収束する複素数列の絶対値の極限
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が与えられたとき、その一般項\(z_{n}\)の絶対値\begin{equation*}\left\vert z_{n}\right\vert
\end{equation*}を一般項とする実数列\(\left\{ \left\vert z_{n}\right\vert \right\} \)が定義可能です。複素数の絶対値は実数であるため、\(\left\{ \left\vert z_{n}\right\vert\right\} \)は実数列であることに注意してください。
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が複素数へ収束する場合には複素数列\(\left\{ \left\vert z_{n}\right\vert \right\} \)は実数へ収束し、両者の極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert z_{n}\right\vert =\left\vert
\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。
つまり、収束する複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の絶対値の形をしている複素数列\(\left\{ \left\vert z_{n}\right\vert \right\} \)が与えられたとき、\(\left\{ \left\vert z_{n}\right\vert \right\} \)もまた収束することが保証されるとともに、\(\left\{z_{n}\right\} \)の極限の絶対値をとれば\(\left\{ \left\vert z_{n}\right\vert\right\} \)の極限が得られます。
\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。
\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) +\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) i\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
+i\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right)
\end{eqnarray*}となります。先の命題より、この場合には\(\left\{ \left\vert z_{n}\right\vert \right\} \)も収束するとともに、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert z_{n}\right\vert &=&\left\vert
\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}\right\vert \\
&=&\left\vert \lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
+i\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) \right\vert \\
&=&\sqrt{\left[ \lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) \right] ^{2}+\left[ \lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}となります。
\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) +\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) i\right] \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) \quad \because
\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) =0
\end{eqnarray*}となります。先の命題より、この場合には\(\left\{ \left\vert z_{n}\right\vert \right\} \)も収束するとともに、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert z_{n}\right\vert &=&\left\vert
\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}\right\vert \\
&=&\left\vert \lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
\right\vert
\end{eqnarray*}となります。
\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) +\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) i\right] \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left[ \mathrm{Im}\left( z_{n}\right) i\right] \quad \because \mathrm{Re}\left( z_{n}\right) =0 \\
&=&i\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( z_{n}\right)
\end{eqnarray*}となります。先の命題より、この場合には\(\left\{ \left\vert z_{n}\right\vert \right\} \)も収束するとともに、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert z_{n}\right\vert &=&\left\vert
\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}\right\vert \\
&=&\left\vert \lim_{n\rightarrow +\infty }\left( z_{n}\right) \right\vert
\end{eqnarray*}となります。
_{n}\right) i\right] \end{equation*}であるとともに収束する場合には、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\cos
\left( \theta _{n}\right) +i\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\sin \left(
\theta _{n}\right)
\end{equation*}となります。先の命題より、この場合には\(\left\{ \left\vert z_{n}\right\vert \right\} \)も収束するとともに、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert z_{n}\right\vert &=&\left\vert
\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}\right\vert \\
&=&\left\vert \lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\cos \left( \theta
_{n}\right) +i\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\sin \left( \theta
_{n}\right) \right\vert \\
&=&\sqrt{\left[ \lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\cos \left( \theta
_{n}\right) \right] ^{2}+\left[ \lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\sin \left(
\theta _{n}\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}となります。
絶対値の法則の逆は成り立つとは限らない
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が収束する場合には、その絶対値として定義される実数列\(\left\{ \left\vert z_{n}\right\vert \right\} \)もまた収束することが明らかになりました。その一方で、逆の主張は成り立つとは限りません。つまり、複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の絶対値として定義される実数列\(\left\{ \left\vert z_{n}\right\vert \right\} \)が収束する場合、もとの複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)は収束するとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}であるものとします。実数列\(\left\{ \mathrm{Im}\left( z_{n}\right)\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) =\left( -1\right) ^{n}
\end{equation*}ですが、これは振動列であるため振動せず、したがってもとの複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)は収束しません。その一方で、実数列\(\left\{ \left\vert z_{n}\right\vert \right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}\left\vert z_{n}\right\vert &=&\left\vert \left( -1\right) ^{n}i\right\vert
\\
&=&\sqrt{0^{2}+\left( -1\right) ^{2n}} \\
&=&1
\end{eqnarray*}であるため、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert z_{n}\right\vert
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。以上より、\(\left\{ z_{n}\right\} \)は収束しない一方で\(\left\{ \left\vert z_{n}\right\vert\right\} \)は収束することが明らかになりました。
絶対値を用いた複素数列のゼロへの収束判定
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が与えられれば実数列\(\left\{\left\vert z_{n}\right\vert \right\} \)が定義可能ですが、両者の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=0\Leftrightarrow \lim_{n\rightarrow
+\infty }\left\vert z_{n}\right\vert =0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、複素数列\(\left\{z_{n}\right\} \)がゼロへ収束することと実数列\(\left\{ \left\vert z_{n}\right\vert \right\} \)がゼロへ収束することは必要十分です。
+\infty }\left\vert z_{n}\right\vert =0
\end{equation*}が成り立つ。
2つの複素数列\(\left\{ z_{n}\right\},\left\{ w_{n}\right\} \)が以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }w_{n}=0 \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :\left\vert z_{n}\right\vert \leq \left\vert w_{n}\right\vert
\end{eqnarray*}を満たすものとします。この場合には、\(\left\{ z_{n}\right\} \)もまたゼロへ収束します。つまり、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=0
\end{equation*}が成り立つということです。
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :\left\vert z_{n}\right\vert \leq \left\vert w_{n}\right\vert
\end{eqnarray*}を満たす場合には、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=0
\end{equation*}が成り立つ。
複素数列の積のゼロへの収束判定
2つの複素数列\(\left\{ z_{n}\right\},\left\{ w_{n}\right\} \)が以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=0 \\
&&\left( b\right) \ \left\{ w_{n}\right\} \text{は有界}
\end{eqnarray*}を満たすものとします。この場合には、複素数列\(\left\{ z_{n}w_{n}\right\} \)もまたゼロへ収束します。つまり、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}w_{n}=0
\end{equation*}が成り立つということです。
&&\left( b\right) \ \left\{ w_{n}\right\} \text{は有界}
\end{eqnarray*}を満たす場合には、複素数列\(\left\{ z_{n}w_{n}\right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}w_{n}=0
\end{equation*}が成り立つ。
演習問題
c\right\vert \lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert z_{n}\right\vert
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
\leq \lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert z_{n}\right\vert +\lim_{n\rightarrow
+\infty }\left\vert w_{n}\right\vert
\end{equation*}が成り立つことを示してください。加えて、上の不等式は等号で成立するとは限らないことを示してください。
=\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert z_{n}\right\vert \cdot
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert w_{n}\right\vert
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
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