収束する複素数列の定数倍の極限
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)と複素数\(c\in \mathbb{C} \)が与えられたとき、\begin{equation*}cz_{n}
\end{equation*}を一般項とする新たな複素数列\(\left\{ cz_{n}\right\} \)が定義可能です。
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が複素数へ収束する場合には複素数列\(\left\{ cz_{n}\right\} \)もまた複素数へ収束し、両者の極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }cz_{n}=c\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}
\end{equation*}が成り立ちます。
つまり、収束する複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の複素数倍の形をしている複素数列\(\left\{ cz_{n}\right\} \)が与えられたとき、\(\left\{cz_{n}\right\} \)もまた収束することが保証されるとともに、\(\left\{ z_{n}\right\} \)の極限を\(c\)倍すれば\(\left\{ cz_{n}\right\} \)の極限が得られます。したがって、何らかの複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の複素数倍の形をしている複素数列\(\left\{cz_{n}\right\} \)の収束可能性を検討する際には、複素数列の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(\left\{z_{n}\right\} \)を分けた上で、\(\left\{ z_{n}\right\} \)が収束することを確認すればよいということになります。
命題（収束する複素数列の定数倍の極限）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)と複素数\(c\in \mathbb{C} \)がそれぞれ与えられたとき、そこから複素数列\(\left\{ cz_{n}\right\} \)を定義する。\(\left\{ z_{n}\right\} \)が複素数へ収束する場合には\(\left\{ cz_{n}\right\} \)もまた複素数へ収束し、それらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }cz_{n}=c\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}が成り立つ。
例（収束する複素数列の複素数倍の極限）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)と複素数\(a+bi\in \mathbb{C} \)から複素数列\(\left\{ \left( a+bi\right)z_{n}\right\} \)を定義します。\(\left\{ z_{n}\right\} \)が収束する場合には、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left(
\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) +\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) i\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
+i\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right)
\end{eqnarray*}となります。さらに先の命題より、この場合には\(\left\{ \left( a+bi\right) z_{n}\right\} \)も収束するとともに、その極限は、\begin{eqnarray*}&&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( a+bi\right) z_{n} \\
&=&\left( a+bi\right) \lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n} \\
&=&\left( a+bi\right) \left[ \lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left(
z_{n}\right) +i\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) \right] \\
&=&\left[ a\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
-b\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) \right] +\left[
a\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right)
+b\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) \right] i
\end{eqnarray*}となります。
\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) +\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) i\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
+i\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right)
\end{eqnarray*}となります。さらに先の命題より、この場合には\(\left\{ \left( a+bi\right) z_{n}\right\} \)も収束するとともに、その極限は、\begin{eqnarray*}&&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( a+bi\right) z_{n} \\
&=&\left( a+bi\right) \lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n} \\
&=&\left( a+bi\right) \left[ \lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left(
z_{n}\right) +i\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) \right] \\
&=&\left[ a\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
-b\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) \right] +\left[
a\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right)
+b\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) \right] i
\end{eqnarray*}となります。
例（収束する複素数列の実数倍の極限）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)と実数\(a\in \mathbb{C} \)から複素数列\(\left\{ az_{n}\right\} \)を定義します。\(\left\{z_{n}\right\} \)が収束する場合には、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left(
\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) +\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) i\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
+i\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right)
\end{eqnarray*}となります。さらに先の命題より、この場合には\(\left\{ az_{n}\right\} \)も収束するとともに、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }az_{n} &=&a\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n} \\
&=&a\left[ \lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
+i\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) \right] \\
&=&a\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
+ia\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right)
\end{eqnarray*}となります。
\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) +\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) i\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
+i\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right)
\end{eqnarray*}となります。さらに先の命題より、この場合には\(\left\{ az_{n}\right\} \)も収束するとともに、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }az_{n} &=&a\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n} \\
&=&a\left[ \lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
+i\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) \right] \\
&=&a\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
+ia\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right)
\end{eqnarray*}となります。
例（収束する複素数列の純虚数倍の極限）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)と純虚数\(bi\in \mathbb{C} \)から複素数列\(\left\{ biz_{n}\right\} \)を定義します。\(\left\{z_{n}\right\} \)が収束する場合には、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left(
\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) +\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) i\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
+i\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right)
\end{eqnarray*}となります。さらに先の命題より、この場合には\(\left\{ biz_{n}\right\} \)も収束するとともに、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }biz_{n} &=&bi\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n} \\
&=&bi\left[ \lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
+i\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) \right] \\
&=&bi\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
+bi^{2}\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) \\
&=&-b\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right)
+ib\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
\end{eqnarray*}となります。
\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) +\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) i\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
+i\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right)
\end{eqnarray*}となります。さらに先の命題より、この場合には\(\left\{ biz_{n}\right\} \)も収束するとともに、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }biz_{n} &=&bi\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n} \\
&=&bi\left[ \lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
+i\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) \right] \\
&=&bi\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
+bi^{2}\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) \\
&=&-b\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right)
+ib\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
\end{eqnarray*}となります。
例（収束する複素数列の複素数倍の極限）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)と複素数\(a+bi\in \mathbb{C} \)から複素数列\(\left\{ \left( a+bi\right)z_{n}\right\} \)を定義します。\(\left\{ z_{n}\right\} \)の一般項が極形式の複素数\begin{equation*}z_{n}=r_{n}\left[ \cos \left( \theta _{n}\right) +\sin \left( \theta
_{n}\right) i\right] \end{equation*}であるとともに収束する場合には、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\cos
\left( \theta _{n}\right) +i\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\sin \left(
\theta _{n}\right)
\end{equation*}となります。さらに先の命題より、この場合には\(\left\{ \left( a+bi\right) z_{n}\right\} \)も収束するとともに、その極限は、\begin{eqnarray*}&&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( a+bi\right) z_{n} \\
&=&\left( a+bi\right) \lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n} \\
&=&\left( a+bi\right) \left[ \lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\cos \left(
\theta _{n}\right) +i\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\sin \left( \theta
_{n}\right) \right] \\
&=&\left[ a\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\cos \left( \theta _{n}\right)
-b\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\sin \left( \theta _{n}\right) \right] +\left[ a\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\sin \left( \theta _{n}\right)
+b\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\cos \left( \theta _{n}\right) \right] i
\end{eqnarray*}となります。
_{n}\right) i\right] \end{equation*}であるとともに収束する場合には、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\cos
\left( \theta _{n}\right) +i\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\sin \left(
\theta _{n}\right)
\end{equation*}となります。さらに先の命題より、この場合には\(\left\{ \left( a+bi\right) z_{n}\right\} \)も収束するとともに、その極限は、\begin{eqnarray*}&&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( a+bi\right) z_{n} \\
&=&\left( a+bi\right) \lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n} \\
&=&\left( a+bi\right) \left[ \lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\cos \left(
\theta _{n}\right) +i\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\sin \left( \theta
_{n}\right) \right] \\
&=&\left[ a\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\cos \left( \theta _{n}\right)
-b\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\sin \left( \theta _{n}\right) \right] +\left[ a\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\sin \left( \theta _{n}\right)
+b\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\cos \left( \theta _{n}\right) \right] i
\end{eqnarray*}となります。
定数倍の法則の逆は成り立つとは限らない
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が収束する場合には、その複素数倍として定義される複素数列\(\left\{cz_{n}\right\} \)もまた収束することが明らかになりました。その一方で、逆の主張は成り立つとは限りません。つまり、複素数列\(\left\{z_{n}\right\} \)の複素数倍として定義される複素数列\(\left\{ cz_{n}\right\} \)が収束する場合、もとの複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)は収束するとは限りません。以下の例より明らかです。
例（収束しない複素数列の複素数倍）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}z_{n}=ni
\end{equation*}であるものとします。実数列\(\left\{ \mathrm{Im}\left( z_{n}\right)\right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }n \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立つため、もとの複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)は収束しません。その一方で、複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の複素数\(0\)倍として定義される複素数列\(\left\{ 0z_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}0z_{n}=0
\end{equation*}であるため、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }0z_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}を得ます。以上より、\(\left\{ 0z_{n}\right\} \)は収束する一方で\(\left\{ z_{n}\right\} \)は収束しないことが明らかになりました。
\end{equation*}であるものとします。実数列\(\left\{ \mathrm{Im}\left( z_{n}\right)\right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }n \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立つため、もとの複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)は収束しません。その一方で、複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の複素数\(0\)倍として定義される複素数列\(\left\{ 0z_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}0z_{n}=0
\end{equation*}であるため、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }0z_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}を得ます。以上より、\(\left\{ 0z_{n}\right\} \)は収束する一方で\(\left\{ z_{n}\right\} \)は収束しないことが明らかになりました。
演習問題
問題（定数倍の法則が要求する条件の吟味）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)と複素数\(c\in \mathbb{C} \)が与えられたとき、\(\left\{ z_{n}\right\} \)が複素数へ収束する場合には、定数倍の法則より、複素数列\(\left\{ cz_{n}\right\} \)もまた複素数へ収束します。そこで、複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が複素数へ収束しない場合には、複素数列\(\left\{ cz_{n}\right\} \)もまた複素数へ収束しない事態が起こり得ることを示してください。
問題（複素数列の定数倍の極限）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が複素数へ収束する場合には、以下の命題\begin{equation*}-\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty }\left(
-z_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
-z_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
問題（複素数列の定数倍の極限）
実数列\(\left\{ b_{n}\right\} \)は収束するとともに、その極限は、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }b_{n}=b\in \mathbb{R} \end{equation*}であるものとします。以下の複素数列\begin{equation*}
\left\{ \left( a+ci\right) b_{n}i\right\}
\end{equation*}の極限を求めてください。ただし、\(a,c\in \mathbb{R} \)です。
\left\{ \left( a+ci\right) b_{n}i\right\}
\end{equation*}の極限を求めてください。ただし、\(a,c\in \mathbb{R} \)です。
問題（複素数列の定数倍の極限）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)と非ゼロの複素数\(c\in \mathbb{C} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\frac{z_{n}}{c}
\end{equation*}を一般項とする新たな複素数列\(\left\{ \frac{z_{n}}{c}\right\} \)が定義可能です。\(\left\{z_{n}\right\} \)が複素数へ収束する場合には\(\left\{ \frac{z_{n}}{c}\right\} \)もまた複素数へ収束するとともに、両者の極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{z_{n}}{c}=\frac{\lim\limits_{n\rightarrow
+\infty }z_{n}}{c}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}を一般項とする新たな複素数列\(\left\{ \frac{z_{n}}{c}\right\} \)が定義可能です。\(\left\{z_{n}\right\} \)が複素数へ収束する場合には\(\left\{ \frac{z_{n}}{c}\right\} \)もまた複素数へ収束するとともに、両者の極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{z_{n}}{c}=\frac{\lim\limits_{n\rightarrow
+\infty }z_{n}}{c}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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