複素数列の収束可能性と部分列の収束可能性の関係
複素数列の収束可能性と部分列の収束可能性の関係についてこれまで明らかになったことを簡単に復習します。
まず、複素数列が収束する場合には、その任意の部分列もまた収束することが保証されます。加えて、複素数列の収束可能性は部分列を用いて以下のように表現することができます。
一方、複素数列が収束しない場合には、収束する部分列が存在する場合とそうでない場合の両方が起こり得ます。まずは収束する部分列が存在する場合です。
\end{equation*}で与えられるものとします。実数列\(\left\{ \mathrm{Im}\left( z_{n}\right) \right\} \)の一般項は、\begin{equation*}\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) =\left( -1\right) ^{n}
\end{equation*}ですが、これは振動列であるため収束せず、したがってもとの複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)もまた収束しません。その一方で、この複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の偶数番目の項からなる部分列\(\left\{ z_{l\left( n\right) }\right\} =\left\{z_{2n}\right\} \)に注目すると、その一般項は、\begin{eqnarray*}z_{l\left( n\right) } &=&z_{2n} \\
&=&\left( -1\right) ^{2n}i \\
&=&i
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }z_{l\left( n\right) } &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }i \\
&=&i
\end{eqnarray*}となります。
続いて収束する部分列が存在しない場合です。
\end{equation*}で与えられるものとします。実数列\(\left\{ \mathrm{Im}\left( z_{n}\right) \right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }n \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立つため、もとの複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)は収束しません。この複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の部分列\(\left\{ z_{l\left( n\right) }\right\} \)を任意に選ぶと、その一般項は、\begin{equation*}z_{l\left( n\right) }=l\left( n\right) i\quad \because \left\{ z_{n}\right\}
\text{の定義}
\end{equation*}となりますが、部分列の定義より\(l:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)は狭義単調増加関数であるため、実数列\(\left\{ \mathrm{Im}\left( z_{l\left( n\right) }\right) \right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{l\left( n\right) }\right)
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }l\left( n\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがってもとの複素数列\(\left\{ z_{l\left( n\right) }\right\} \)は収束しません。任意の部分列について同様であるため、この複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)は収束する部分列を持たないことが明らかになりました。
複素数列に関するボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理
収束する複素数列の任意の部分列は収束する一方で、収束しない複素数列に関しては、その部分列の中に収束するものが存在するケースと存在しないケースの両方が起こり得ることが明らかになりました。
ただ、議論の対象を有界な複素数列に限定すると話は変わります。有界な複素数列が収束する場合、もちろん、その任意の部分列は収束します。一方、有界な複素数列が収束しない場合でも、収束する部分列が存在することを保証できます。つまり、有界な複素数列が与えられた場合、それ自身が収束するかどうかとは関係なく、収束する部分列は必ず存在することは保証されます。つまり、複素数列に関してもボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理(Bolzano-Weierstrauss theorem)が成り立ちます。
以上の命題より、複素数列が与えられたとき、その複素数列が収束するかどうかが分からない場合でも、その複素数列が有界であることさえ保証できれば、その複素数列から収束する部分列を取り出すことができることが明らかになりました。
\end{equation*}で与えられているものとします。\begin{eqnarray*}
-1 &\leq &\left( -1\right) ^{n}\leq 1 \\
0 &\leq &\frac{1}{n}\leq 1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
-1 &\leq &\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) \leq 1 \\
0 &\leq &\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) \leq 1
\end{eqnarray*}が成り立つため実数列\(\left\{ \mathrm{Re}\left( z_{n}\right) \right\} ,\left\{ \mathrm{Im}\left( z_{n}\right) \right\} \)はともに\(\mathbb{R} \)上で有界であり、ゆえに\(\left\{ z_{n}\right\} \)は\(\mathbb{C} \)上で有界です。したがって、複素数列に関するボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理より、この複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)は収束する部分列\(\left\{ z_{l\left( n\right)}\right\} \)を持ちます。実際、この複素数列\(\left\{z_{n}\right\} \)の偶数番目の項からなる部分列\(\left\{ z_{l\left(n\right) }\right\} =\left\{ z_{2n}\right\} \)に注目すると、その一般項は、\begin{eqnarray*}z_{l\left( n\right) } &=&z_{2n} \\
&=&\left( -1\right) ^{2n}+\frac{i}{2n} \\
&=&1+\frac{i}{2n}
\end{eqnarray*}であるため、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{l\left( n\right) } &=&\lim_{n\rightarrow
+\infty }\left( 1+\frac{i}{2n}\right) \\
&=&1+0i \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。
有界ではない複素数列に対してボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理を適用することはできません。つまり、有界でない複素数列は収束する部分列を持つとは限りません。
\end{equation*}で与えられるものとします。実数列\(\left\{ \mathrm{Im}\left( z_{n}\right) \right\} \)の一般項は、\begin{equation*}\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) =n
\end{equation*}ですが、これは\(\mathbb{R} \)上で有界ではないため、もとの複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)は\(\mathbb{C} \)上で有界ではありません。したがって、\(\left\{ z_{n}\right\} \)は複素数列に関するボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理が要求する条件を満たさないため、\(\left\{ z_{n}\right\} \)が収束する部分列を持つことを保証できません。実際、先に例を通じて確認したように、\(\left\{ z_{n}\right\} \)の任意の部分列は収束しません。
有界な複素数列の部分列は収束するとは限らない
ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理より、有界な複素数列は収束する部分列を持つことが明らかになりました。ただ、この定理は、有界な複素数列の任意の部分列が収束するとまでは主張していません。有界な複素数列は必ず収束する部分列を持つ一方で、収束しない部分列もまた存在し得ます。以下の例より明らかです。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】