複素平面上のコーシー列
複素数列のある項より先にある任意の2つの項の間の距離が限りなく小さくなるとき、この複素数列をコーシー列（Cauchy sequence）や基本列（fundamental sequence）などと呼びます。ただ、コーシー列に関して議論を厳密に行うためには「限りなく小さくなる」ことを明確に定式化しておく必要があります。
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の2つの項\(z_{m},z_{n}\)を任意に選んだとき、それらの距離は、\begin{equation*}\left\vert z_{m}-z_{n}\right\vert
\end{equation*}と定義されます。この複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)がコーシー列であるならば、どれほど小さい実数\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ場合においても、ある番号\(N\in \mathbb{N} \)が存在して、この複素数列の第\(N\)項より先にある任意の2つの項\(z_{m},z_{n}\)の間の距離\(\left\vert z_{m}-z_{n}\right\vert \)が\(\varepsilon \)よりも小さくなるはずです。以上の主張を定式化すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert z_{m}-z_{n}\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。以上によって複素数列\(\left\{z_{n}\right\} \)がコーシー列であることの定義とします。
コーシー列とは項の番号を大きくしていくと項の変化がどこまでも小さくなっていく複素数列です。したがって、複素平面上にコーシー列の項を描画していくとそのうち動かなくなり、ほとんど重なっていきます。そのようなこともありコーシー列はいかにも収束しそうですが、実際のところはどうでしょうか。後ほどコーシー列と収束列の関係を議論します。
\end{equation*}であるものとします。この複素数列がコーシー列であることを示します。コーシー列の定義より、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert z_{m}-z_{n}\right\vert
<\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を示すことが目標です。番号\(N\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、それに対して\(m\geq N\)かつ\(n\geq N\)を満たす\(m,n\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\begin{eqnarray*}\left\vert z_{m}-z_{n}\right\vert &=&\left\vert \left( \frac{1}{m}+\frac{1}{m}i\right) -\left( \frac{1}{n}+\frac{1}{n}i\right) \right\vert \\
&=&\left\vert \left( \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right) +\left( \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right) i\right\vert \\
&=&\sqrt{\left( \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right) ^{2}+\left( \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right) ^{2}} \\
&=&\sqrt{2}\left\vert \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right\vert \\
&\leq &\sqrt{2}\left( \frac{1}{m}+\frac{1}{n}\right) \quad \because m,n\in \mathbb{N} \\
&\leq &\sqrt{2}\left( \frac{1}{N}+\frac{1}{N}\right) \quad \because m,n\geq N
\\
&=&\frac{2\sqrt{2}}{N}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation}
\forall N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert z_{m}-z_{n}\right\vert
\leq \frac{2\sqrt{2}}{N}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。\(\left( 2\right) \)を用いて\(\left( 1\right) \)を示します。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。それに対して、\begin{equation}\frac{2\sqrt{2}}{N}<\varepsilon \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たすほど十分大きい番号\(N\in \mathbb{N} \)を選びます。\(\left( 2\right) \)は任意の番号\(N\)について成り立つため、\(\left( 3\right) \)を満たす\(N\)についても\(\left( 2\right) \)が成り立つことに注意してください。したがって、\(m\geq N\)かつ\(n\geq N\)を満たす\(m,n\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\begin{eqnarray*}\left\vert z_{m}-z_{n}\right\vert &\leq &\frac{2\sqrt{2}}{N}\quad \because
\left( 2\right) \\
&<&\varepsilon \quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 1\right) \)の証明が完了しました。
コーシー列ではないことの意味
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)がコーシー列であることは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert z_{m}-z_{n}\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されるため、複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)がコーシー列ではないこととは、上の命題の否定である以下の命題\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists m\in \mathbb{N} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\wedge \left\vert z_{m}-z_{n}\right\vert \geq
\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、正の実数\(\varepsilon \)を適当に選ぶと、複素数列\(\{z_{n}\}\)のどの番号\(N\)以降の項についても、それらの距離が\(\varepsilon \)以上になってしまうような2つの項\(z_{m},z_{n}\)が存在するということです。
z_{n}=ni
\end{equation*}で与えられる複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)について考えます。隣り合う2つの番号\(n,n+1\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left\vert z_{n+1}-z_{n}\right\vert &=&\left\vert \left( n+1\right)
i-ni\right\vert \\
&=&\left\vert i\right\vert \\
&=&\sqrt{0^{2}+1^{2}} \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、番号\(n\)がいくら大きくなっても隣り合う項の差は\(1\)のままで一定です。したがって、この複素数列\(\{z_{n}\}\)はコーシー列ではないことが予想されますが、そのことを厳密に証明します。つまり、\begin{equation}\exists \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists m\in \mathbb{N} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\wedge \left\vert z_{m}-z_{n}\right\vert \geq
\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を示すことが目標です。\(\left( 1\right) \)を満たす\(\varepsilon \)の候補として、\begin{equation*}\varepsilon =1
\end{equation*}に注目します。番号\(N\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、それに対して、\begin{eqnarray*}m &=&N+1\in \mathbb{N} \\
n &=&N+2\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}に注目します。明らかに\(m\geq N\)かつ\(n\geq N\)です。さらに、\begin{eqnarray*}\left\vert z_{m}-z_{n}\right\vert &=&\left\vert mi-ni\right\vert \quad
\because \left\{ z_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\left\vert \left( m-n\right) i\right\vert \\
&=&\left\vert \left[ \left( N+1\right) -\left( N+2\right) \right] i\right\vert \quad \because m=N+1,\ n=N+2 \\
&=&\left\vert -i\right\vert \\
&=&\sqrt{0^{2}+\left( -1\right) ^{2}} \\
&=&1 \\
&\geq &\varepsilon \quad \because \varepsilon =1
\end{eqnarray*}となるため\(\left( 1\right) \)の証明が完了しました。
コーシー列であることの判定
定義にもとづいて複素数列がコーシー列であることを示すのはやや面倒です。より扱いやすい判定条件はないでしょうか。
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が与えられたとき、\(0<\alpha <1\)を満たす実数\(\alpha \in \mathbb{R} \)が存在して、任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}\left\vert z_{n+2}-z_{n+1}\right\vert \leq \alpha \left\vert
z_{n+1}-z_{n}\right\vert
\end{equation*}が成り立つ場合、この複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)はコーシー列になります。つまり、複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の隣り合う3つの項\(z_{n},z_{n+1},z_{n+2}\)を任意に選んだとき、2番目と3番目の項の間の距離\(\left\vert z_{n+2}-z_{n+1}\right\vert \)が、1番目と2番目の項の間の距離\(\left\vert z_{n+1}-z_{n}\right\vert \)よりも小さくなるということです。コーシー列とは項の番号を大きくしていくと項の変化がどこまでも小さくなっていく複素数列であることを踏まえると、以上の条件を満たす複素数列がコーシー列であることは明らかであるように思われます（演習問題）。
z_{n+1}-z_{n}\right\vert
\end{equation*}が成り立つならば、この複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)はコーシー列である。
z_{n}=\frac{i}{2^{n}}
\end{equation*}で与えられる複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)について考えます。任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}\left\vert z_{n+2}-z_{n+1}\right\vert &=&\left\vert \frac{i}{2^{n+2}}-\frac{i}{2^{n+1}}\right\vert \quad \because \left\{ z_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\frac{1}{2}\left\vert \frac{i}{2^{n+1}}-\frac{i}{2^{n}}\right\vert \\
&=&\frac{1}{2}\left\vert z_{n+1}-z_{n}\right\vert \quad \because \left\{
z_{n}\right\} \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\begin{equation*}
\exists \frac{1}{2}\in \left( 0,1\right) ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left\vert z_{n+2}-z_{n+1}\right\vert \leq \frac{1}{2}\left\vert
z_{n+1}-z_{n}\right\vert
\end{equation*}を得ます。したがって先の命題より、この複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)はコーシー列です。
演習問題
\end{equation*}であるものとします。この複素数列がコーシー列であることを示してください。
\end{equation*}であるものとします。この複素数列がコーシー列ではないことを示してください。
\right)
\end{equation*}を満たすことは、\(\left\{z_{n}\right\} \)がコーシー列であるための必要十分条件であることを証明してください。
<\varepsilon \right)
\end{equation*}を満たすことは、\(\left\{z_{n}\right\} \)がコーシー列であるための必要十分条件であることを証明してください。
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