等差複素数列
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の一般項が、定数\(a,d\in \mathbb{C} \)を用いて、\begin{equation*}z_{n}=a+\left( n-1\right) d
\end{equation*}と表される場合、このような複素数列を等差複素数列（arithmetic progression of complex numbers）と呼びます。等差複素数列の項を具体的に列挙すると、\begin{eqnarray*}
z_{1} &=&a \\
z_{2} &=&a+d \\
z_{3} &=&a+2d \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となります。つまり、等差複素数列とは初項が\(a\)であり、なおかつ隣り合う項が共通の差\(d\)を持つ複素数列です。この\(d\)を公差（common difference）と呼びます。
d &=&i
\end{eqnarray*}である場合、一般項は、\begin{equation*}
z_{n}=i+\left( n-1\right) i
\end{equation*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
z_{1} &=&i \\
z_{2} &=&i+i=2i \\
z_{3} &=&i+2i=3i \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。
d &=&2+2i
\end{eqnarray*}である場合、一般項は、\begin{eqnarray*}
z_{n} &=&\left( 1+i\right) +\left( n-1\right) \left( 2+2i\right) \\
&=&\left[ 1+\left( n-1\right) 2\right] +i\left[ 1+\left( n-1\right) 2\right] \\
&=&\left( 2n-1\right) +\left( 2n-1\right) i
\end{eqnarray*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
z_{1} &=&\left( 2-1\right) +\left( 2-1\right) i=1+i \\
z_{2} &=&\left( 4-1\right) +\left( 4-1\right) i=3+3i \\
z_{3} &=&\left( 6-1\right) +\left( 6-1\right) i=5+5i \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。
&=&\left( n-1\right) d
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
z_{1} &=&0 \\
z_{2} &=&d \\
z_{3} &=&2d \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。
&=&a
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
z_{1} &=&a \\
z_{2} &=&a \\
z_{3} &=&a \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。つまり、\(\left\{ z_{n}\right\} \)は定数複素数列です。定数複素数列は公差が\(0\)であるような等差複素数列であるということです。
等差複素数列の再帰的な定義
初項が\(a\)であり公差が\(d\)であるような等差複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)とは、初項が\(a\)であるとともに、隣り合う項が共通の差\(d\)を持つ複素数列であるため、等差複素数列を定義する再帰式は、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{l}
z_{1}=a \\
z_{n}-z_{n-1}=d\end{array}\right.
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
z_{1}=a \\
z_{n}=z_{n-1}+d\end{array}\right.
\end{equation*}となります。実際、この再帰式を利用すると、複素数列\(\left\{z_{n}\right\} \)の項を、\begin{eqnarray*}z_{1} &=&a \\
z_{2} &=&z_{1}+d=a+d \\
z_{3} &=&z_{2}+d=\left( a+d\right) +d=a+2d \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}と次々に特定できるため、\(\left\{ z_{n}\right\} \)は初項が\(a\)であり公差が\(d\)であるような等差複素数列です。
d &=&i
\end{eqnarray*}である場合、これを再帰的に表現すると、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
z_{1}=i \\
z_{n}=z_{n-1}+i\end{array}\right.
\end{equation*}となります。
d &=&2+2i
\end{eqnarray*}である場合、これを再帰的に表現すると、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
z_{1}=1+i \\
z_{n}=z_{n-1}+2+2i\end{array}\right.
\end{equation*}となります。
等差複素数列と等差数列の関係
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}z_{n}=\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) +i\mathrm{Im}\left( z_{n}\right)
\end{equation*}であるものとします。つまり、\(z_{n}\)は複素数ですが、\(\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) \)は\(z_{n}\)の実部であり、\(\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) \)は\(z_{n}\)の虚部であり、これらはともに実数です。したがって、複素数列\(\left\{z_{n}\right\} \)が与えられれば2つの実数列\(\left\{ \mathrm{Re}\left(z_{n}\right) \right\} ,\left\{ \mathrm{Im}\left( z_{n}\right) \right\} \)が得られます。
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が等差複素数列であることと実数列\(\left\{ \mathrm{Re}\left(z_{n}\right) \right\} ,\left\{ \mathrm{Im}\left( z_{n}\right) \right\} \)がともに等差数列であることは必要十分です。しかも、等差複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の初項が\(a\in \mathbb{C} \)であり公差が\(d\in \mathbb{C} \)である場合、すなわち、\begin{equation*}z_{n}=a+\left( n-1\right) d
\end{equation*}と表される場合、以下の関係\begin{eqnarray*}
\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) &=&\mathrm{Re}\left( a\right) +\left( n-1\right)
\mathrm{Re}\left( d\right) \\
\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) &=&\mathrm{Im}\left( a\right) +\left( n-1\right)
\mathrm{Im}\left( d\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、\(\left\{ z_{n}\right\} \)の初項と公差の実部をとれば\(\left\{ \mathrm{Re}\left( z_{n}\right) \right\} \)の初項と公差が得られ、\(\left\{ z_{n}\right\} \)の初項と公差の虚部をとれば\(\left\{ \mathrm{Im}\left( z_{n}\right) \right\} \)の初項と公差が得られます。
\end{equation*}と表される場合、以下の関係\begin{eqnarray*}
\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) &=&\mathrm{Re}\left( a\right) +\left( n-1\right)
\mathrm{Re}\left( d\right) \\
\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) &=&\mathrm{Im}\left( a\right) +\left( n-1\right)
\mathrm{Im}\left( d\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。
等差複素数列の部分和
等差複素数列の部分和、すなわち初項から第\(n\)項までの和は以下の通りです。
\end{equation*}と表されるものとする。この複素数列の部分和は、\begin{equation*}
s_{n}=\frac{n\left[ 2a+\left( n-1\right) d\right] }{2}
\end{equation*}である。
d &=&i
\end{eqnarray*}である場合、先の命題より、その部分和は、\begin{eqnarray*}
s_{n} &=&\frac{n\left[ 2i+\left( n-1\right) i\right] }{2} \\
&=&\frac{n\left[ \left( n+1\right) i\right] }{2} \\
&=&\frac{n\left( n+1\right) }{2}i
\end{eqnarray*}です。
d &=&2+2i
\end{eqnarray*}である場合、先の命題より、その部分和は、\begin{eqnarray*}
s_{n} &=&\frac{n\left[ 2\left( 1+i\right) +\left( n-1\right) \left(
2+2i\right) \right] }{2} \\
&=&\frac{n\left( 2+2i+2n+2ni-2-2i\right) }{2} \\
&=&\frac{n\left( 2n+2ni\right) }{2} \\
&=&n^{2}+n^{2}i
\end{eqnarray*}です。
等差複素数列の極限
公差が\(0\)であるような等差複素数列（すなわち定数複素数列）は収束します。
\end{equation*}と表されるものとする。\begin{equation*}
d=0
\end{equation*}の場合には\(\left\{ z_{n}\right\} \)は複素数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=a
\end{equation*}となる。
公差が\(0\)ではない等差複素数列は収束しません。
\end{equation*}と表されるものとする。\begin{equation*}
d\not=0
\end{equation*}の場合には\(\left\{ z_{n}\right\} \)は収束しない。
d &=&i
\end{eqnarray*}である場合、一般項は、\begin{equation*}
z_{n}=i+\left( n-1\right) i
\end{equation*}となります。公差\(i\)は非ゼロであるため、先の命題より\(\left\{ z_{n}\right\} \)は収束しません。
d &=&2+2i
\end{eqnarray*}である場合、一般項は、\begin{eqnarray*}
z_{n} &=&\left( 1+i\right) +\left( n-1\right) \left( 2+2i\right) \\
&=&\left[ 1+\left( n-1\right) 2\right] +i\left[ 1+\left( n-1\right) 2\right] \\
&=&\left( 2n-1\right) +\left( 2n-1\right) i
\end{eqnarray*}となります。公差\(2+2i\)は非ゼロであるため、先の命題より\(\left\{z_{n}\right\} \)は収束しません。
演習問題
d &=&1-i
\end{eqnarray*}であるものとします。一般項\(z_{n}\)および最初の3つの項\(z_{1},z_{2},z_{3}\)を明らかにしてください。
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