滑らかな曲線上に定義された複素関数の積分
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された実変数の複素関数\begin{equation*}z:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が与えられているものとします。\(z\)の実部と虚部に相当する実関数をそれぞれ、\begin{eqnarray*}x &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
y &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}で表記します。つまり、以下の関係\begin{equation*}
\forall t\in \left[ a,b\right] :z\left( t\right) =x\left( t\right) +iy\left(
t\right)
\end{equation*}が成り立つということです。\(x\)が\(z\)の実部であり、\(v\)が\(z\)の虚部です。
以上のような複素関数\(z\)が与えられれば、複素平面\(\mathbb{C} \)上に存在する曲線が、\begin{eqnarray*}C &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\} \\
&=&\left\{ x\left( t\right) +iy\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{eqnarray*}として得られます。この曲線\(C\)を媒介変数表示すると、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=x\left( t\right) \\
y=y\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ a,b\right] \right)
\end{equation*}となります。加えて、この曲線\(C\)は区間\(\left[a,b\right] \)上において滑らかであるものとします。つまり、複素関数\(z\)は区間\(\left[ a,b\right] \)上において\(C^{1}\)級であるとともに、複素関数\(z\)の導関数\(\frac{dz}{dt}\)は区間\(\left[ a,b\right] \)の内部\(\left( a,b\right) \)において非ゼロの値をとるということです。
さらに、滑らかな曲線\(C\)上に定義された複素関数\begin{equation*}f:\mathbb{C} \supset C\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が与えられているものとします。\(f\)の実部と虚部に相当する実関数をそれぞれ、\begin{eqnarray*}u &:&\mathbb{C} \supset C\rightarrow \mathbb{R} \\
v &:&\mathbb{C} \supset C\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}で表記します。つまり、以下の関係\begin{equation*}
\forall z\in C:f\left( z\right) =u\left( z\right) +iv\left( z\right)
\end{equation*}が成り立つということです。\(u\)が\(f\)の実部であり、\(v\)が\(f\)の虚部です。加えて、\(f\)は\(C\)上において連続であるものとします。これは、\(u,v\)がともに\(C\)上において連続であることと必要十分です。
以上の状況のもとでは、それぞれの実数\(t\in \left[ a,b\right] \)に対して、以下の複素数\begin{eqnarray*}f\left( z\left( t\right) \right) \cdot \frac{dz\left( t\right) }{dt} &=&\left[ u\left( x\left( t\right) +iy\left( t\right) \right) +iv\left( x\left(
t\right) +iy\left( t\right) \right) \right] \cdot \left[ \frac{dx\left(
t\right) }{dt}+i\frac{dy\left( t\right) }{dt}\right] \\
&=&\left[ u\left( x\left( t\right) +iy\left( t\right) \right) \cdot \frac{dx\left( t\right) }{dt}-v\left( x\left( t\right) +iy\left( t\right) \right)
\cdot \frac{dy\left( t\right) }{dt}\right] \\
&&+i\left[ u\left( x\left( t\right) +iy\left( t\right) \right) \cdot \frac{dy\left( t\right) }{dt}+v\left( x\left( t\right) +iy\left( t\right) \right)
\cdot \frac{dx\left( t\right) }{dt}\right]
\end{eqnarray*}を値として定める実変数の複素関数\begin{equation*}
f\left( z\left( t\right) \right) \cdot \frac{dz\left( t\right) }{dt}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能です。仮定より\(f\left( z\right) \)は\(C\)上において連続であるため、\(z\left( t\right) \in C\)ゆえに\(f\left(z\left( t\right) \right) \)は\(\left[ a,b\right] \)上において連続です。また、\(z\left( t\right) \)は\(\left[ a,b\right] \)上において\(C^{1}\)級であるため\(\frac{dz\left( t\right) }{dt}\)は\(\left[ a,b\right] \)上において連続です。さらに、連続な複素関数どうしの積は連続であるため\(f\left( z\left(t\right) \right) \cdot \frac{dz\left( t\right) }{dt}\)は\(\left[ a,b\right] \)上において連続です。区間上で連続な複素関数の定積分は複素数として定まるため、この場合、\(f\left(z\left( t\right) \right) \cdot \frac{dz\left( t\right) }{dt}\)の\(\left[a,b\right] \)上における定積分\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}\left[f\left( z\left( t\right) \right) \cdot \frac{dz\left( t\right) }{dt}\right]dt &=&\int_{a}^{b}\left[ u\left( x\left( t\right) +iy\left( t\right)
\right) \cdot \frac{dx\left( t\right) }{dt}-v\left( x\left( t\right)
+iy\left( t\right) \right) \cdot \frac{dy\left( t\right) }{dt}\right] dt \\
&&+i\int_{a}^{b}\left[ u\left( x\left( t\right) +iy\left( t\right) \right)
\cdot \frac{dy\left( t\right) }{dt}+v\left( x\left( t\right) +iy\left(
t\right) \right) \cdot \frac{dx\left( t\right) }{dt}\right] dt
\end{eqnarray*}が1つの複素数として定まることが保証されます。このような事情を踏まえた上で、\(f\)の\(C\)上における複素積分（complex integral of \(f\) on \(C\)）を、\begin{equation*}\int_{C}f\left( z\right) dz=\int_{a}^{b}\left[ f\left( z\left( t\right)
\right) \cdot \frac{dz\left( t\right) }{dt}\right] dt
\end{equation*}と定義します。
改めて整理すると、\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された実変数の複素関数\begin{equation*}z:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}から定義された滑らかな曲線\begin{equation*}
C=\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{equation*}および\(C\)上に定義された連続な複素関数\begin{equation*}f:\mathbb{C} \supset C\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が与えられたとき、\(f\)の\(C\)上における複素積分は、\begin{equation*}\int_{C}f\left( z\right) dz=\int_{a}^{b}\left[ f\left( z\left( t\right)
\right) \cdot \frac{dz\left( t\right) }{dt}\right] dt
\end{equation*}と定義されます。これを\(f\)の\(C\)に沿った複素線積分（contour integral）とも呼びます。
特に、複素関数\(f\)の積分路である滑らかな曲線\(C\)が閉曲線である場合には、すなわち、\begin{equation*}z\left( a\right) =z\left( b\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)の\(C\)に沿った複素線積分を周回積分（contour integral）と呼び、\begin{equation*}\oint_{C}f\left( z\right) dz
\end{equation*}と表記する場合もあります。
&=&\cos \left( t\right) +i\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}を定めるものとします。つまり、\(z\)の実部と虚部は、\begin{eqnarray*}x\left( t\right) &=&\cos \left( t\right) \\
y\left( t\right) &=&\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}です。\(z\)は\(\left[ 0,2\pi \right] \)上で微分可能であり、導関数\(\frac{dz}{dt}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\pi \right] \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(t\in \left[ 0,2\pi \right] \)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{dz\left( t\right) }{dt} &=&\frac{dx\left( t\right) }{dt}+i\frac{dy\left( t\right) }{dt} \\
&=&\frac{d}{dt}\cos \left( t\right) +i\frac{d}{dt}\sin \left( t\right) \\
&=&-\sin \left( t\right) +i\cos \left( t\right)
\end{eqnarray*}を定めます。\(\frac{dz}{dt}\)は\(\left[ 0,2\pi \right] \)上で連続であるとともに、任意の\(t\in \left( 0,2\pi \right) \)において、\begin{equation*}-\sin \left( t\right) +i\cos \left( t\right) \not=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{dz\left( t\right) }{dt}\not=0
\end{equation*}が成り立つため、\(z\)は\(\left[ 0,2\pi \right] \)上で滑らかです。したがって、\(z\)から定義される曲線\begin{eqnarray*}C &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ 0,2\pi \right] \right\} \\
&=&\left\{ e^{it}\in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ 0,2\pi \right] \right\} \\
&=&\left\{ \cos \left( t\right) +i\sin \left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ 0,2\pi \right] \right\}
\end{eqnarray*}は滑らかです。ちなみに、これは複素平面上の原点を中心とする単位円です。複素関数\(f:\mathbb{C} \supset C\rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in C\)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\frac{1}{z}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(C\)上で連続であるため、\(f\)の\(C\)に沿った複素線積分は、\begin{eqnarray*}\int_{C}f\left( z\right) dz &=&\int_{0}^{2\pi }\left[ f\left( z\left(
t\right) \right) \cdot \frac{dz\left( t\right) }{dt}\right] dt\quad \because
\text{線積分の定義} \\
&=&\int_{0}^{2\pi }\left[ \frac{1}{e^{it}}\cdot ie^{it}\right] dt\quad
\because f\text{および}z\text{の定義} \\
&=&i\int_{0}^{2\pi }1dt \\
&=&i\left[ t\right] _{0}^{2\pi } \\
&=&i2\pi \\
&=&2\pi i
\end{eqnarray*}となります。ちなみに、\(C\)は円であるため閉曲線であり、したがって、先の結果を、\begin{equation*}\oint_{C}f\left( z\right) dz=2\pi i
\end{equation*}と表記することもできます。
区分的に滑らかな曲線上に定義された複素関数の積分
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された実変数の複素関数\begin{equation*}z:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}から定義された曲線\begin{equation*}
C=\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{equation*}および\(C\)上に定義された連続な複素関数\begin{equation*}f:\mathbb{C} \supset C\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が与えられた状況を想定します。\(C\)が\(\left[ a,b\right]\)上において滑らかでない場合でも、\(C\)が\(\left[a,b\right] \)上において区分的に滑らかな状況は起こり得ます。つまり、区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{ t_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を上手く選ぶことにより、区間\(\left[ a,b\right] \)の部分集合である有限\(n\)個の小区間\begin{eqnarray*}I_{1} &=&\left[ t_{0},t_{1}\right] \\
&&\vdots \\
I_{n} &=&\left[ t_{n-1},t_{n}\right]
\end{eqnarray*}のそれぞれにおいて\(z\)は滑らかになるということです。この場合、以下の値\begin{gather*}\int_{t_{0}}^{t_{1}}\left[ f\left( z\left( t\right) \right) \cdot \frac{dz\left( t\right) }{dt}\right] dt \\
\vdots \\
\int_{t_{n-1}}^{t_{n}}\left[ f\left( z\left( t\right) \right) \cdot \frac{dz\left( t\right) }{dt}\right] dt
\end{gather*}がいずれも複素数として定まることが保証されるため、\(f\)の\(C\)に沿った線積分を、これらの値の総和\begin{eqnarray*}\int_{C}f\left( z\right) dz &=&\int_{t_{0}}^{t_{1}}\left[ f\left( z\left(
t\right) \right) \cdot \frac{dz\left( t\right) }{dt}\right] dt+\cdots
+\int_{t_{n-1}}^{t_{n}}\left[ f\left( z\left( t\right) \right) \cdot \frac{dz\left( t\right) }{dt}\right] dt \\
&=&\sum_{k=0}^{n-1}\int_{t_{k}}^{t_{k+1}}\left[ f\left( z\left( t\right)
\right) \cdot \frac{dz\left( t\right) }{dt}\right]dt
\end{eqnarray*}として定義します。
\left( t\right) \right] \end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(z\)の実部と虚部は、\begin{eqnarray*}x\left( t\right) &=&t-\sin \left( t\right) \\
y\left( t\right) &=&1-\cos \left( t\right)
\end{eqnarray*}です。\(z\)は\(\left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)上で微分可能であり、導関数\(\frac{dz}{dt}:\mathbb{R} \supset \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{dz\left( t\right) }{dt} &=&\frac{dx\left( t\right) }{dt}+i\frac{dy\left( t\right) }{dt} \\
&=&\frac{d}{dt}\left[ t-\sin \left( t\right) \right] +i\frac{d}{dt}\left[
1-\cos \left( t\right) \right] \\
&=&1-\cos \left( t\right) +i\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}を定めます。\(\frac{dz}{dt}\)は\(\left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)上で連続である一方で、点\(0\in \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \)に注目したとき、\begin{eqnarray*}\frac{dz\left( 0\right) }{dt} &=&1-\cos \left( 0\right) +i\sin \left(
0\right) \\
&=&1-1+i0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、\(z\)は\(\left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)上で滑らかではありません。そこで、区間\(\left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)の分割として、\begin{equation*}P=\left\{ -\frac{\pi }{2},0,\frac{\pi }{2}\right\}
\end{equation*}に注目した場合、そこから2つの小区間\begin{eqnarray*}
I_{1} &=&\left[ -\frac{\pi }{2},0\right] \\
I_{2} &=&\left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \end{eqnarray*}が得られます。複素関数\(z\)はそれぞれの小区間上において滑らかです。したがって、\(z\)から定義される曲線\begin{eqnarray*}C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\} \\
&=&\left\{ \left[ t-\sin \left( t\right) \right] +i\left[ 1-\cos \left(
t\right) \right] \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\}
\end{eqnarray*}は区分的に滑らかです。ちなみに、これは複素平面上の点\(i\)を中心とする半径\(1\)の円が生成するサイクロイド上に存在する弧です。複素関数\(f:\mathbb{C} \supset C\rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in C\)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\frac{1}{z}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(C\)上で連続であるため、\(f\)の\(C\)に沿った複素線積分は、\begin{eqnarray*}\int_{C}f\left( z\right) dz &=&\int_{-\frac{\pi }{2}}^{0}\left[ f\left(
z\left( t\right) \right) \cdot \frac{dz\left( t\right) }{dt}\right] dt+\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\left[ f\left( z\left( t\right) \right) \cdot
\frac{dz\left( t\right) }{dt}\right] dt\quad \because \text{線積分の定義} \\
&=&\int_{-\frac{\pi }{2}}^{0}\left[ \frac{1}{e^{it}}\cdot ie^{it}\right] dt+\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\left[ \frac{1}{e^{it}}\cdot ie^{it}\right] dt\quad \because f\text{および}z\text{の定義} \\
&=&i\int_{-\frac{\pi }{2}}^{0}1dt+i\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}1dt \\
&=&i\left[ t\right] _{-\frac{\pi }{2}}^{0}+i\left[ t\right] _{0}^{\frac{\pi
}{2}} \\
&=&i\frac{\pi }{2}+i\frac{\pi }{2} \\
&=&\pi i
\end{eqnarray*}となります。
積分路の向き
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された実変数の複素関数\begin{equation*}z:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}から定義された滑らかな曲線\begin{equation*}
C=\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{equation*}および\(C\)上に定義された連続な複素関数\begin{equation*}f:\mathbb{C} \supset C\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が与えられた状況を想定します。
曲線\(C\)上の点が正の向きで移動する状況を想定する場合には、すなわち、\(t\)が点\(a\)から点\(b\)へ移動する状況を想定する場合、\(f\)の\(C\)に沿った複素線積分は、\begin{equation*}\int_{C}f\left( z\right) dz
\end{equation*}となります。一方、曲線\(C\)上の点が負の向きで移動する状況を想定する場合には、すなわち、\(t\)が点\(b\)から点\(a\)へ移動する状況を想定する場合には、\(f\)の\(C\)に沿った複素線積分は、\(f\)の\(-C\)に沿った複素線積分になります。ただし、\(-C\)は\(C\)の逆向きの曲線であり、\begin{equation*}-C=\left\{ z\left( a+b-t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{equation*}となります。ただし、\begin{eqnarray*}
\int_{-C}f\left( z\right) dz &=&\int_{a}^{b}\left[ f\left( z\left(
a+b-t\right) \right) \cdot \frac{dz\left( a+b-t\right) }{dt}\right] dt\quad
\because \text{複素積分の定義} \\
&=&\int_{a}^{b}\left[ f\left( z\left( a+b-t\right) \right) \cdot \left.
\frac{dz\left( s\right) }{ds}\right\vert _{s=a+b-t}\cdot \frac{d\left(
a+b-t\right) }{dt}\right] dt \\
&=&\int_{a}^{b}\left[ f\left( z\left( a+b-t\right) \right) \cdot \left.
\frac{dz\left( s\right) }{ds}\right\vert _{s=a+b-t}\cdot \left( -1\right) \right] dt \\
&=&-\int_{a}^{b}\left[ f\left( z\left( a+b-t\right) \right) \cdot \left.
\frac{dz\left( s\right) }{ds}\right\vert _{s=a+b-t}\right] dt \\
&=&-\int_{a}^{b}\left[ f\left( z\left( s\right) \right) \cdot \frac{dz\left(
s\right) }{ds}\right] ds \\
&=&-\int_{C}f\left( z\right) dz\quad \because \text{複素積分の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{-C}f\left( z\right) dz=-\int_{C}f\left( z\right) dz
\end{equation*}となります。つまり、積分路の向きを逆にすると、積分の値の符号が変化します。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。\(z\)から定義される曲線を、\begin{eqnarray*}C &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -1,4\right] \right\} \\
&=&\left\{ 3t+it^{2}\in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -1,4\right] \right\}
\end{eqnarray*}で表記します。複素関数\(f:\mathbb{C} \supset C\rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in C\)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\overline{z}
\end{equation*}を定めるものとします。\(C\)が\(\left[ -1,4\right] \)上で滑らかな曲線であること、\(f\)が\(C\)上で連続であることを確認した上で、以下の線積分\begin{equation*}\int_{C}f\left( z\right) dz
\end{equation*}を評価してください。
\begin{array}{cc}
1-t & \left( if\ t\in \left[ 0,1\right] \right) \\
i\left( t-1\right) & \left( if\ t\in \left[ 1,2\right] \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(z\)から定義される曲線を、\begin{equation*}C=\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ 0,2\right] \right\}
\end{equation*}で表記します。複素関数\(f:\mathbb{C} \supset C\rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(z\in C\)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\overline{z}
\end{equation*}を定めるものとします。\(C\)が\(\left[ 0,2\right] \)上で区分的に滑らかな曲線であること、\(f\)が\(C\)上で連続であることを確認した上で、以下の線積分\begin{equation*}\int_{C}f\left( z\right) dz
\end{equation*}を評価してください。
C=\left\{ 2t+\left( 4t-1\right) i\in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ 1,3\right] \right\}
\end{equation*}に沿った複素線積分\begin{equation*}
\int_{C}\left( z+3\right) dz
\end{equation*}の値を求めてください。
C=\left\{ -t+i\left( t^{2}+2\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ 0,2\right] \right\}
\end{equation*}に沿った複素線積分\begin{equation*}
\int_{C}\left( 2\overline{z}-z\right) dz
\end{equation*}の値を求めてください。
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