と虚部に相当する2変数の実数値関数の偏微分を用いる方法について解説します。

調和関数と調和共役関数

2階連続微分可能かつラプラスの方程式を満たす2変数の実数値関数を調和関数と呼びます。解析関数の実部と虚部は調和関数です。調和関数とともに解析関数を形作る調和関数を調和共役関数と呼びます。

BASIC PROPERTIES OF DERIVATIVE

複素関数の微分の基本性質

複素微分の基本的な性質について解説します。

複素定数関数の微分

複素定数関数は複素平面上の任意の点において微分可能であるため、複素定数関数は整関数です。また、複素関数が複素定数関数であるための十分条件を明らかにします。

複素恒等関数の微分

複素恒等関数は複素平面上の任意の点において微分可能であるため、複素恒等関数は整関数です。

複素関数の和の微分(和の法則)

微分可能な複素関数どうしの和として定義される複素関数もまた微分可能です。したがって、解析関数どうしの和として定義される複素関数もまた解析関数です。

複素関数の差の微分(差の法則)

微分可能な複素関数どうしの差として定義される複素関数もまた微分可能です。したがって、解析関数どうしの差として定義される複素関数もまた解析関数です。

複素関数の積の微分(積の法則)

微分可能な複素関数どうしの積として定義される複素関数もまた微分可能です。したがって、解析関数どうしの積として定義される複素関数もまた解析関数です。

複素関数の商の微分(商の法則)

微分可能な複素関数どうしの商として定義される複素関数もまた微分可能です。したがって、解析関数どうしの商として定義される複素関数もまた解析関数です。

複素多項式関数の微分

複素多項式関数は複素平面上の任意の点において微分可能であるため、複素多項式関数は整関数です。

複素有理関数の微分

複素有理関数は定義域上の任意の点において微分可能であるため、複素有理関数は定義域上の解析関数です。

複素合成関数の微分

微分可能な複素関数どうしを合成することにより得られる複素合成関数もまた微分可能です。複素合成関数を微分する方法について解説します。

DERIVATIVE OF COMPLEX ELEMENTARY FUNCTION

初等複素関数の微分

代表的な複素関数の微分について解説します。

複素指数関数の微分

複素指数関数は複素平面上の任意の点において微分可能であるため整関数です。複素指数関数を微分する方法について解説します。

複素対数関数の微分

複素対数関数は複素平面上の実軸の非負の領域を除いた領域において微分可能です。複素対数関数を微分する方法について解説します。

複素ベキ関数の微分

複素ベキ関数は複素平面上の実軸の非負の領域を除いた領域において微分可能です。複素ベキ関数を微分する方法について解説します。

EXAM

確認テスト

複素微分に関する確認テストです。

RELATED KNOWLEDGE

関連知識

REQUIRED KNOWLEDGE

前提知識

本節を学ぶ上で以下の知識が役に立ちます。

述語論理

命題論理の基本単位が命題変数であったのに対し、述語論理では命題関数と呼ばれる概念が基本単位となります。それにより扱うことのできる言明の範囲が広がるとともに、量化と呼ばれる操作が可能になります。

ADVANCED KNOWLEDGE

発展知識

本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での基礎になります。

述語論理

命題論理の基本単位が命題変数であったのに対し、述語論理では命題関数と呼ばれる概念が基本単位となります。それにより扱うことのできる言明の範囲が広がるとともに、量化と呼ばれる操作が可能になります。

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