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複素関数の積分

複素関数に関する微分積分学の第2基本定理(求積分定理)

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滑らかな曲線上に定義された複素関数に関する微分積分学の第2基本定理

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された実変数の複素関数\begin{equation*}z:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}から定義された滑らかな曲線\begin{equation*}
C=\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{equation*}および\(C\)上に定義された連続な複素関数\begin{equation*}f:\mathbb{C} \supset C\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が与えられた状況を想定します。この場合、\(f\)は\(C\)に沿って複素積分可能であり、複素積分\begin{equation*}\int_{C}f\left( z\right) dz
\end{equation*}が複素数として定まることが保証されます。ただし、この複素積分の値は明らかではない状況を想定します。

以上の状況において、以下の条件を満たす複素関数\begin{equation*}
F:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が存在する状況を想定します。

1つ目の条件は、\(F\)が曲線\(C\)上において定義されているということです。つまり、\begin{equation*}C\subset Z
\end{equation*}が成り立つということです。

2つ目の条件は、\(F\)の定義域\(Z\)が複素平面\(\mathbb{C} \)上の開集合であるとともに、\(F\)は\(Z\)上の解析関数であるということです。以上の条件は、\(F\)が\(Z\)上の任意の点において微分可能であることを意味します。つまり、導関数\begin{equation*}F^{\prime }:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が存在するということです。

3つ目の条件は、曲線\(C\)の内部において\(F\)の導関数\(F^{\prime }\)は複素関数\(f\)と一致すること、すなわち、\begin{equation*}\forall t\in \left( a,b\right) :F^{\prime }\left( z\left( t\right) \right)
=f\left( z\left( t\right) \right)
\end{equation*}が成り立つということです。

以上の条件が満たされる場合、複素関数\(f\)の曲線\(C\)に沿った複素線積分が、\begin{equation*}\int_{C}f\left( z\right) dz=F\left( r\left( b\right) \right) -F\left(
r\left( a\right) \right)
\end{equation*}として定まることが保証されます。これを微分積分学の第2基本定理(second fundamental theorem of calculus)や求積分定理(evaluatioin theorem)などと呼びます。

命題(複素関数に関する微分積分学の第2基本定理)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された実変数の複素関数\(z:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \)から定義された滑らかな曲線\begin{equation*}C=\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{equation*}および連続な複素関数\(f:\mathbb{C} \supset C\rightarrow \mathbb{C} \)が与えられているものとする。また、複素関数\(F:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)の定義域\(Z\)は\(\mathbb{C} \)上の開集合であるとともに\(C\subset Z\)が成り立ち、\(F\)は\(Z\)上の解析関数である、なおかつ、\begin{equation*}\forall t\in \left( a,b\right) :F^{\prime }\left( z\left( t\right) \right)
=f\left( z\left( t\right) \right)
\end{equation*}が成り立つものとする。以上の条件が満たされる場合には、以下の関係\begin{equation*}
\int_{C}f\left( z\right) dz=F\left( z\left( b\right) \right) -F\left(
z\left( a\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ。

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例(微分積分学の第2基本定理)
以下の曲線\begin{equation*}
C=\left\{ e^{it}\in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ 0,2\pi \right] \right\}
\end{equation*}に沿った複素線積分\begin{equation*}
\int_{C}\frac{1}{z}dz
\end{equation*}について考えます。まずは複素線積分の定義にもとづいて計算を行います。曲線\(C\)を定義する複素関数は、\begin{equation*}z\left( t\right) =e^{it}
\end{equation*}である一方で、被積分関数は、\begin{equation*}
f\left( z\right) =\frac{1}{z}
\end{equation*}であるため、\begin{eqnarray*}
\int_{C}\frac{1}{z}dz &=&\int_{C}f\left( z\right) dz \\
&=&\int_{0}^{2\pi }\left[ f\left( z\left( t\right) \right) \cdot \frac{dz\left( t\right) }{dt}\right] dt\quad \because \text{複素線積分の定義} \\
&=&\int_{0}^{2\pi }\left[ \frac{1}{e^{it}}\cdot \frac{de^{it}}{dt}\right] dt
\\
&=&\int_{0}^{2\pi }\left[ \frac{1}{e^{it}}\cdot ie^{it}\right] dt \\
&=&i\int_{0}^{2\pi }1dt \\
&=&i\left[ t\right] _{0}^{2\pi } \\
&=&i2\pi \\
&=&2\pi i
\end{eqnarray*}となります。続いて、先の命題を用いて計算を行います。\begin{equation*}
\frac{d}{dz}\mathrm{Ln}\left( z\right) =\frac{1}{z}
\end{equation*}であることを踏まえると、\begin{equation*}
F\left( z\right) =\mathrm{Ln}\left( z\right)
\end{equation*}であるため、先の命題より、\begin{eqnarray*}
\int_{C}f\left( z\right) dz &=&F\left( z\left( 2\pi \right) \right) -F\left(
z\left( 0\right) \right) \\
&=&\mathrm{Ln}\left( z\left( 2\pi \right) \right) -\mathrm{Ln}\left( z\left(
0\right) \right) \\
&=&\mathrm{Ln}\left( e^{i2\pi }\right) -\mathrm{Ln}\left( e^{i0}\right) \\
&=&i2\pi -0 \\
&=&2\pi i
\end{eqnarray*}となり、先と同じ結果が得られました。

 

区分的に滑らかな曲線上に定義された複素関数に関する微分積分学の第2基本定理

区分的に滑らかな曲線上に定義された複素関数に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(複素関数に関する微分積分学の第2基本定理)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された実変数の複素関数\(z:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \)から定義された区分的に滑らかな曲線\begin{equation*}C=\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{equation*}および連続な複素関数\(f:\mathbb{C} \supset C\rightarrow \mathbb{C} \)が与えられているものとする。また、複素関数\(F:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)の定義域\(Z\)は\(\mathbb{C} \)上の開集合であるとともに\(C\subset Z\)が成り立ち、\(F\)は\(Z\)上の解析関数である、なおかつ、\begin{equation*}\forall t\in \left( a,b\right) :F^{\prime }\left( z\left( t\right) \right)
=f\left( z\left( t\right) \right)
\end{equation*}が成り立つものとする。以上の条件が満たされる場合には、以下の関係\begin{equation*}
\int_{C}f\left( z\right) dz=F\left( z\left( b\right) \right) -F\left(
z\left( a\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ。

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例(微分積分学の第2基本定理)
以下の曲線\begin{equation*}
C=\left\{ \left[ t-\sin \left( t\right) \right] +i\left[ 1-\cos \left(
t\right) \right] \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right\}
\end{equation*}に沿った複素線積分\begin{equation*}
\int_{C}\frac{1}{z}dz
\end{equation*}について考えます。まずは複素線積分の定義にもとづいて計算を行います。\(C\)は滑らかではない一方で、区間\(\left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)の分割として、\begin{equation*}P=\left\{ -\frac{\pi }{2},0,\frac{\pi }{2}\right\}
\end{equation*}に注目した上で、そこから2つの小区間\begin{eqnarray*}
I_{1} &=&\left[ -\frac{\pi }{2},0\right] \\
I_{2} &=&\left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \end{eqnarray*}を形成すれば、\(C\)は区分的に滑らかになります。そこで、\begin{eqnarray*}C_{1} &=&\left\{ \left[ t-\sin \left( t\right) \right] +i\left[ 1-\cos
\left( t\right) \right] \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ -\frac{\pi }{2},0\right] \right\} \\
C_{2} &=&\left\{ \left[ t-\sin \left( t\right) \right] +i\left[ 1-\cos
\left( t\right) \right] \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \right\}
\end{eqnarray*}とおきます。曲線\(C\)を定義する複素関数は、\begin{equation*}z\left( t\right) =e^{it}
\end{equation*}である一方で、被積分関数は、\begin{equation*}
f\left( z\right) =\frac{1}{z}
\end{equation*}であるため、\begin{eqnarray*}
\int_{C}\frac{1}{z}dz &=&\int_{C}f\left( z\right) dz \\
&=&\int_{C_{1}}f\left( z\right) dz+\int_{C_{2}}f\left( z\right) dz \\
&=&\int_{-\frac{\pi }{2}}^{0}\left[ f\left( z\left( t\right) \right) \cdot
\frac{dz\left( t\right) }{dt}\right] dt+\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\left[
f\left( z\left( t\right) \right) \cdot \frac{dz\left( t\right) }{dt}\right] dt\quad \because \text{複素線積分の定義} \\
&=&\int_{-\frac{\pi }{2}}^{0}\left[ \frac{1}{e^{it}}\cdot ie^{it}\right] dt+\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\left[ \frac{1}{e^{it}}\cdot ie^{it}\right] dt \\
&=&i\int_{-\frac{\pi }{2}}^{0}1dt+i\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}1dt \\
&=&i\left[ t\right] _{-\frac{\pi }{2}}^{0}+i\left[ t\right] _{0}^{\frac{\pi
}{2}} \\
&=&i\frac{\pi }{2}+i\frac{\pi }{2} \\
&=&\pi i
\end{eqnarray*}となります。続いて、先の命題を用いて計算を行います。\begin{equation*}
\frac{d}{dz}\mathrm{Ln}\left( z\right) =\frac{1}{z}
\end{equation*}であることを踏まえると、\begin{equation*}
F\left( z\right) =\mathrm{Ln}\left( z\right)
\end{equation*}であるため、先の命題より、\begin{eqnarray*}
\int_{C}f\left( z\right) dz &=&F\left( z\left( \frac{\pi }{2}\right) \right)
-F\left( z\left( -\frac{\pi }{2}\right) \right) \\
&=&\mathrm{Ln}\left( z\left( \frac{\pi }{2}\right) \right) -\mathrm{Ln}\left(
z\left( -\frac{\pi }{2}\right) \right) \\
&=&\mathrm{Ln}\left( e^{i\frac{\pi }{2}}\right) -\mathrm{Ln}\left( e^{-i\frac{\pi }{2}}\right) \\
&=&i\frac{\pi }{2}+i\frac{\pi }{2} \\
&=&\pi i
\end{eqnarray*}となり、先と同じ結果が得られました。

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