実変数の複素関数の積分
複素関数\(f:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの複素数\(z\in Z\)に対して複素数\(f\left(z\right) \in \mathbb{C} \)を値として定める写像ですが、このような一般的な複素関数の積分を定義する前に、まずは、変数がとり得る値が実数であるような複素関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset T\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}について、その積分を定義します。つまり、\(f\)はそれぞれの実数\(t\in T\)に対して、複素数\(f\left( t\right) \in \mathbb{C} \)を値として定めるということです。
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義された実変数の複素関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が与えられているものとします。\(f\)の実部と虚部に相当する実関数をそれぞれ、\begin{eqnarray*}u &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
v &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}で表記します。つまり、以下の関係\begin{equation*}
\forall t\in \left[ a,b\right] :f\left( t\right) =u\left( t\right) +iv\left(
t\right)
\end{equation*}が成り立つということです。\(u\)が\(f\)の実部であり、\(v\)が\(f\)の虚部です。
複素関数\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上において連続であるものとします。これは、\(u,v\)がともに\(\left[ a,b\right] \)上において連続であることと必要十分です。\(u,v\)は実数値関数であり、有界な閉区間上に定義された連続な実数値関数の定積分は有限な実数として定まるため、この場合、\(\left[ a,b\right] \)上における\(u,v\)の定積分\begin{eqnarray*}&&\int_{a}^{b}u\left( t\right) dt \\
&&\int_{a}^{b}v\left( t\right) dt
\end{eqnarray*}がともに有限な実数として定まります。したがって、この場合には、\begin{equation*}
\int_{a}^{b}u\left( t\right) dt+i\int_{a}^{b}v\left( t\right) dt
\end{equation*}が複素数として定まります。このような事情を踏まえた上で、もとの複素関数\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)上における定積分を、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( t\right) dt=\int_{a}^{b}u\left( t\right)
dt+i\int_{a}^{b}v\left( t\right) dt
\end{equation*}と定義します。
\end{equation*}を定めるものとします。これを変形すると、\begin{eqnarray*}
f\left( t\right) &=&\left( 2t+i\right) ^{2} \\
&=&4t^{2}+4ti-1 \\
&=&\left( 4t^{2}-1\right) +4ti
\end{eqnarray*}であるため、\(f\)の実部と虚部は、\begin{eqnarray*}u\left( t\right) &=&4t^{2}-1 \\
v\left( t\right) &=&4t
\end{eqnarray*}です。したがって、\(f\)の\(\left[ 0,1\right] \)上における定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{1}f\left( t\right) dt &=&\int_{0}^{1}u\left( t\right)
dt+i\int_{0}^{1}v\left( t\right) dt\quad \because \text{定積分の定義} \\
&=&\int_{0}^{1}\left( 4t^{2}-1\right) dt+i\int_{0}^{1}4tdt \\
&=&\left[ \frac{4}{3}t^{3}-t\right] _{0}^{1}+i\left[ 2t^{2}\right] _{0}^{1}
\\
&=&\left( \frac{4}{3}-1\right) +i2 \\
&=&\frac{1}{3}+2i
\end{eqnarray*}となります。
定積分の加法性
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された実変数の複素関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が与えられているものとします。
\(f\)は\(\left[ a,b\right]\)上で連続であるものとします。\(a<c<b\)を満たす実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上および\(\left[ a,c\right] \)上および\(\left[ c,b\right] \)上で積分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( t\right) dt=\int_{a}^{c}f\left( t\right)
dt+\int_{c}^{b}f\left( t\right) dt
\end{equation*}が成り立ちます。
\(a<c<b\)を満たす実数\(a,b,c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で複素関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \)を定義する。\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上で連続である場合、以下の関係\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( t\right) dt=\int_{a}^{c}f\left( t\right)
dt+\int_{c}^{b}f\left( t\right) dt
\end{equation*}が成り立つ。
定数倍の法則
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された実変数の複素関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が与えられているものとします。複素数\(c\in \mathbb{C} \)を任意に選べば、それぞれの\(t\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}\left( cf\right) \left( t\right) =cf\left( t\right)
\end{equation*}を値として定める実変数の複素関数\begin{equation*}
cf:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能です。
\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で連続であるものとします。連続な複素関数の定数倍として定義される複素関数は連続であるため、この場合には\(cf\)もまた\(\left[ a,b\right] \)上で連続です。したがって、\(f\)と\(cf\)はともに\(\left[ a,b\right] \)上で積分可能ですが、これらの定積分の間には以下の関係\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left( cf\right) \left( t\right) dt=c\int_{a}^{b}f\left(
t\right) dt
\end{equation*}が成り立ちます。
t\right) dt
\end{equation*}が成り立つ。
和の法則
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された2つの実変数の複素関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \\
g &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの\(t\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}\left( f+g\right) \left( t\right) =f\left( t\right) +g\left( t\right)
\end{equation*}を値として定める実変数の複素関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能です。
\(f,g\)がともに\(\left[ a,b\right] \)上で連続であるものとします。連続な複素関数どうしの和として定義される複素関数は連続であるため、この場合には\(f+g\)もまた\(\left[ a,b\right] \)上で連続です。したがって、\(f,g,f+g\)はいずれも\(\left[ a,b\right] \)上で積分可能ですが、これらの定積分の間には以下の関係\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left( f+g\right) \left( t\right) dt=\int_{a}^{b}f\left(
t\right) dt+\int_{a}^{b}g\left( t\right) dt
\end{equation*}が成り立ちます。
t\right) dt+\int_{a}^{b}g\left( t\right) dt
\end{equation*}が成り立つ。
差の法則
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された2つの実変数の複素関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \\
g &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの\(t\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}\left( f-g\right) \left( t\right) =f\left( t\right) -g\left( t\right)
\end{equation*}を値として定める実変数の複素関数\begin{equation*}
f-g:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能です。
\(f,g\)がともに\(\left[ a,b\right] \)上で連続であるものとします。連続な複素関数どうしの差として定義される複素関数は連続であるため、この場合には\(f-g\)もまた\(\left[ a,b\right] \)上で連続です。したがって、\(f,g,f-g\)はいずれも\(\left[ a,b\right] \)上で積分可能ですが、これらの定積分の間には以下の関係\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left( f-g\right) \left( t\right) dt=\int_{a}^{b}f\left(
t\right) dt-\int_{a}^{b}g\left( t\right) dt
\end{equation*}が成り立ちます。
t\right) dt-\int_{a}^{b}g\left( t\right) dt
\end{equation*}が成り立つ。
積分範囲の反転
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された実変数の複素関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が与えられているものとします。\(f\)の実部と虚部をそれぞれ、\begin{eqnarray*}u &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
v &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}で表記します。
\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で連続であるものとします。これは、\(u,v\)がともに\(\left[a,b\right] \)上において連続であることと必要十分です。\(f\)の\(\left[ b,a\right] \)上での定積分を、\begin{equation}\int_{b}^{a}f\left( t\right) dt=\int_{b}^{a}u\left( t\right)
dt+i\int_{b}^{a}v\left( t\right) dt \quad \cdots (1)
\end{equation}と定義するのであれば、\begin{eqnarray*}
\int_{b}^{a}f\left( t\right) dt &=&\int_{b}^{a}u\left( t\right)
dt+i\int_{b}^{a}v\left( t\right) dt\quad \because \left( 1\right) \\
&=&-\int_{a}^{b}u\left( t\right) dt-i\int_{a}^{b}v\left( t\right) dt\quad
\because \text{実数値関数の積分の性質} \\
&=&-\left[ \int_{a}^{b}u\left( t\right) dt+i\int_{a}^{b}v\left( t\right) dt\right] \\
&=&-\int_{a}^{b}f\left( t\right) dt
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{b}^{a}f\left( t\right) dt=-\int_{a}^{b}f\left( t\right) dt
\end{equation*}を得ます。つまり、定積分の端点を入れ替えると積分の符号が逆になるということです。
また、複素関数の点における定積分は、\begin{eqnarray*}
\int_{a}^{a}f\left( t\right) dt &=&\int_{a}^{a}u\left( t\right)
dt+i\int_{a}^{a}v\left( t\right) dt \\
&=&0+i0\quad \because \text{実数値関数の点における積分} \\
&=&0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{a}^{a}f\left( t\right) dt=0
\end{equation*}となります。
演習問題
\int_{-1}^{4}\left( 3t-it^{2}\right) \left( 3+2it\right) dt
\end{equation*}を評価してください。
\int_{0}^{1}\left( t^{2}+it^{2}\right) \left( 1+i\right) dt
\end{equation*}を評価してください。
\int_{0}^{2\pi }\left( e^{it}\right) ^{2}ie^{it}dt
\end{equation*}を評価してください。
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