複素平面上の曲線
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された実変数の複素関数\begin{equation*}z:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が与えられているものとします。\(z\)の実部と虚部に相当する実関数をそれぞれ、\begin{eqnarray*}x &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
y &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}で表記します。つまり、以下の関係\begin{equation*}
\forall t\in \left[ a,b\right] :z\left( t\right) =x\left( t\right) +iy\left(
t\right)
\end{equation*}が成り立つということです。\(x\)が\(z\)の実部であり、\(y\)が\(z\)の虚部です。
以上のような複素関数\(z\)が与えられれば、複素平面\(\mathbb{C} \)上に存在する曲線(curve in \(\mathbb{C} \))が、\begin{eqnarray*}C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\} \\
&=&\left\{ x\left( t\right) +iy\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{eqnarray*}として得られます。この曲線\(C\left( z\right) \)を媒介変数表示(parametrization)すると、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=x\left( t\right) \\
y=y\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ a,b\right] \right)
\end{equation*}となります。
複素関数\(z:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \)が定義域である区間\(\left[ a,b\right] \)の左側の端点\(a\)に対して定める値\begin{equation*}z\left( a\right) =x\left( a\right) +iy\left( a\right)
\end{equation*}を曲線\(C\left( z\right) \)の始点(initial point)と呼びます。始点をベクトル表示すると、\begin{equation*}z_{0}=\left( x\left( a\right) ,y\left( a\right) \right)
\end{equation*}となります。
複素関数\(z:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \)が定義域である区間\(\left[ a,b\right] \)の右側の端点\(b\)に対して定める値\begin{equation*}z\left( b\right) =x\left( b\right) +iy\left( b\right)
\end{equation*}を曲線\(C\left( z\right) \)の終点(terminal point)と呼びます。終点をベクトル表示すると、\begin{equation*}z_{1}=\left( x\left( b\right) ,y\left( b\right) \right)
\end{equation*}となります。
&=&\cos \left( t\right) +i\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}を定めるものとします。つまり、\(z\)の実部と虚部は、\begin{eqnarray*}x\left( t\right) &=&\cos \left( t\right) \\
y\left( t\right) &=&\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}です。この複素関数\(z\)から定義される曲線は、\begin{eqnarray*}C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ 0,2\pi \right] \right\} \\
&=&\left\{ e^{it}\in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ 0,2\pi \right] \right\} \\
&=&\left\{ \cos \left( t\right) +i\sin \left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ 0,2\pi \right] \right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは原点を中心とする単位円です。この曲線の始点は、\begin{eqnarray*}
z\left( 0\right) &=&\cos \left( 0\right) +i\sin \left( 0\right) \\
&=&1+i0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}である一方で、終点は、\begin{eqnarray*}
z\left( 2\pi \right) &=&\cos \left( 2\pi \right) +i\sin \left( 2\pi \right)
\\
&=&1+i0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}です。つまり、この曲線の始点と終点は一致します。また、この曲線を媒介変数表示すると、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x=\cos \left( t\right) \\
y=\sin \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ 0,2\pi \right] \right)
\end{equation*}となります。
\left( t\right) \right] \end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(z\)の実部と虚部は、\begin{eqnarray*}x\left( t\right) &=&t-\sin \left( t\right) \\
y\left( t\right) &=&1-\cos \left( t\right)
\end{eqnarray*}です。この複素関数\(z\)から定義される曲線は、\begin{eqnarray*}C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\} \\
&=&\left\{ \left[ t-\sin \left( t\right) \right] +i\left[ 1-\cos \left(
t\right) \right] \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは複素平面上の点\(i\)を中心とする半径\(1\)の円が生成するサイクロイド上に存在する弧です。この曲線の始点は、\begin{eqnarray*}z\left( -\frac{\pi }{2}\right) &=&\left[ -\frac{\pi }{2}-\sin \left( -\frac{\pi }{2}\right) \right] +i\left[ 1-\cos \left( -\frac{\pi }{2}\right) \right] \\
&=&1-\frac{1}{2}\pi +i
\end{eqnarray*}である一方で、終点は、\begin{eqnarray*}
z\left( \frac{\pi }{2}\right) &=&\left[ \frac{\pi }{2}-\sin \left( \frac{\pi }{2}\right) \right] +i\left[ 1-\cos \left( \frac{\pi }{2}\right) \right] \\
&=&\frac{1}{2}\pi -1+i
\end{eqnarray*}です。つまり、この曲線の始点と終点は一致しません。また、この曲線を媒介変数表示すると、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x=t-\sin \left( t\right) \\
y=1-\cos \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right)
\end{equation*}となります。
単一曲線(ジョルダン曲線)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された実変数の複素関数\begin{equation*}z:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が与えられているものとします。\(z\)の実部と虚部に相当する実関数をそれぞれ、\begin{eqnarray*}x &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
y &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}で表記します。つまり、以下の関係\begin{equation*}
\forall t\in \left[ a,b\right] :z\left( t\right) =x\left( t\right) +iy\left(
t\right)
\end{equation*}が成り立つということです。\(x\)が\(z\)の実部であり、\(y\)が\(z\)の虚部です。
複素関数\(z\)が区間\(\left[ a,b\right]\)の内部\(\left( a,b\right) \)において単射である場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall t,t^{\prime }\in \left( a,b\right) :\left[ t\not=t^{\prime
}\Rightarrow z\left( t\right) \not=z\left( t^{\prime }\right) \right]
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(z\)から定義される曲線\begin{eqnarray*}C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\} \\
&=&\left\{ x\left( t\right) +iy\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{eqnarray*}を単一曲線(simple curve)やジョルダン曲線(Jordan curve)などと呼びます。つまり、単一曲線とは、端点を除いて交わる箇所が存在しない曲線です。単一曲線の定義において、端点が交わる状況は排除されていません。つまり、\begin{equation*}
z\left( a\right) =z\left( b\right)
\end{equation*}が成り立つ場合においても、他の点において交わる箇所が存在しなければそれは単一曲線です。
&=&\cos \left( t\right) +i\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}を定めるものとします。つまり、\(z\)の実部と虚部は、\begin{eqnarray*}x\left( t\right) &=&\cos \left( t\right) \\
y\left( t\right) &=&\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}です。\(z\)から定義される曲線\begin{eqnarray*}C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\} \\
&=&\left\{ \left[ t-\sin \left( t\right) \right] +i\left[ 1-\cos \left(
t\right) \right] \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\}
\end{eqnarray*}は円であるため、これは単一曲線です。
\left( t\right) \right] \end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(z\)の実部と虚部は、\begin{eqnarray*}x\left( t\right) &=&t-\sin \left( t\right) \\
y\left( t\right) &=&1-\cos \left( t\right)
\end{eqnarray*}です。\(z\)から定義される曲線\begin{eqnarray*}C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\} \\
&=&\left\{ \left[ t-\sin \left( t\right) \right] +i\left[ 1-\cos \left(
t\right) \right] \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\}
\end{eqnarray*}はサイクロイドであるため、これは単一曲線です。
閉曲線
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された実変数の複素関数\begin{equation*}z:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が与えられているものとします。\(z\)の実部と虚部に相当する実関数をそれぞれ、\begin{eqnarray*}x &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
y &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}で表記します。つまり、以下の関係\begin{equation*}
\forall t\in \left[ a,b\right] :z\left( t\right) =x\left( t\right) +iy\left(
t\right)
\end{equation*}が成り立つということです。\(x\)が\(z\)の実部であり、\(y\)が\(z\)の虚部です。
複素関数\(z\)から定義される曲線\begin{eqnarray*}C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\} \\
&=&\left\{ x\left( t\right) +iy\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{eqnarray*}の始点と終点が一致する場合には、すなわち、\begin{equation*}
z\left( a\right) =z\left( b\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(C\left( z\right) \)を閉曲線(closed curve)と呼びます。
&=&\cos \left( t\right) +i\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}を定めるものとします。つまり、\(z\)の実部と虚部は、\begin{eqnarray*}x\left( t\right) &=&\cos \left( t\right) \\
y\left( t\right) &=&\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}です。\begin{equation*}
z\left( 0\right) =z\left( 2\pi \right)
\end{equation*}が成り立つため、\(z\)から定義される曲線\begin{eqnarray*}C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\} \\
&=&\left\{ \left[ t-\sin \left( t\right) \right] +i\left[ 1-\cos \left(
t\right) \right] \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\}
\end{eqnarray*}は閉曲線です。
\left( t\right) \right] \end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(z\)の実部と虚部は、\begin{eqnarray*}x\left( t\right) &=&t-\sin \left( t\right) \\
y\left( t\right) &=&1-\cos \left( t\right)
\end{eqnarray*}です。\begin{equation*}
z\left( -\frac{\pi }{2}\right) \not=z\left( \frac{\pi }{2}\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(z\)から定義される曲線\begin{eqnarray*}C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\} \\
&=&\left\{ \left[ t-\sin \left( t\right) \right] +i\left[ 1-\cos \left(
t\right) \right] \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\}
\end{eqnarray*}は閉曲線ではありません。
単一閉曲線
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された実変数の複素関数\begin{equation*}z:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が与えられているものとします。\(z\)の実部と虚部に相当する実関数をそれぞれ、\begin{eqnarray*}x &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
y &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}で表記します。つまり、以下の関係\begin{equation*}
\forall t\in \left[ a,b\right] :z\left( t\right) =x\left( t\right) +iy\left(
t\right)
\end{equation*}が成り立つということです。\(x\)が\(z\)の実部であり、\(y\)が\(z\)の虚部です。
複素関数\(z\)から定義される曲線\begin{eqnarray*}C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\} \\
&=&\left\{ x\left( t\right) +iy\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{eqnarray*}が単一曲線かつ閉曲線である場合には、すなわち、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall t,t^{\prime }\in \left( a,b\right) :\left[
t\not=t^{\prime }\Rightarrow z\left( t\right) \not=z\left( t^{\prime
}\right) \right] \\
&&\left( b\right) \ z\left( a\right) =z\left( b\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(C\left( z\right) \)を単一閉曲線(simple closed curve)と呼びます。
&=&\cos \left( t\right) +i\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}を定めるものとします。つまり、\(z\)の実部と虚部は、\begin{eqnarray*}x\left( t\right) &=&\cos \left( t\right) \\
y\left( t\right) &=&\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}です。\(z\)から定義される曲線\begin{eqnarray*}C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\} \\
&=&\left\{ \left[ t-\sin \left( t\right) \right] +i\left[ 1-\cos \left(
t\right) \right] \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\}
\end{eqnarray*}は単一曲線かつ閉曲線であるため、これは単一閉曲線です。
\left( t\right) \right] \end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(z\)の実部と虚部は、\begin{eqnarray*}x\left( t\right) &=&t-\sin \left( t\right) \\
y\left( t\right) &=&1-\cos \left( t\right)
\end{eqnarray*}です。\(z\)から定義される曲線\begin{eqnarray*}C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\} \\
&=&\left\{ \left[ t-\sin \left( t\right) \right] +i\left[ 1-\cos \left(
t\right) \right] \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\}
\end{eqnarray*}は単一曲線である一方で閉曲線ではないため、これは単一閉曲線ではありません。
曲線の微分
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された実変数の複素関数\begin{equation*}z:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が与えられているものとします。\(z\)の実部と虚部に相当する実関数をそれぞれ、\begin{eqnarray*}x &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
y &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}で表記します。つまり、以下の関係\begin{equation*}
\forall t\in \left[ a,b\right] :z\left( t\right) =x\left( t\right) +iy\left(
t\right)
\end{equation*}が成り立つということです。\(x\)が\(z\)の実部であり、\(y\)が\(z\)の虚部です。
複素関数\(z\)の変数\(t\)を点\(c\in \left( a,b\right) \)から\(h\not=0\)だけ変化させた場合の平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{z\left( c+h\right) -z\left( c\right) }{h} &=&\frac{\left[ x\left(
c+h\right) +iy\left( c+h\right) \right] -\left[ x\left( c\right) +iy\left(
c\right) \right] }{h} \\
&=&\frac{x\left( c+h\right) -x\left( c\right) }{h}+i\frac{y\left( c+h\right)
-y\left( c\right) }{h}
\end{eqnarray*}となるため、\(h\rightarrow 0\)の場合の極限が複素数として定まる場合には、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{z\left( c+h\right) -z\left( c\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left[ \frac{x\left( c+h\right) -x\left( c\right) }{h}+i\frac{y\left( c+h\right) -y\left( c\right) }{h}\right] \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{x\left( c+h\right) -x\left( c\right) }{h}+i\lim_{h\rightarrow 0}\frac{y\left( c+h\right) -y\left( c\right) }{h} \\
&=&x^{\prime }\left( x\right) +iy^{\prime }\left( c\right)
\end{eqnarray*}となります。そこで、複素関数\(z\)の点\(c\)における微分係数を、\begin{equation*}z^{\prime }\left( c\right) =x^{\prime }\left( c\right) +iy^{\prime }\left(
c\right)
\end{equation*}と定義します。同じことを、\begin{equation*}
\frac{dz\left( c\right) }{dt}=\frac{dx\left( c\right) }{dt}+i\frac{dy\left(
c\right) }{dt}
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
\left. \frac{dz\left( t\right) }{dt}\right\vert _{t=c}=\left. \frac{dx\left(
t\right) }{dt}\right\vert _{t=c}+i\left. \frac{dy\left( t\right) }{dt}\right\vert _{t=c}
\end{equation*}などと表現することもできます。
同様に、複素関数\(z:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \)の点\(c\in \left[ a,b\right) \)における右側微分係数を、\begin{equation*}z^{\prime }\left( c+0\right) =x^{\prime }\left( c+0\right) +iy^{\prime
}\left( c+0\right)
\end{equation*}と定義します。同じことを、\begin{equation*}
\frac{dz\left( c+0\right) }{dt}=\frac{dx\left( c+0\right) }{dt}+i\frac{dy\left( c+0\right) }{dt}
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
\left. \frac{dz\left( t+0\right) }{dt}\right\vert _{t=c}=\left. \frac{dx\left( t+0\right) }{dt}\right\vert _{t=c}+i\left. \frac{dy\left(
t+0\right) }{dt}\right\vert _{t=c}
\end{equation*}などと表現することもできます。
同様に、複素関数\(z:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \)の点\(c\in \left( a,b\right] \)における左側微分係数を、\begin{equation*}z^{\prime }\left( c-0\right) =x^{\prime }\left( c-0\right) +iy^{\prime
}\left( c-0\right)
\end{equation*}と定義します。同じことを、\begin{equation*}
\frac{dz\left( c-0\right) }{dt}=\frac{dx\left( c-0\right) }{dt}+i\frac{dy\left( c-0\right) }{dt}
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
\left. \frac{dz\left( t-0\right) }{dt}\right\vert _{t=c}=\left. \frac{dx\left( t-0\right) }{dt}\right\vert _{t=c}+i\left. \frac{dy\left(
t-0\right) }{dt}\right\vert _{t=c}
\end{equation*}などと表現することもできます。
&=&\cos \left( t\right) +i\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}を定めるものとします。つまり、\(z\)の実部と虚部は、\begin{eqnarray*}x\left( t\right) &=&\cos \left( t\right) \\
y\left( t\right) &=&\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}です。\(z\)は\(\left[ 0,2\pi \right] \)上で微分可能であり、導関数\(z^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\pi \right] \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(t\in \left[ 0,2\pi \right] \)に対して、\begin{eqnarray*}z^{\prime }\left( t\right) &=&x^{\prime }\left( t\right) +iy^{\prime
}\left( y\right) \\
&=&\frac{d}{dt}\cos \left( t\right) +i\frac{d}{dt}\sin \left( t\right) \\
&=&-\sin \left( t\right) +i\cos \left( t\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
\left( t\right) \right] \end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(z\)の実部と虚部は、\begin{eqnarray*}x\left( t\right) &=&t-\sin \left( t\right) \\
y\left( t\right) &=&1-\cos \left( t\right)
\end{eqnarray*}です。\(z\)は\(\left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)上で微分可能であり、導関数\(z^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)に対して、\begin{eqnarray*}z^{\prime }\left( t\right) &=&x^{\prime }\left( t\right) +iy^{\prime
}\left( y\right) \\
&=&\frac{d}{dt}\left[ t-\sin \left( t\right) \right] +i\frac{d}{dt}\left[
1-\cos \left( t\right) \right] \\
&=&1-\cos \left( t\right) +i\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
滑らかな曲線
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された実変数の複素関数\begin{equation*}z:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が与えられているものとします。\(z\)の実部と虚部に相当する実関数をそれぞれ、\begin{eqnarray*}x &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
y &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}で表記します。つまり、以下の関係\begin{equation*}
\forall t\in \left[ a,b\right] :z\left( t\right) =x\left( t\right) +iy\left(
t\right)
\end{equation*}が成り立つということです。\(x\)が\(z\)の実部であり、\(y\)が\(z\)の虚部です。その上で、\(z\)が以下の2つの条件を満たす状況を想定します。
1つ目の条件は、複素関数\(z\)が区間\(\left[ a,b\right] \)上において\(C^{1}\)級であるということです。つまり、\(z\)は\(\left[ a,b\right] \)上において微分可能であるとともに、その導関数\(\frac{dz}{dt}\)が\(\left[ a,b\right] \)上において連続であるということです。ただし、区間の左側の端点\(a\)における微分可能性として右側微分可能性を採用し、連続性として右側連続性を採用します。また、区間の右側の端点\(b\)における微分可能性として左側微分可能性を採用し、連続性として左側連続性を採用します。つまり、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall c\in \left( a,b\right) :\lim_{t\rightarrow c}\frac{dz\left( t\right) }{dt}=\frac{dz\left( c\right) }{dt}\in \mathbb{C} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{t\rightarrow a+}\frac{dz\left( t+0\right) }{dt}=\frac{dz\left( a\right) }{dt}\in \mathbb{C} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{t\rightarrow b-}\frac{dz\left( t-0\right) }{dt}=\frac{dz\left( b\right) }{dt}\in \mathbb{C} \end{eqnarray*}が満たされる状況を想定します。ただし、\(\frac{dz\left( t\right) }{dt}\)は導関数、\(\frac{dz\left( t+0\right) }{dt}\)は右側導関数、\(\frac{dz\left( t-0\right) }{dt}\)は左側導関数を表す記号です。
2つ目の条件は、区間\(\left[ a,b\right] \)の内部\(\left( a,b\right) \)において複素関数\(z\)の微分係数がゼロにはならないこと、すなわち、\begin{equation*}\forall t\in \left( a,b\right) :\frac{dz\left( t\right) }{dt}\not=0
\end{equation*}が成り立つということです。
複素関数\(z\)が以上の2つの条件を満たす場合、\(z\)は\(\left[ a,b\right] \)上において滑らかである(smooth)と言います。また、区間\(\left[ a,b\right] \)上において滑らかな複素関数\(z\)から定義される曲線\begin{eqnarray*}C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\} \\
&=&\left\{ x\left( t\right) +iy\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{eqnarray*}を滑らかな曲線(smooth curve)と呼びます。
&=&\cos \left( t\right) +i\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}を定めるものとします。つまり、\(z\)の実部と虚部は、\begin{eqnarray*}x\left( t\right) &=&\cos \left( t\right) \\
y\left( t\right) &=&\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}です。\(z\)は\(\left[ 0,2\pi \right] \)上で微分可能であり、導関数\(z^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\pi \right] \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(t\in \left[ 0,2\pi \right] \)に対して、\begin{eqnarray*}z^{\prime }\left( t\right) &=&x^{\prime }\left( t\right) +iy^{\prime
}\left( y\right) \\
&=&\frac{d}{dt}\cos \left( t\right) +i\frac{d}{dt}\sin \left( t\right) \\
&=&-\sin \left( t\right) +i\cos \left( t\right)
\end{eqnarray*}を定めます。\(z^{\prime }\)は\(\left[0,2\pi \right] \)上で連続であるとともに、任意の\(t\in \left(0,2\pi \right) \)において、\begin{equation*}-\sin \left( t\right) +i\cos \left( t\right) \not=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
z^{\prime }\left( t\right) \not=0
\end{equation*}が成り立つため、\(z\)は\(\left[ 0,2\pi \right] \)上で滑らかです。したがって、\(z\)から定義される曲線\begin{eqnarray*}C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ 0,2\pi \right] \right\} \\
&=&\left\{ e^{it}\in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ 0,2\pi \right] \right\} \\
&=&\left\{ \cos \left( t\right) +i\sin \left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ 0,2\pi \right] \right\}
\end{eqnarray*}は滑らかです。
\left( t\right) \right] \end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(z\)の実部と虚部は、\begin{eqnarray*}x\left( t\right) &=&t-\sin \left( t\right) \\
y\left( t\right) &=&1-\cos \left( t\right)
\end{eqnarray*}です。\(z\)は\(\left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)上で微分可能であり、導関数\(z^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)に対して、\begin{eqnarray*}z^{\prime }\left( t\right) &=&x^{\prime }\left( t\right) +iy^{\prime
}\left( y\right) \\
&=&\frac{d}{dt}\left[ t-\sin \left( t\right) \right] +i\frac{d}{dt}\left[
1-\cos \left( t\right) \right] \\
&=&1-\cos \left( t\right) +i\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}を定めます。\(z^{\prime }\)は\(\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)上で連続である一方で、点\(0\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \)に注目したとき、\begin{eqnarray*}z^{\prime }\left( 0\right) &=&1-\cos \left( 0\right) +i\sin \left( 0\right)
\\
&=&1-1+i0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、\(z\)は\(\left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)上で滑らかではありません。したがって、\(z\)から定義される曲線\begin{eqnarray*}C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\} \\
&=&\left\{ \left[ t-\sin \left( t\right) \right] +i\left[ 1-\cos \left(
t\right) \right] \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\}
\end{eqnarray*}は滑らかではありません。
区分的に滑らかな曲線(積分経路)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された実変数の複素関数\begin{equation*}z:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が与えられているものとします。\(z\)の実部と虚部に相当する実関数をそれぞれ、\begin{eqnarray*}x &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
y &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}で表記します。つまり、以下の関係\begin{equation*}
\forall t\in \left[ a,b\right] :z\left( t\right) =x\left( t\right) +iy\left(
t\right)
\end{equation*}が成り立つということです。\(x\)が\(z\)の実部であり、\(y\)が\(z\)の虚部です。
複素関数\(z\)が区間\(\left[ a,b\right]\)上で滑らかではない場合においても、区間\(\left[ a,b\right] \)を複数の小区間へ分割し、それぞれの小区間において\(z\)が滑らかである場合には、\(z\)は区間\(\left[ a,b\right] \)上において区分的に滑らか(piecewise smooth)であると言います。正確な定義は以下の通りです。
変数\(t\)の定義域である区間\(\left[ a,b\right] \)に対して、以下の条件\begin{equation*}a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n-1}<t_{n}=b
\end{equation*}を満たす有限個の点\(t_{0},t_{1},\cdots ,t_{n-1},t_{n}\in \mathbb{R} \)からなる集合\begin{equation*}P=\left\{ t_{0},t_{1},\cdots ,t_{n-1},t_{n}\right\} =\left\{ t_{k}\right\}
_{k=0}^{n}
\end{equation*}を区間\(\left[ a,b\right] \)の分割と呼びます。なお、分割\(P\)の要素である分点の個数や、分点間の距離は自由に選ぶことができます。分点どうしは等間隔である必要もありません。
区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P\)が与えられれば、区間\(\left[ a,b\right] \)の部分集合である有限\(n\)個の小区間\begin{eqnarray*}I_{1} &=&\left[ t_{0},t_{1}\right] \\
I_{2} &=&\left[ t_{1},t_{2}\right] \\
&&\vdots \\
I_{n} &=&\left[ t_{n-1},t_{n}\right]
\end{eqnarray*}が得られます。区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義された複素関数\(z\)がすべての小区間\(I_{1},I_{2},\cdots ,I_{n}\)上において滑らかになるような区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P\)が存在する場合、この複素関数\(z\)は区間\(\left[a,b\right] \)上において区分的に滑らか(piecewise smooth)であると言います。また、区間\(\left[ a,b\right] \)上において区分的に滑らかな複素関数\(z\)から定義される曲線\begin{eqnarray*}C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\} \\
&=&\left\{ x\left( t\right) +iy\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{eqnarray*}を区分的に滑らかな曲線(piecewise smooth curve)や積分路(contour)、または路(path)などと呼びます。
複素関数\(z:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \)が区間\(\left[ a,b\right] \)上において滑らかである場合、区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\begin{equation*}P=\left\{ a,b\right\}
\end{equation*}に注目すれば、\(z\)は唯一の小区間\(\left[ a,b\right] \)上で滑らかであるため、\(z\)は\(\left[ a,b\right] \)上で区分的に滑らかです。したがって、滑らかな曲線は区分的にも滑らかです。
&=&\cos \left( t\right) +i\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}を定めるものとします。つまり、\(z\)の実部と虚部は、\begin{eqnarray*}x\left( t\right) &=&\cos \left( t\right) \\
y\left( t\right) &=&\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}です。先に示したように\(z\)は\(\left[ 0,2\pi \right] \)上で滑らかであるため区分的に滑らかでもあります。したがって、\(z\)から定義される曲線\begin{eqnarray*}C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ 0,2\pi \right] \right\} \\
&=&\left\{ e^{it}\in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ 0,2\pi \right] \right\} \\
&=&\left\{ \cos \left( t\right) +i\sin \left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ 0,2\pi \right] \right\}
\end{eqnarray*}は区分的に滑らかです。
区分的に滑らかな曲線は滑らかであるとは限りません。以下の例より明らかです。
\left( t\right) \right] \end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(z\)の実部と虚部は、\begin{eqnarray*}x\left( t\right) &=&t-\sin \left( t\right) \\
y\left( t\right) &=&1-\cos \left( t\right)
\end{eqnarray*}です。\(z\)は\(\left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)上で微分可能であり、導関数\(z^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの\(t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)に対して、\begin{eqnarray*}z^{\prime }\left( t\right) &=&x^{\prime }\left( t\right) +iy^{\prime
}\left( y\right) \\
&=&\frac{d}{dt}\left[ t-\sin \left( t\right) \right] +i\frac{d}{dt}\left[
1-\cos \left( t\right) \right] \\
&=&1-\cos \left( t\right) +i\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}を定めます。先に示したように、この複素関数\(z\)は区間\(\left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)上において滑らかではありません。そこで、区間\(\left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)の分割として、\begin{equation*}P=\left\{ -\frac{\pi }{2},0,\frac{\pi }{2}\right\}
\end{equation*}に注目した場合、そこから2つの小区間\begin{eqnarray*}
I_{1} &=&\left[ -\frac{\pi }{2},0\right] \\
I_{2} &=&\left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \end{eqnarray*}が得られます。複素関数\(z\)はそれぞれの小区間上において滑らかです。実際、導関数\(z^{\prime }\)は区間\(I_{1}=\left[ -\frac{\pi }{2},0\right] \)において連続であるとともに、任意の点\(t\in \left( -\frac{\pi }{2},0\right) \)において、\begin{equation*}1-\cos \left( t\right) +i\sin \left( t\right) \not=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
z^{\prime }\left( t\right) \not=0
\end{equation*}が成り立ちます。また、導関数\(z^{\prime }\)は区間\(I_{2}=\left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \)において連続であるとともに、任意の点\(t\in \left( 0,\frac{\pi }{2}\right) \)において、\begin{equation*}1-\cos \left( t\right) +i\sin \left( t\right) \not=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
z^{\prime }\left( t\right) \not=0
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(z\)から定義される曲線\begin{eqnarray*}C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\} \\
&=&\left\{ \left[ t-\sin \left( t\right) \right] +i\left[ 1-\cos \left(
t\right) \right] \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\}
\end{eqnarray*}は区分的に滑らかです。
曲線の向き
複素関数\(z:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \)から定義される曲線\begin{equation*}C\left( z\right) =\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{equation*}において、変数\(t\)が点\(a\)から出発して点\(b\)まで変化する状況を想定する場合には、これを曲線\(C\left( z\right) \)上の正の向き(positive direction)と呼びます。一方、変数\(t\)が点\(b\)から出発して点\(a\)まで変化する状況を想定する場合には、これを曲線\(C\left( z\right) \)上の負の向き(negative direction)と呼びます。
複素関数\(z:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \)から定義される曲線\begin{equation*}C\left( z\right) =\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{equation*}に対して向きが指定されている場合、それとは逆向きの曲線を\(C\left( z\right) \)の逆向きの曲線(opposite curve)と呼びます。逆向きの曲線を具体的に構成するためには、それぞれの\(t\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}r\left( t\right) =a+b-t
\end{equation*}を値として定める関数\(r:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \left[ a,b\right] \)を導入した上で、合成写像\begin{equation*}z\circ r:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}を定義します。これはそれぞれの\(t\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( z\circ r\right) \left( t\right) &=&z\left( r\left( t\right) \right)
\\
&=&z\left( a+b-t\right) \quad \because r\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。この合成写像\(z\circ r\)から定義される曲線を、\begin{eqnarray*}-C\left( z\right) &=&\left\{ \left( z\circ r\right) \left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\} \\
&=&\left\{ z\left( a+b-t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{eqnarray*}で表記します。曲線\(-C\left( z\right) \)の始点は、\begin{equation*}\left( z\circ r\right) \left( a\right) =z\left( b\right)
\end{equation*}ですが、これはもとの曲線\(C\left( z\right) \)の終点です。また、曲線\(-C\left( z\right) \)の終点は、\begin{equation*}\left( z\circ r\right) \left( b\right) =z\left( a\right)
\end{equation*}ですが、これはもとの曲線\(C\left( z\right) \)の始点です。したがって、\(-C\left(z\right) \)は\(C\left( z\right) \)の逆向きの曲線であることが明らかになりました。
\end{equation*}を定めるものとします。この複素関数によって定義される曲線\begin{eqnarray*}
C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ 0,2\pi \right] \right\} \\
&=&\left\{ e^{it}\in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ 0,2\pi \right] \right\}
\end{eqnarray*}は複素平面上の原点を中心とする円であり、\(t\)が増加するにつれて円上の点は反時計回りに回転します。この曲線の逆向きの曲線は、\begin{eqnarray*}-C\left( z\right) &=&\left\{ z\left( a+b-t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\} \\
&=&\left\{ e^{i\left( a+b-t\right) }\in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{eqnarray*}であり、\(t\)が増加するにつれて円上の点は時計回りに回転します。
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