WIIS

複素関数の積分

複素平面上の曲線(積分路)

目次

Mailで保存
Xで共有

複素平面上の曲線

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された実変数の複素関数\begin{equation*}z:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が与えられているものとします。\(z\)の実部と虚部に相当する実関数をそれぞれ、\begin{eqnarray*}x &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
y &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}で表記します。つまり、以下の関係\begin{equation*}
\forall t\in \left[ a,b\right] :z\left( t\right) =x\left( t\right) +iy\left(
t\right)
\end{equation*}が成り立つということです。\(x\)が\(z\)の実部であり、\(y\)が\(z\)の虚部です。

以上のような複素関数\(z\)が与えられれば、複素平面\(\mathbb{C} \)上に存在する曲線(curve in \(\mathbb{C} \))が、\begin{eqnarray*}C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\} \\
&=&\left\{ x\left( t\right) +iy\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{eqnarray*}として得られます。この曲線\(C\left( z\right) \)を媒介変数表示(parametrization)すると、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=x\left( t\right) \\
y=y\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ a,b\right] \right)
\end{equation*}となります。

複素関数\(z:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \)が定義域である区間\(\left[ a,b\right] \)の左側の端点\(a\)に対して定める値\begin{equation*}z\left( a\right) =x\left( a\right) +iy\left( a\right)
\end{equation*}を曲線\(C\left( z\right) \)の始点(initial point)と呼びます。始点をベクトル表示すると、\begin{equation*}z_{0}=\left( x\left( a\right) ,y\left( a\right) \right)
\end{equation*}となります。

複素関数\(z:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \)が定義域である区間\(\left[ a,b\right] \)の右側の端点\(b\)に対して定める値\begin{equation*}z\left( b\right) =x\left( b\right) +iy\left( b\right)
\end{equation*}を曲線\(C\left( z\right) \)の終点(terminal point)と呼びます。終点をベクトル表示すると、\begin{equation*}z_{1}=\left( x\left( b\right) ,y\left( b\right) \right)
\end{equation*}となります。

例(複素平面上の曲線)
複素関数\(z:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\pi \right] \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(t\in \left[ 0,2\pi \right] \)に対して、\begin{eqnarray*}z\left( t\right) &=&e^{it} \\
&=&\cos \left( t\right) +i\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}を定めるものとします。つまり、\(z\)の実部と虚部は、\begin{eqnarray*}x\left( t\right) &=&\cos \left( t\right) \\
y\left( t\right) &=&\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}です。この複素関数\(z\)から定義される曲線は、\begin{eqnarray*}C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ 0,2\pi \right] \right\} \\
&=&\left\{ e^{it}\in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ 0,2\pi \right] \right\} \\
&=&\left\{ \cos \left( t\right) +i\sin \left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ 0,2\pi \right] \right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは原点を中心とする単位円です。この曲線の始点は、\begin{eqnarray*}
z\left( 0\right) &=&\cos \left( 0\right) +i\sin \left( 0\right) \\
&=&1+i0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}である一方で、終点は、\begin{eqnarray*}
z\left( 2\pi \right) &=&\cos \left( 2\pi \right) +i\sin \left( 2\pi \right)
\\
&=&1+i0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}です。つまり、この曲線の始点と終点は一致します。また、この曲線を媒介変数表示すると、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x=\cos \left( t\right) \\
y=\sin \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ 0,2\pi \right] \right)
\end{equation*}となります。

例(単一直線)
複素関数\(z:\mathbb{R} \supset \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)に対して、\begin{equation*}z\left( t\right) =\left[ t-\sin \left( t\right) \right] +i\left[ 1-\cos
\left( t\right) \right] \end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(z\)の実部と虚部は、\begin{eqnarray*}x\left( t\right) &=&t-\sin \left( t\right) \\
y\left( t\right) &=&1-\cos \left( t\right)
\end{eqnarray*}です。この複素関数\(z\)から定義される曲線は、\begin{eqnarray*}C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\} \\
&=&\left\{ \left[ t-\sin \left( t\right) \right] +i\left[ 1-\cos \left(
t\right) \right] \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは複素平面上の点\(i\)を中心とする半径\(1\)の円が生成するサイクロイド上に存在する弧です。この曲線の始点は、\begin{eqnarray*}z\left( -\frac{\pi }{2}\right) &=&\left[ -\frac{\pi }{2}-\sin \left( -\frac{\pi }{2}\right) \right] +i\left[ 1-\cos \left( -\frac{\pi }{2}\right) \right] \\
&=&1-\frac{1}{2}\pi +i
\end{eqnarray*}である一方で、終点は、\begin{eqnarray*}
z\left( \frac{\pi }{2}\right) &=&\left[ \frac{\pi }{2}-\sin \left( \frac{\pi }{2}\right) \right] +i\left[ 1-\cos \left( \frac{\pi }{2}\right) \right] \\
&=&\frac{1}{2}\pi -1+i
\end{eqnarray*}です。つまり、この曲線の始点と終点は一致しません。また、この曲線を媒介変数表示すると、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x=t-\sin \left( t\right) \\
y=1-\cos \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right)
\end{equation*}となります。

 

単一曲線(ジョルダン曲線)

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された実変数の複素関数\begin{equation*}z:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が与えられているものとします。\(z\)の実部と虚部に相当する実関数をそれぞれ、\begin{eqnarray*}x &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
y &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}で表記します。つまり、以下の関係\begin{equation*}
\forall t\in \left[ a,b\right] :z\left( t\right) =x\left( t\right) +iy\left(
t\right)
\end{equation*}が成り立つということです。\(x\)が\(z\)の実部であり、\(y\)が\(z\)の虚部です。

複素関数\(z\)が区間\(\left[ a,b\right]\)の内部\(\left( a,b\right) \)において単射である場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall t,t^{\prime }\in \left( a,b\right) :\left[ t\not=t^{\prime
}\Rightarrow z\left( t\right) \not=z\left( t^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つ場合には、\(z\)から定義される曲線\begin{eqnarray*}C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\} \\
&=&\left\{ x\left( t\right) +iy\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{eqnarray*}を単一曲線(simple curve)やジョルダン曲線(Jordan curve)などと呼びます。つまり、単一曲線とは、端点を除いて交わる箇所が存在しない曲線です。単一曲線の定義において、端点が交わる状況は排除されていません。つまり、\begin{equation*}
z\left( a\right) =z\left( b\right)
\end{equation*}が成り立つ場合においても、他の点において交わる箇所が存在しなければそれは単一曲線です。

例(単一曲線)
複素関数\(z:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\pi \right] \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(t\in \left[ 0,2\pi \right] \)に対して、\begin{eqnarray*}z\left( t\right) &=&e^{it} \\
&=&\cos \left( t\right) +i\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}を定めるものとします。つまり、\(z\)の実部と虚部は、\begin{eqnarray*}x\left( t\right) &=&\cos \left( t\right) \\
y\left( t\right) &=&\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}です。\(z\)から定義される曲線\begin{eqnarray*}C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\} \\
&=&\left\{ \left[ t-\sin \left( t\right) \right] +i\left[ 1-\cos \left(
t\right) \right] \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\}
\end{eqnarray*}は円であるため、これは単一曲線です。

例(単一直線)
複素関数\(z:\mathbb{R} \supset \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)に対して、\begin{equation*}z\left( t\right) =\left[ t-\sin \left( t\right) \right] +i\left[ 1-\cos
\left( t\right) \right] \end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(z\)の実部と虚部は、\begin{eqnarray*}x\left( t\right) &=&t-\sin \left( t\right) \\
y\left( t\right) &=&1-\cos \left( t\right)
\end{eqnarray*}です。\(z\)から定義される曲線\begin{eqnarray*}C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\} \\
&=&\left\{ \left[ t-\sin \left( t\right) \right] +i\left[ 1-\cos \left(
t\right) \right] \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\}
\end{eqnarray*}はサイクロイドであるため、これは単一曲線です。

 

閉曲線

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された実変数の複素関数\begin{equation*}z:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が与えられているものとします。\(z\)の実部と虚部に相当する実関数をそれぞれ、\begin{eqnarray*}x &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
y &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}で表記します。つまり、以下の関係\begin{equation*}
\forall t\in \left[ a,b\right] :z\left( t\right) =x\left( t\right) +iy\left(
t\right)
\end{equation*}が成り立つということです。\(x\)が\(z\)の実部であり、\(y\)が\(z\)の虚部です。

複素関数\(z\)から定義される曲線\begin{eqnarray*}C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\} \\
&=&\left\{ x\left( t\right) +iy\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{eqnarray*}の始点と終点が一致する場合には、すなわち、\begin{equation*}
z\left( a\right) =z\left( b\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(C\left( z\right) \)を閉曲線(closed curve)と呼びます。

例(閉曲線)
複素関数\(z:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\pi \right] \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(t\in \left[ 0,2\pi \right] \)に対して、\begin{eqnarray*}z\left( t\right) &=&e^{it} \\
&=&\cos \left( t\right) +i\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}を定めるものとします。つまり、\(z\)の実部と虚部は、\begin{eqnarray*}x\left( t\right) &=&\cos \left( t\right) \\
y\left( t\right) &=&\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}です。\begin{equation*}
z\left( 0\right) =z\left( 2\pi \right)
\end{equation*}が成り立つため、\(z\)から定義される曲線\begin{eqnarray*}C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\} \\
&=&\left\{ \left[ t-\sin \left( t\right) \right] +i\left[ 1-\cos \left(
t\right) \right] \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\}
\end{eqnarray*}は閉曲線です。

例(閉曲線ではない曲線)
複素関数\(z:\mathbb{R} \supset \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)に対して、\begin{equation*}z\left( t\right) =\left[ t-\sin \left( t\right) \right] +i\left[ 1-\cos
\left( t\right) \right] \end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(z\)の実部と虚部は、\begin{eqnarray*}x\left( t\right) &=&t-\sin \left( t\right) \\
y\left( t\right) &=&1-\cos \left( t\right)
\end{eqnarray*}です。\begin{equation*}
z\left( -\frac{\pi }{2}\right) \not=z\left( \frac{\pi }{2}\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(z\)から定義される曲線\begin{eqnarray*}C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\} \\
&=&\left\{ \left[ t-\sin \left( t\right) \right] +i\left[ 1-\cos \left(
t\right) \right] \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\}
\end{eqnarray*}は閉曲線ではありません。

 

単一閉曲線

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された実変数の複素関数\begin{equation*}z:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が与えられているものとします。\(z\)の実部と虚部に相当する実関数をそれぞれ、\begin{eqnarray*}x &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
y &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}で表記します。つまり、以下の関係\begin{equation*}
\forall t\in \left[ a,b\right] :z\left( t\right) =x\left( t\right) +iy\left(
t\right)
\end{equation*}が成り立つということです。\(x\)が\(z\)の実部であり、\(y\)が\(z\)の虚部です。

複素関数\(z\)から定義される曲線\begin{eqnarray*}C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\} \\
&=&\left\{ x\left( t\right) +iy\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{eqnarray*}が単一曲線かつ閉曲線である場合には、すなわち、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall t,t^{\prime }\in \left( a,b\right) :\left[
t\not=t^{\prime }\Rightarrow z\left( t\right) \not=z\left( t^{\prime
}\right) \right] \\
&&\left( b\right) \ z\left( a\right) =z\left( b\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(C\left( z\right) \)を単一閉曲線(simple closed curve)と呼びます。

例(単一閉曲線)
複素関数\(z:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\pi \right] \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(t\in \left[ 0,2\pi \right] \)に対して、\begin{eqnarray*}z\left( t\right) &=&e^{it} \\
&=&\cos \left( t\right) +i\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}を定めるものとします。つまり、\(z\)の実部と虚部は、\begin{eqnarray*}x\left( t\right) &=&\cos \left( t\right) \\
y\left( t\right) &=&\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}です。\(z\)から定義される曲線\begin{eqnarray*}C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\} \\
&=&\left\{ \left[ t-\sin \left( t\right) \right] +i\left[ 1-\cos \left(
t\right) \right] \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\}
\end{eqnarray*}は単一曲線かつ閉曲線であるため、これは単一閉曲線です。

例(単一閉曲線ではない曲線)
複素関数\(z:\mathbb{R} \supset \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)に対して、\begin{equation*}z\left( t\right) =\left[ t-\sin \left( t\right) \right] +i\left[ 1-\cos
\left( t\right) \right] \end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(z\)の実部と虚部は、\begin{eqnarray*}x\left( t\right) &=&t-\sin \left( t\right) \\
y\left( t\right) &=&1-\cos \left( t\right)
\end{eqnarray*}です。\(z\)から定義される曲線\begin{eqnarray*}C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\} \\
&=&\left\{ \left[ t-\sin \left( t\right) \right] +i\left[ 1-\cos \left(
t\right) \right] \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\}
\end{eqnarray*}は単一曲線である一方で閉曲線ではないため、これは単一閉曲線ではありません。

 

曲線の微分

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された実変数の複素関数\begin{equation*}z:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が与えられているものとします。\(z\)の実部と虚部に相当する実関数をそれぞれ、\begin{eqnarray*}x &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
y &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}で表記します。つまり、以下の関係\begin{equation*}
\forall t\in \left[ a,b\right] :z\left( t\right) =x\left( t\right) +iy\left(
t\right)
\end{equation*}が成り立つということです。\(x\)が\(z\)の実部であり、\(y\)が\(z\)の虚部です。

複素関数\(z\)の変数\(t\)を点\(c\in \left( a,b\right) \)から\(h\not=0\)だけ変化させた場合の平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{z\left( c+h\right) -z\left( c\right) }{h} &=&\frac{\left[ x\left(
c+h\right) +iy\left( c+h\right) \right] -\left[ x\left( c\right) +iy\left(
c\right) \right] }{h} \\
&=&\frac{x\left( c+h\right) -x\left( c\right) }{h}+i\frac{y\left( c+h\right)
-y\left( c\right) }{h}
\end{eqnarray*}となるため、\(h\rightarrow 0\)の場合の極限が複素数として定まる場合には、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{z\left( c+h\right) -z\left( c\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left[ \frac{x\left( c+h\right) -x\left( c\right) }{h}+i\frac{y\left( c+h\right) -y\left( c\right) }{h}\right] \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{x\left( c+h\right) -x\left( c\right) }{h}+i\lim_{h\rightarrow 0}\frac{y\left( c+h\right) -y\left( c\right) }{h} \\
&=&x^{\prime }\left( x\right) +iy^{\prime }\left( c\right)
\end{eqnarray*}となります。そこで、複素関数\(z\)の点\(c\)における微分係数を、\begin{equation*}z^{\prime }\left( c\right) =x^{\prime }\left( c\right) +iy^{\prime }\left(
c\right)
\end{equation*}と定義します。同じことを、\begin{equation*}
\frac{dz\left( c\right) }{dt}=\frac{dx\left( c\right) }{dt}+i\frac{dy\left(
c\right) }{dt}
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
\left. \frac{dz\left( t\right) }{dt}\right\vert _{t=c}=\left. \frac{dx\left(
t\right) }{dt}\right\vert _{t=c}+i\left. \frac{dy\left( t\right) }{dt}\right\vert _{t=c}
\end{equation*}などと表現することもできます。

同様に、複素関数\(z:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \)の点\(c\in \left[ a,b\right) \)における右側微分係数を、\begin{equation*}z^{\prime }\left( c+0\right) =x^{\prime }\left( c+0\right) +iy^{\prime
}\left( c+0\right)
\end{equation*}と定義します。同じことを、\begin{equation*}
\frac{dz\left( c+0\right) }{dt}=\frac{dx\left( c+0\right) }{dt}+i\frac{dy\left( c+0\right) }{dt}
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
\left. \frac{dz\left( t+0\right) }{dt}\right\vert _{t=c}=\left. \frac{dx\left( t+0\right) }{dt}\right\vert _{t=c}+i\left. \frac{dy\left(
t+0\right) }{dt}\right\vert _{t=c}
\end{equation*}などと表現することもできます。

同様に、複素関数\(z:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \)の点\(c\in \left( a,b\right] \)における左側微分係数を、\begin{equation*}z^{\prime }\left( c-0\right) =x^{\prime }\left( c-0\right) +iy^{\prime
}\left( c-0\right)
\end{equation*}と定義します。同じことを、\begin{equation*}
\frac{dz\left( c-0\right) }{dt}=\frac{dx\left( c-0\right) }{dt}+i\frac{dy\left( c-0\right) }{dt}
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
\left. \frac{dz\left( t-0\right) }{dt}\right\vert _{t=c}=\left. \frac{dx\left( t-0\right) }{dt}\right\vert _{t=c}+i\left. \frac{dy\left(
t-0\right) }{dt}\right\vert _{t=c}
\end{equation*}などと表現することもできます。

例(曲線の微分)
複素関数\(z:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\pi \right] \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(t\in \left[ 0,2\pi \right] \)に対して、\begin{eqnarray*}z\left( t\right) &=&e^{it} \\
&=&\cos \left( t\right) +i\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}を定めるものとします。つまり、\(z\)の実部と虚部は、\begin{eqnarray*}x\left( t\right) &=&\cos \left( t\right) \\
y\left( t\right) &=&\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}です。\(z\)は\(\left[ 0,2\pi \right] \)上で微分可能であり、導関数\(z^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\pi \right] \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(t\in \left[ 0,2\pi \right] \)に対して、\begin{eqnarray*}z^{\prime }\left( t\right) &=&x^{\prime }\left( t\right) +iy^{\prime
}\left( y\right) \\
&=&\frac{d}{dt}\cos \left( t\right) +i\frac{d}{dt}\sin \left( t\right) \\
&=&-\sin \left( t\right) +i\cos \left( t\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

例(曲線の微分)
複素関数\(z:\mathbb{R} \supset \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)に対して、\begin{equation*}z\left( t\right) =\left[ t-\sin \left( t\right) \right] +i\left[ 1-\cos
\left( t\right) \right] \end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(z\)の実部と虚部は、\begin{eqnarray*}x\left( t\right) &=&t-\sin \left( t\right) \\
y\left( t\right) &=&1-\cos \left( t\right)
\end{eqnarray*}です。\(z\)は\(\left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)上で微分可能であり、導関数\(z^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)に対して、\begin{eqnarray*}z^{\prime }\left( t\right) &=&x^{\prime }\left( t\right) +iy^{\prime
}\left( y\right) \\
&=&\frac{d}{dt}\left[ t-\sin \left( t\right) \right] +i\frac{d}{dt}\left[
1-\cos \left( t\right) \right] \\
&=&1-\cos \left( t\right) +i\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

 

滑らかな曲線

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された実変数の複素関数\begin{equation*}z:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が与えられているものとします。\(z\)の実部と虚部に相当する実関数をそれぞれ、\begin{eqnarray*}x &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
y &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}で表記します。つまり、以下の関係\begin{equation*}
\forall t\in \left[ a,b\right] :z\left( t\right) =x\left( t\right) +iy\left(
t\right)
\end{equation*}が成り立つということです。\(x\)が\(z\)の実部であり、\(y\)が\(z\)の虚部です。その上で、\(z\)が以下の2つの条件を満たす状況を想定します。

1つ目の条件は、複素関数\(z\)が区間\(\left[ a,b\right] \)上において\(C^{1}\)級であるということです。つまり、\(z\)は\(\left[ a,b\right] \)上において微分可能であるとともに、その導関数\(\frac{dz}{dt}\)が\(\left[ a,b\right] \)上において連続であるということです。ただし、区間の左側の端点\(a\)における微分可能性として右側微分可能性を採用し、連続性として右側連続性を採用します。また、区間の右側の端点\(b\)における微分可能性として左側微分可能性を採用し、連続性として左側連続性を採用します。つまり、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall c\in \left( a,b\right) :\lim_{t\rightarrow c}\frac{dz\left( t\right) }{dt}=\frac{dz\left( c\right) }{dt}\in \mathbb{C} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{t\rightarrow a+}\frac{dz\left( t+0\right) }{dt}=\frac{dz\left( a\right) }{dt}\in \mathbb{C} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{t\rightarrow b-}\frac{dz\left( t-0\right) }{dt}=\frac{dz\left( b\right) }{dt}\in \mathbb{C} \end{eqnarray*}が満たされる状況を想定します。ただし、\(\frac{dz\left( t\right) }{dt}\)は導関数、\(\frac{dz\left( t+0\right) }{dt}\)は右側導関数、\(\frac{dz\left( t-0\right) }{dt}\)は左側導関数を表す記号です。

2つ目の条件は、区間\(\left[ a,b\right] \)の内部\(\left( a,b\right) \)において複素関数\(z\)の微分係数がゼロにはならないこと、すなわち、\begin{equation*}\forall t\in \left( a,b\right) :\frac{dz\left( t\right) }{dt}\not=0
\end{equation*}が成り立つということです。

複素関数\(z\)が以上の2つの条件を満たす場合、\(z\)は\(\left[ a,b\right] \)上において滑らかである(smooth)と言います。また、区間\(\left[ a,b\right] \)上において滑らかな複素関数\(z\)から定義される曲線\begin{eqnarray*}C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\} \\
&=&\left\{ x\left( t\right) +iy\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{eqnarray*}を滑らかな曲線(smooth curve)と呼びます。

例(滑らかな曲線)
複素関数\(z:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\pi \right] \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(t\in \left[ 0,2\pi \right] \)に対して、\begin{eqnarray*}z\left( t\right) &=&e^{it} \\
&=&\cos \left( t\right) +i\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}を定めるものとします。つまり、\(z\)の実部と虚部は、\begin{eqnarray*}x\left( t\right) &=&\cos \left( t\right) \\
y\left( t\right) &=&\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}です。\(z\)は\(\left[ 0,2\pi \right] \)上で微分可能であり、導関数\(z^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\pi \right] \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(t\in \left[ 0,2\pi \right] \)に対して、\begin{eqnarray*}z^{\prime }\left( t\right) &=&x^{\prime }\left( t\right) +iy^{\prime
}\left( y\right) \\
&=&\frac{d}{dt}\cos \left( t\right) +i\frac{d}{dt}\sin \left( t\right) \\
&=&-\sin \left( t\right) +i\cos \left( t\right)
\end{eqnarray*}を定めます。\(z^{\prime }\)は\(\left[0,2\pi \right] \)上で連続であるとともに、任意の\(t\in \left(0,2\pi \right) \)において、\begin{equation*}-\sin \left( t\right) +i\cos \left( t\right) \not=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
z^{\prime }\left( t\right) \not=0
\end{equation*}が成り立つため、\(z\)は\(\left[ 0,2\pi \right] \)上で滑らかです。したがって、\(z\)から定義される曲線\begin{eqnarray*}C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ 0,2\pi \right] \right\} \\
&=&\left\{ e^{it}\in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ 0,2\pi \right] \right\} \\
&=&\left\{ \cos \left( t\right) +i\sin \left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ 0,2\pi \right] \right\}
\end{eqnarray*}は滑らかです。

例(滑らかではない曲線)
複素関数\(z:\mathbb{R} \supset \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)に対して、\begin{equation*}z\left( t\right) =\left[ t-\sin \left( t\right) \right] +i\left[ 1-\cos
\left( t\right) \right] \end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(z\)の実部と虚部は、\begin{eqnarray*}x\left( t\right) &=&t-\sin \left( t\right) \\
y\left( t\right) &=&1-\cos \left( t\right)
\end{eqnarray*}です。\(z\)は\(\left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)上で微分可能であり、導関数\(z^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)に対して、\begin{eqnarray*}z^{\prime }\left( t\right) &=&x^{\prime }\left( t\right) +iy^{\prime
}\left( y\right) \\
&=&\frac{d}{dt}\left[ t-\sin \left( t\right) \right] +i\frac{d}{dt}\left[
1-\cos \left( t\right) \right] \\
&=&1-\cos \left( t\right) +i\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}を定めます。\(z^{\prime }\)は\(\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)上で連続である一方で、点\(0\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \)に注目したとき、\begin{eqnarray*}z^{\prime }\left( 0\right) &=&1-\cos \left( 0\right) +i\sin \left( 0\right)
\\
&=&1-1+i0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、\(z\)は\(\left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)上で滑らかではありません。したがって、\(z\)から定義される曲線\begin{eqnarray*}C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\} \\
&=&\left\{ \left[ t-\sin \left( t\right) \right] +i\left[ 1-\cos \left(
t\right) \right] \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\}
\end{eqnarray*}は滑らかではありません。

 

区分的に滑らかな曲線(積分経路)

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された実変数の複素関数\begin{equation*}z:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が与えられているものとします。\(z\)の実部と虚部に相当する実関数をそれぞれ、\begin{eqnarray*}x &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
y &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}で表記します。つまり、以下の関係\begin{equation*}
\forall t\in \left[ a,b\right] :z\left( t\right) =x\left( t\right) +iy\left(
t\right)
\end{equation*}が成り立つということです。\(x\)が\(z\)の実部であり、\(y\)が\(z\)の虚部です。

複素関数\(z\)が区間\(\left[ a,b\right]\)上で滑らかではない場合においても、区間\(\left[ a,b\right] \)を複数の小区間へ分割し、それぞれの小区間において\(z\)が滑らかである場合には、\(z\)は区間\(\left[ a,b\right] \)上において区分的に滑らか(piecewise smooth)であると言います。正確な定義は以下の通りです。

変数\(t\)の定義域である区間\(\left[ a,b\right] \)に対して、以下の条件\begin{equation*}a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n-1}<t_{n}=b
\end{equation*}を満たす有限個の点\(t_{0},t_{1},\cdots ,t_{n-1},t_{n}\in \mathbb{R} \)からなる集合\begin{equation*}P=\left\{ t_{0},t_{1},\cdots ,t_{n-1},t_{n}\right\} =\left\{ t_{k}\right\}
_{k=0}^{n}
\end{equation*}を区間\(\left[ a,b\right] \)の分割と呼びます。なお、分割\(P\)の要素である分点の個数や、分点間の距離は自由に選ぶことができます。分点どうしは等間隔である必要もありません。

区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P\)が与えられれば、区間\(\left[ a,b\right] \)の部分集合である有限\(n\)個の小区間\begin{eqnarray*}I_{1} &=&\left[ t_{0},t_{1}\right] \\
I_{2} &=&\left[ t_{1},t_{2}\right] \\
&&\vdots \\
I_{n} &=&\left[ t_{n-1},t_{n}\right] \end{eqnarray*}が得られます。区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義された複素関数\(z\)がすべての小区間\(I_{1},I_{2},\cdots ,I_{n}\)上において滑らかになるような区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P\)が存在する場合、この複素関数\(z\)は区間\(\left[a,b\right] \)上において区分的に滑らか(piecewise smooth)であると言います。また、区間\(\left[ a,b\right] \)上において区分的に滑らかな複素関数\(z\)から定義される曲線\begin{eqnarray*}C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\} \\
&=&\left\{ x\left( t\right) +iy\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{eqnarray*}を区分的に滑らかな曲線(piecewise smooth curve)や積分路(contour)、または(path)などと呼びます。

複素関数\(z:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \)が区間\(\left[ a,b\right] \)上において滑らかである場合、区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\begin{equation*}P=\left\{ a,b\right\}
\end{equation*}に注目すれば、\(z\)は唯一の小区間\(\left[ a,b\right] \)上で滑らかであるため、\(z\)は\(\left[ a,b\right] \)上で区分的に滑らかです。したがって、滑らかな曲線は区分的にも滑らかです。

例(区分的に滑らかな曲線)
複素関数\(z:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\pi \right] \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(t\in \left[ 0,2\pi \right] \)に対して、\begin{eqnarray*}z\left( t\right) &=&e^{it} \\
&=&\cos \left( t\right) +i\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}を定めるものとします。つまり、\(z\)の実部と虚部は、\begin{eqnarray*}x\left( t\right) &=&\cos \left( t\right) \\
y\left( t\right) &=&\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}です。先に示したように\(z\)は\(\left[ 0,2\pi \right] \)上で滑らかであるため区分的に滑らかでもあります。したがって、\(z\)から定義される曲線\begin{eqnarray*}C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ 0,2\pi \right] \right\} \\
&=&\left\{ e^{it}\in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ 0,2\pi \right] \right\} \\
&=&\left\{ \cos \left( t\right) +i\sin \left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ 0,2\pi \right] \right\}
\end{eqnarray*}は区分的に滑らかです。

区分的に滑らかな曲線は滑らかであるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(区分的に滑らかな曲線)
複素関数\(z:\mathbb{R} \supset \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)に対して、\begin{equation*}z\left( t\right) =\left[ t-\sin \left( t\right) \right] +i\left[ 1-\cos
\left( t\right) \right] \end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(z\)の実部と虚部は、\begin{eqnarray*}x\left( t\right) &=&t-\sin \left( t\right) \\
y\left( t\right) &=&1-\cos \left( t\right)
\end{eqnarray*}です。\(z\)は\(\left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)上で微分可能であり、導関数\(z^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)に対して、\begin{eqnarray*}z^{\prime }\left( t\right) &=&x^{\prime }\left( t\right) +iy^{\prime
}\left( y\right) \\
&=&\frac{d}{dt}\left[ t-\sin \left( t\right) \right] +i\frac{d}{dt}\left[
1-\cos \left( t\right) \right] \\
&=&1-\cos \left( t\right) +i\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}を定めます。先に示したように、この複素関数\(z\)は区間\(\left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)上において滑らかではありません。そこで、区間\(\left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)の分割として、\begin{equation*}P=\left\{ -\frac{\pi }{2},0,\frac{\pi }{2}\right\}
\end{equation*}に注目した場合、そこから2つの小区間\begin{eqnarray*}
I_{1} &=&\left[ -\frac{\pi }{2},0\right] \\
I_{2} &=&\left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \end{eqnarray*}が得られます。複素関数\(z\)はそれぞれの小区間上において滑らかです。実際、導関数\(z^{\prime }\)は区間\(I_{1}=\left[ -\frac{\pi }{2},0\right] \)において連続であるとともに、任意の点\(t\in \left( -\frac{\pi }{2},0\right) \)において、\begin{equation*}1-\cos \left( t\right) +i\sin \left( t\right) \not=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
z^{\prime }\left( t\right) \not=0
\end{equation*}が成り立ちます。また、導関数\(z^{\prime }\)は区間\(I_{2}=\left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \)において連続であるとともに、任意の点\(t\in \left( 0,\frac{\pi }{2}\right) \)において、\begin{equation*}1-\cos \left( t\right) +i\sin \left( t\right) \not=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
z^{\prime }\left( t\right) \not=0
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(z\)から定義される曲線\begin{eqnarray*}C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\} \\
&=&\left\{ \left[ t-\sin \left( t\right) \right] +i\left[ 1-\cos \left(
t\right) \right] \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\}
\end{eqnarray*}は区分的に滑らかです。

 

曲線の向き

複素関数\(z:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \)から定義される曲線\begin{equation*}C\left( z\right) =\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{equation*}において、変数\(t\)が点\(a\)から出発して点\(b\)まで変化する状況を想定する場合には、これを曲線\(C\left( z\right) \)上の正の向き(positive direction)と呼びます。一方、変数\(t\)が点\(b\)から出発して点\(a\)まで変化する状況を想定する場合には、これを曲線\(C\left( z\right) \)上の負の向き(negative direction)と呼びます。

複素関数\(z:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \)から定義される曲線\begin{equation*}C\left( z\right) =\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{equation*}に対して向きが指定されている場合、それとは逆向きの曲線を\(C\left( z\right) \)の逆向きの曲線(opposite curve)と呼びます。逆向きの曲線を具体的に構成するためには、それぞれの\(t\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}r\left( t\right) =a+b-t
\end{equation*}を値として定める関数\(r:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \left[ a,b\right] \)を導入した上で、合成写像\begin{equation*}z\circ r:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}を定義します。これはそれぞれの\(t\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( z\circ r\right) \left( t\right) &=&z\left( r\left( t\right) \right)
\\
&=&z\left( a+b-t\right) \quad \because r\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。この合成写像\(z\circ r\)から定義される曲線を、\begin{eqnarray*}-C\left( z\right) &=&\left\{ \left( z\circ r\right) \left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\} \\
&=&\left\{ z\left( a+b-t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{eqnarray*}で表記します。曲線\(-C\left( z\right) \)の始点は、\begin{equation*}\left( z\circ r\right) \left( a\right) =z\left( b\right)
\end{equation*}ですが、これはもとの曲線\(C\left( z\right) \)の終点です。また、曲線\(-C\left( z\right) \)の終点は、\begin{equation*}\left( z\circ r\right) \left( b\right) =z\left( a\right)
\end{equation*}ですが、これはもとの曲線\(C\left( z\right) \)の始点です。したがって、\(-C\left(z\right) \)は\(C\left( z\right) \)の逆向きの曲線であることが明らかになりました。

例(曲線の向き)
複素関数\(z:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\pi \right] \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(t\in \left[ 0,2\pi \right] \)に対して、\begin{equation*}z\left( t\right) =e^{it}
\end{equation*}を定めるものとします。この複素関数によって定義される曲線\begin{eqnarray*}
C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ 0,2\pi \right] \right\} \\
&=&\left\{ e^{it}\in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ 0,2\pi \right] \right\}
\end{eqnarray*}は複素平面上の原点を中心とする円であり、\(t\)が増加するにつれて円上の点は反時計回りに回転します。この曲線の逆向きの曲線は、\begin{eqnarray*}-C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( a+b-t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\} \\
&=&\left\{ e^{i\left( a+b-t\right) }\in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{eqnarray*}であり、\(t\)が増加するにつれて円上の点は時計回りに回転します。

 

演習問題

問題(複素平面上の曲線)
複素平面上の点\(0\)を始点とし、点\(2-i\)を終点とする終点を曲線\(C\)として定式化してください。その上で、\(C\)が滑らかであることを示してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(複素平面上の曲線)
複素平面上の点\(1+i\)を始点とし、点\(-1-i\)を終点とする終点を曲線\(C\)として定式化してください。その上で、\(C\)が滑らかであることを示してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(複素平面上の曲線)
複素平面上の円\(\left\vert z\right\vert =1\)上に存在し、始点が\(-i\)であり終点が\(i\)であるような弧を曲線\(C\)として定式化してください。その上で、\(C\)が滑らかであることを示してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関連知識

Mailで保存
Xで共有

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです

会員登録

有料のプレミアム会員であれば、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。

ワイズのユーザーは年齢・性別・学歴・社会的立場などとは関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。

誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録