複素関数の微分(複素微分)の定義
複素平面の部分集合上に定義された複素関数が定義域上の点において微分可能であることの意味を定義します。
複素関数の微分を定義します。
複素平面の部分集合上に定義された複素関数が定義域上の点において微分可能であることの意味を定義します。
複素関数が定義域上の点を中心とする何らかの近傍上の任意の点において微分可能である場合、その複素関数はその点において解析的であると言います。
複素関数が微分可能であることや解析的であることを判定する際に、その複素関数の実部と虚部に相当する2変数の実数値関数の偏微分を用いる方法について解説します。
複素関数の変数が極形式(指数表現)で表現されている状況において、その複素関数が微分可能であることや解析的であることを判定する際に、実部と虚部に相当する2変数の実数値関数の偏微分を用いる方法について解説します。
2階連続微分可能かつラプラスの方程式を満たす2変数の実数値関数を調和関数と呼びます。解析関数の実部と虚部は調和関数です。調和関数とともに解析関数を形作る調和関数を調和共役関数と呼びます。
複素微分の基本的な性質について解説します。
微分可能な複素関数は連続である一方で、連続な複素関数は微分可能であるとは限りません。
複素定数関数は複素平面上の任意の点において微分可能であるため、複素定数関数は整関数です。また、複素関数が複素定数関数であるための十分条件を明らかにします。
複素恒等関数は複素平面上の任意の点において微分可能であるため、複素恒等関数は整関数です。
微分可能な複素関数の定数倍として定義される複素関数もまた微分可能です。したがって、解析関数の定数倍として定義される複素関数もまた解析関数です。
微分可能な複素関数どうしの和として定義される複素関数もまた微分可能です。したがって、解析関数どうしの和として定義される複素関数もまた解析関数です。
微分可能な複素関数どうしの差として定義される複素関数もまた微分可能です。したがって、解析関数どうしの差として定義される複素関数もまた解析関数です。
微分可能な複素関数どうしの積として定義される複素関数もまた微分可能です。したがって、解析関数どうしの積として定義される複素関数もまた解析関数です。
微分可能な複素関数どうしの商として定義される複素関数もまた微分可能です。したがって、解析関数どうしの商として定義される複素関数もまた解析関数です。
複素多項式関数は複素平面上の任意の点において微分可能であるため、複素多項式関数は整関数です。
複素有理関数は定義域上の任意の点において微分可能であるため、複素有理関数は定義域上の解析関数です。
微分可能な複素関数どうしを合成することにより得られる複素合成関数もまた微分可能です。複素合成関数を微分する方法について解説します。
複素関数の複素逆関数が微分可能であるための条件や複素逆関数を微分する方法について解説します。
代表的な複素関数の微分について解説します。
複素双曲線正弦関数は複素平面上の任意の点において連続です。
複素指数関数は複素平面上の任意の点において微分可能であるため整関数です。複素指数関数を微分する方法について解説します。
複素対数関数は複素平面上の実軸の非負の領域を除いた領域において微分可能です。複素対数関数を微分する方法について解説します。
複素ベキ関数は複素平面上の実軸の非負の領域を除いた領域において微分可能です。複素ベキ関数を微分する方法について解説します。
複素双曲線正弦関数は複素平面上の任意の点において微分可能であるため整関数です。複素双曲線正弦関数を微分する方法について解説します。
複素双曲線余弦関数は複素平面上の任意の点において微分可能であるため整関数です。複素双曲線余弦関数を微分する方法について解説します。
複素正弦関数は複素平面上の任意の点において微分可能であるため整関数です。複素正弦関数を微分する方法について解説します。
複素余弦関数は複素平面上の任意の点において微分可能であるため整関数です。複素余弦関数を微分する方法について解説します。
複素正接関数は定義域上の任意の点において微分可能であるため、定義域上の解析関数です。複素正接関数を微分する方法について解説します。
複素微分に関する確認テストです。
本節を学ぶ上で以下の知識が役に立ちます。
命題論理の基本単位が命題変数であったのに対し、述語論理では命題関数と呼ばれる概念が基本単位となります。それにより扱うことのできる言明の範囲が広がるとともに、量化と呼ばれる操作が可能になります。
本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での基礎になります。
命題論理の基本単位が命題変数であったのに対し、述語論理では命題関数と呼ばれる概念が基本単位となります。それにより扱うことのできる言明の範囲が広がるとともに、量化と呼ばれる操作が可能になります。