コーシー列は有界
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)がコーシー列であることとは、ある項より先にある任意の2つの項の間の距離が限りなく小さくことを意味しますが、これを厳密に表現すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert z_{m}-z_{n}\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が有界であることとは、すべての項の絶対値がある値以下であること、すなわち、\begin{equation*}\exists U\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left\vert z_{n}\right\vert \leq U
\end{equation*}が成り立つことを意味します。ちなみに、この命題は以下の命題\begin{equation*}
\exists z\in \mathbb{C} ,\ \exists \varepsilon >0,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left\vert z-z_{n}\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}と必要十分です。
コーシー列は有界であることが保証されます。
命題（コーシー列は有界）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)がコーシー列であるならば、\(\left\{ z_{n}\right\} \)は有界である。
例（コーシー列は有界）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}z_{n}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n}i
\end{equation*}であるものとします。この複素数列がコーシー列であることを示します。コーシー列の定義より、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert z_{m}-z_{n}\right\vert
<\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を示すことが目標です。番号\(N\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、それに対して\(m\geq N\)かつ\(n\geq N\)を満たす\(m,n\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\begin{eqnarray*}\left\vert z_{m}-z_{n}\right\vert &=&\left\vert \left( \frac{1}{m}+\frac{1}{m}i\right) -\left( \frac{1}{n}+\frac{1}{n}i\right) \right\vert \\
&=&\left\vert \left( \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right) +\left( \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right) i\right\vert \\
&=&\sqrt{\left( \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right) ^{2}+\left( \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right) ^{2}} \\
&=&\sqrt{2}\left\vert \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right\vert \\
&\leq &\sqrt{2}\left( \frac{1}{m}+\frac{1}{n}\right) \quad \because m,n\in \mathbb{N} \\
&\leq &\sqrt{2}\left( \frac{1}{N}+\frac{1}{N}\right) \quad \because m,n\geq N
\\
&=&\frac{2\sqrt{2}}{N}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation}
\forall N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert z_{m}-z_{n}\right\vert
\leq \frac{2\sqrt{2}}{N}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。\(\left( 2\right) \)を用いて\(\left( 1\right) \)を示します。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。それに対して、\begin{equation}\frac{2\sqrt{2}}{N}<\varepsilon \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たすほど十分大きい番号\(N\in \mathbb{N} \)を選びます。\(\left( 2\right) \)は任意の番号\(N\)について成り立つため、\(\left( 3\right) \)を満たす\(N\)についても\(\left( 2\right) \)が成り立つことに注意してください。したがって、\(m\geq N\)かつ\(n\geq N\)を満たす\(m,n\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\begin{eqnarray*}\left\vert z_{m}-z_{n}\right\vert &\leq &\frac{2\sqrt{2}}{N}\quad \because
\left( 2\right) \\
&<&\varepsilon \quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 1\right) \)の証明が完了しました。したがって\(\left\{ z_{n}\right\} \)はコーシー列です。すると先の命題より\(\left\{ z_{n}\right\} \)は有界であることが保証されます。実際、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}\left\vert z_{n}\right\vert &=&\left\vert \frac{1}{n}+\frac{1}{n}i\right\vert \\
&=&\sqrt{\left( \frac{1}{n}\right) ^{2}+\left( \frac{1}{n}\right) ^{2}} \\
&=&\sqrt{\frac{2}{n^{2}}} \\
&=&\frac{\sqrt{2}}{n}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :\frac{\sqrt{2}}{n}\leq \sqrt{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :\left\vert z_{n}\right\vert \leq \sqrt{2}
\end{equation*}が成り立つため\(\left\{z_{n}\right\} \)は有界です。
\end{equation*}であるものとします。この複素数列がコーシー列であることを示します。コーシー列の定義より、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert z_{m}-z_{n}\right\vert
<\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を示すことが目標です。番号\(N\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、それに対して\(m\geq N\)かつ\(n\geq N\)を満たす\(m,n\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\begin{eqnarray*}\left\vert z_{m}-z_{n}\right\vert &=&\left\vert \left( \frac{1}{m}+\frac{1}{m}i\right) -\left( \frac{1}{n}+\frac{1}{n}i\right) \right\vert \\
&=&\left\vert \left( \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right) +\left( \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right) i\right\vert \\
&=&\sqrt{\left( \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right) ^{2}+\left( \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right) ^{2}} \\
&=&\sqrt{2}\left\vert \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right\vert \\
&\leq &\sqrt{2}\left( \frac{1}{m}+\frac{1}{n}\right) \quad \because m,n\in \mathbb{N} \\
&\leq &\sqrt{2}\left( \frac{1}{N}+\frac{1}{N}\right) \quad \because m,n\geq N
\\
&=&\frac{2\sqrt{2}}{N}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation}
\forall N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert z_{m}-z_{n}\right\vert
\leq \frac{2\sqrt{2}}{N}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。\(\left( 2\right) \)を用いて\(\left( 1\right) \)を示します。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。それに対して、\begin{equation}\frac{2\sqrt{2}}{N}<\varepsilon \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たすほど十分大きい番号\(N\in \mathbb{N} \)を選びます。\(\left( 2\right) \)は任意の番号\(N\)について成り立つため、\(\left( 3\right) \)を満たす\(N\)についても\(\left( 2\right) \)が成り立つことに注意してください。したがって、\(m\geq N\)かつ\(n\geq N\)を満たす\(m,n\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\begin{eqnarray*}\left\vert z_{m}-z_{n}\right\vert &\leq &\frac{2\sqrt{2}}{N}\quad \because
\left( 2\right) \\
&<&\varepsilon \quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 1\right) \)の証明が完了しました。したがって\(\left\{ z_{n}\right\} \)はコーシー列です。すると先の命題より\(\left\{ z_{n}\right\} \)は有界であることが保証されます。実際、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}\left\vert z_{n}\right\vert &=&\left\vert \frac{1}{n}+\frac{1}{n}i\right\vert \\
&=&\sqrt{\left( \frac{1}{n}\right) ^{2}+\left( \frac{1}{n}\right) ^{2}} \\
&=&\sqrt{\frac{2}{n^{2}}} \\
&=&\frac{\sqrt{2}}{n}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :\frac{\sqrt{2}}{n}\leq \sqrt{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :\left\vert z_{n}\right\vert \leq \sqrt{2}
\end{equation*}が成り立つため\(\left\{z_{n}\right\} \)は有界です。
有界な複素数列はコーシー列であるとは限らない
複素数列がコーシー列である場合、その複素数列は有界であることが明らかになりましたが、その逆は成立するとは限りません。つまり、有界な複素数列はコーシー列であるとは限りません。以下の例より明らかです。
例（有界だがコーシー列ではない複素数列）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}z_{n}=\left( -1\right) ^{n}i
\end{equation*}であるものとします。この複素数列は有界です。実際、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}\left\vert z_{n}\right\vert &=&\sqrt{\left( -1\right) ^{n}i} \\
&=&\sqrt{0^{2}+\left( -1\right) ^{2n}} \\
&=&\sqrt{1} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :\left\vert z_{n}\right\vert \leq 1
\end{equation*}であり、したがって\(\left\{ z_{n}\right\} \)は有界です。その一方では、\(\left\{z_{n}\right\} \)は収束しません。
\end{equation*}であるものとします。この複素数列は有界です。実際、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}\left\vert z_{n}\right\vert &=&\sqrt{\left( -1\right) ^{n}i} \\
&=&\sqrt{0^{2}+\left( -1\right) ^{2n}} \\
&=&\sqrt{1} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :\left\vert z_{n}\right\vert \leq 1
\end{equation*}であり、したがって\(\left\{ z_{n}\right\} \)は有界です。その一方では、\(\left\{z_{n}\right\} \)は収束しません。
複素数列がコーシー列ではないことの判定
コーシー列は有界であることが明らかになりました。対偶より、有界ではない複素数列はコーシー列ではありません。したがって、複素数列が有界ではないことを証明できれば、その複素数列がコーシー列ではないことを示したことになります。
例（複素数列がコーシー列ではないことの判定）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}z_{n}=ni
\end{equation*}であるものとします。この複素数列は有界ではありません。実際、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}\left\vert z_{n}\right\vert &=&\left\vert ni\right\vert \\
&=&\sqrt{0^{2}+n^{2}} \\
&=&\sqrt{n^{2}} \\
&=&n
\end{eqnarray*}となりますが、\begin{equation*}
\forall U\in \mathbb{R} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :n>U
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall U\in \mathbb{R} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left\vert z_{n}\right\vert >U
\end{equation*}が成り立つため\(\left\{z_{n}\right\} \)は有界ではありません。有界ではない複素数列はコーシー列ではないため\(\left\{z_{n}\right\} \)はコーシー列ではありません。
\end{equation*}であるものとします。この複素数列は有界ではありません。実際、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}\left\vert z_{n}\right\vert &=&\left\vert ni\right\vert \\
&=&\sqrt{0^{2}+n^{2}} \\
&=&\sqrt{n^{2}} \\
&=&n
\end{eqnarray*}となりますが、\begin{equation*}
\forall U\in \mathbb{R} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :n>U
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall U\in \mathbb{R} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left\vert z_{n}\right\vert >U
\end{equation*}が成り立つため\(\left\{z_{n}\right\} \)は有界ではありません。有界ではない複素数列はコーシー列ではないため\(\left\{z_{n}\right\} \)はコーシー列ではありません。
コーシー列は収束する部分列を持つ
コーシー列は有界であることが明らかになりました。一般に、有界な複素数列は複素数へ収束する部分列を持つため（複素数列に関するボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理）、有界な複素数列であるコーシー列もまた、複素数へ収束する部分列を持ちます。
命題（コーシー列は収束する部分列を持つ）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)がコーシー列であるならば、\(\left\{ z_{n}\right\} \)の部分列の中に複素数へ収束するものが存在する。
演習問題
問題（有界なコーシー列）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}z_{n}=\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{n^{2}}i
\end{equation*}であるものとします。この複素数列が有界なコーシー列であることを示してください。
\end{equation*}であるものとします。この複素数列が有界なコーシー列であることを示してください。
問題（有界なコーシー列）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の一般項が、極形式の複素数\begin{equation*}z_{n}=\frac{1}{n}\left[ \cos \left( \frac{n\pi }{4}\right) +\sin \left(
\frac{n\pi }{4}\right) i\right] \end{equation*}であるものとします。この複素数列が有界なコーシー列であることを示してください。
\frac{n\pi }{4}\right) i\right] \end{equation*}であるものとします。この複素数列が有界なコーシー列であることを示してください。
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