収束する複素数列の共役の極限
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が与えられたとき、その一般項\(z_{n}\)の共役複素数\begin{equation*}\overline{z_{n}}
\end{equation*}を一般項とする新たな複素数列\(\left\{ \overline{z_{n}}\right\} \)が定義可能です。
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が複素数へ収束する場合には複素数列\(\left\{ \overline{z_{n}}\right\} \)もまた複素数へ収束し、両者の極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\overline{z_{n}}=\overline{\lim_{n\rightarrow
+\infty }z_{n}}
\end{equation*}が成り立ちます。
つまり、収束する複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の共役複素数の形をしている複素数列\(\left\{ \overline{z_{n}}\right\} \)が与えられたとき、\(\left\{ \overline{z_{n}}\right\} \)もまた収束することが保証されるとともに、\(\left\{ z_{n}\right\} \)の極限の共役複素数をとれば\(\left\{ \overline{z_{n}}\right\} \)の極限が得られます。
+\infty }z_{n}}
\end{equation*}が成り立つ。
\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) +\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) i\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
+i\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right)
\end{eqnarray*}となります。先の命題より、この場合には\(\left\{ \overline{z_{n}}\right\} \)も収束するとともに、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\overline{z_{n}} &=&\overline{\lim_{n\rightarrow
+\infty }z_{n}} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
-i\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right)
\end{eqnarray*}となります。
\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) +\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) i\right] \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) \quad \because
\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) =0
\end{eqnarray*}となります。先の命題より、この場合には\(\left\{ \overline{z_{n}}\right\} \)も収束するとともに、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\overline{z_{n}} &=&\overline{\lim_{n\rightarrow
+\infty }z_{n}} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
\end{eqnarray*}となります。
\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) +\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) i\right] \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left[ \mathrm{Im}\left( z_{n}\right) i\right] \quad \because \mathrm{Re}\left( z_{n}\right) =0 \\
&=&i\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( z_{n}\right)
\end{eqnarray*}となります。先の命題より、この場合には\(\left\{ \overline{z_{n}}\right\} \)も収束するとともに、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\overline{z_{n}} &=&\overline{\lim_{n\rightarrow
+\infty }z_{n}} \\
&=&-i\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( z_{n}\right)
\end{eqnarray*}となります。
_{n}\right) i\right] \end{equation*}であるとともに収束する場合には、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\cos
\left( \theta _{n}\right) +i\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\sin \left(
\theta _{n}\right)
\end{equation*}となります。先の命題より、この場合には\(\left\{ \overline{z_{n}}\right\} \)も収束するとともに、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\overline{z_{n}} &=&\overline{\lim_{n\rightarrow
+\infty }z_{n}} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\cos \left( \theta _{n}\right)
-i\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\sin \left( \theta _{n}\right)
\end{eqnarray*}となります。
共役複素数を用いた複素数列の収束可能性の特徴づけ
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が収束する場合にはその共役\(\left\{ \overline{z_{n}}\right\} \)もまた収束することが明らかになりました。逆に、共役\(\left\{ \overline{z_{n}}\right\} \)が収束する場合、共役の共役はもとの複素数と一致するため、\begin{equation*}\overline{\left( \overline{z_{n}}\right) }=z_{n}
\end{equation*}を得るため、\(\left\{ \overline{z_{n}}\right\} \)の共役と一致する\(\left\{ z_{n}\right\} \)は収束します。以上より、\(\left\{ z_{n}\right\} \)が収束することと\(\left\{ \overline{z_{n}}\right\} \)が収束は必要十分であることが明らかになりました。
+\infty }z_{n}}
\end{equation*}が成り立つ。
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が収束することとその共役\(\left\{ \overline{z_{n}}\right\} \)が収束することは必要十分であることが明らかになりました。したがって、複素数列\(\left\{z_{n}\right\} \)が収束しないこととその共役\(\left\{ \overline{z_{n}}\right\} \)が収束しないことは必要十分です。
演習問題
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
+\infty }\overline{z_{n}}
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
+\infty }\overline{z_{n}}+\lim_{n\rightarrow +\infty }\overline{w_{n}}
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
}\overline{z_{n}}\cdot \lim_{n\rightarrow +\infty }\overline{w_{n}}
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
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