複素関数の和の複素線積分（和の法則）

滑らかな曲線上に定義された複素関数の和の複素線積分

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された実変数の複素関数\begin{equation*}z:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}から定義された滑らかな曲線\begin{equation*}
C=\left\{ z\left( t\right) \in \mathbb{C} \ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{equation*}および\(C\)上に定義された連続な複素関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{C} \supset C\rightarrow \mathbb{C} \\
g &:&\mathbb{C} \supset C\rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}が与えられた状況を想定します。この場合、\(f,g\)はともに\(C\)に沿って複素積分可能であり、複素積分\begin{eqnarray*}&&\int_{C}f\left( z\right) dz \\
&&\int_{C}g\left( z\right) dz
\end{eqnarray*}がそれぞれ複素数として定まることが保証されます。

複素関数\(f,g:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \)が与えられたとき、それぞれの\(z\in Z\)に対して、\begin{equation*}\left( f+g\right) \left( z\right) =f\left( z\right) +g\left( z\right)
\end{equation*}を値として定める複素関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{C} \supset Z\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能です。この場合\(f+g\)もまた\(C\)に沿って複素積分可能であり、複素積分\begin{equation*}\int_{C}\left( f+g\right) \left( z\right) dz
\end{equation*}が複素数として定まります。しかも、以下の関係\begin{equation*}
\int_{C}\left( f+g\right) \left( z\right) dz=\int_{C}f\left( z\right)
dz+\int_{C}g\left( z\right) dz
\end{equation*}が成り立ちます。

つまり、滑らかな曲線\(C\)上において連続な複素関数\(f,g\)の和の形をしている複素関数\(f+g\)が与えられたとき、\(f,g\)が\(C\)に沿って複素線積分可能だけでなく、\(f+g\)もまた\(C\)に沿って複素積分可能であるとともに、\(f\)の複素積分の値と\(g\)の複素積分の値の和をとれば\(f+g\)の複素積分の値が得られます。

区分的に滑らかな曲線上に定義された複素関数の和の複素線積分

区分的に滑らかな曲線上に定義された複素関数に関しても同様の命題が成り立ちます。