複素数列の極限の直感的な定義
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)とは無限個の複素数を順番に並べたもの\begin{equation*}z_{1},z_{2},\cdots ,z_{n},\cdots
\end{equation*}ですが、\(n\)が大きくなるにつれて項\(z_{n}\)がある複素数\(a\)へ限りなく近づく場合、この複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)は複素数\(a\)に収束する（converge）と言い、そのことを、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=a
\end{equation*}で表記します。また、このような複素数\(a\)を複素数列\(\{z_{n}\}\)の極限（limit）と呼びます。
\frac{n\pi }{4}\right) i\right] \end{equation*}であるものとします。項を具体的に列挙すると、\begin{eqnarray*}
z_{1} &=&\cos \left( \frac{\pi }{4}\right) +\sin \left( \frac{\pi }{4}\right) i \\
z_{2} &=&\frac{1}{2}\left[ \cos \left( \frac{\pi }{2}\right) +\sin \left(
\frac{\pi }{2}\right) i\right] \\
z_{3} &=&\frac{1}{3}\left[ \cos \left( \frac{3\pi }{4}\right) +\sin \left(
\frac{3\pi }{4}\right) i\right] \\
z_{4} &=&\frac{1}{4}\left[ \cos \left( \pi \right) +\sin \left( \pi \right) i\right] \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となりますが、それぞれの項が複素平面上の点として描かれています（下図）。
図を観察すると分かるように、この複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の項は螺旋状の軌跡を描きながら点\(0\in \mathbb{C} \)に限りなく近づきます。したがって、この複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)は\(0\)に収束します。つまり、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=0
\end{equation*}が成り立ちます。
複素数列の収束に関して厳密に議論するためには「限りなく近づく」という曖昧な表現を厳密に定義する必要があります。実数列の場合と同様に、複素数列の極限を厳密に定義するためにイプシロン・エヌ論法を利用します。
複素数列の極限の厳密な定義
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が複素数\(a\)へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=a
\end{equation*}が成り立つこととは、\(n\)が大きくなるにつれて項\(z_{n}\)が複素数\(a\)へ限りなく近づくことを意味しますが、これをどのような形で厳密に表現できるでしょうか。
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の項\(z_{n}\)が複素数\(a\)に限りなく近いと言うためには、\(z_{n}\)と\(a\)の近さを表す指標が必要です。そこで、\(z_{n}\)と\(a\)の間の距離を表す指標として正の実数\begin{equation*}\varepsilon >0
\end{equation*}を導入します。その上で、\begin{equation}
\left\vert z_{n}-a\right\vert <\varepsilon \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つならば、「\(z_{n}\)と\(a\)の間の距離は\(\varepsilon \)よりも小さい」と言えます。
次に問題になるのは「\(n\)が大きくなるにつれて」という表現の定式化です。\(n\)が大きくなるにつれて複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の項\(z_{n}\)と複素数\(a\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなることは、複素数列\(\left\{z_{n}\right\} \)のある項から先の任意の項\(z_{n}\)について、\(z_{n}\)と\(a\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなることとして言い換え可能です。つまり、ある番号\(N\)が存在して、複素数列\(\left\{z_{n}\right\} \)の第\(N\)項以降のすべての項\(z_{n}\)について\(\left( 1\right) \)が成り立つということです。これを定式化すると、\begin{equation}\exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert z_{n}-a\right\vert <\varepsilon
\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。上の論理式が成り立つならば、「\(n\)が大きくなるにつれて複素数列\(\left\{z_{n}\right\} \)の項\(z_{n}\)と複素数\(a\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなる」と言えます。
最後に問題になるのは「限りなく近づく」という表現の定式化です。複素数列\(\left\{z_{n}\right\} \)が複素数\(a\)に収束することとは、\(n\)が大きくなるにつれて項\(z_{n}\)が\(a\)に限りなく近づくことを意味しますが、この場合、複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の項\(z_{n}\)と複素数\(a\)の間の距離\(\varepsilon \)としてどれほど小さい値を任意に選んだ場合でも、\(n\)が大きくなるにつれて複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の項\(z_{n}\)と複素数\(a\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなるはずです。\(\left( 2\right) \)を踏まえるとこれは、\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert z_{n}-a\right\vert <\varepsilon
\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}と表現できます。そこで、複素数列\(\left\{z_{n}\right\} \)と複素数\(a\)に対して\(\left( 3\right) \)が成り立つ場合、\(\left\{ z_{n}\right\} \)は\(a\)へ収束すると言い、そのことを、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=a
\end{equation*}と表現します。さらにこのとき、\(a\)を\(\left\{z_{n}\right\} \)の極限と呼びます。以上が複素数列の極限の厳密な定義です。
\frac{n\pi }{4}\right) i\right] \end{equation*}であるものとします。先に図を用いて確認したように、この複素数列の極限は\(0\)ではないかと予想できます。つまり、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=0
\end{equation*}が成り立つという予想が立ちます。これを厳密に証明します。複素数列の極限の定義より、これは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert z_{n}-0\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert z_{n}\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。ただし、絶対値の定義より、\begin{eqnarray*}
\left\vert z_{n}\right\vert &=&\sqrt{\left[ \frac{1}{n}\cos \left( \frac{n\pi }{4}\right) \right] ^{2}+\left[ \frac{1}{n}\sin \left( \frac{n\pi }{4}\right) \right] ^{2}} \\
&=&\sqrt{\frac{1}{n^{2}}\left[ \cos ^{2}\left( \frac{n\pi }{4}\right) +\sin
^{2}\left( \frac{n\pi }{4}\right) \right] } \\
&=&\sqrt{\frac{1}{n^{2}}} \\
&=&\frac{1}{n}
\end{eqnarray*}であるため、先の命題は、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \frac{1}{n}<\varepsilon \right)
\end{equation*}と必要十分です。これを示すことが目標です。結論の式を変形すると、\(n\in \mathbb{N} \)および\(\varepsilon >0\)より、\begin{equation}\frac{1}{n}<\varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{\varepsilon }<n \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。以上を踏まえると、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}N>\frac{1}{\varepsilon } \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす\(N\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\(n\geq N\)を満たす任意の\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{eqnarray*}n\geq N &\Rightarrow &n>\frac{1}{\varepsilon }\quad \because \left( 2\right)
\\
&\Rightarrow &\frac{1}{n}<\varepsilon \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
複素数列は収束するとは限らない（発散する複素数列）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が複素数\(a\)へ収束することを、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert z_{n}-a\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義しました。したがって、\(\left\{ z_{n}\right\} \)が\(a\)へ収束しないこととは、上の命題の否定である以下の命題\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\wedge \left\vert z_{n}-a\right\vert \geq \varepsilon \right]
\end{equation*}が成り立つことを意味します。
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が収束することとは、\(\left\{z_{n}\right\} \)が何らかの複素数\(a\in \mathbb{C} \)へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{C} ,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert z_{n}-a\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。逆に、複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が収束しないこととは、\(\left\{z_{n}\right\} \)がいかなる複素数\(a\in \mathbb{C} \)へも収束しないこと、すなわち、上の命題の否定である以下の命題\begin{equation*}\forall a\in \mathbb{C} ,\ \exists \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\wedge \left\vert z_{n}-a\right\vert \geq \varepsilon \right]
\end{equation*}が成り立つことを意味します。このとき、\(\left\{ z_{n}\right\} \)は発散する（diverge）と言います。
複素数列は収束するとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}で与えられているものとします。この複素数列が発散することを示します。つまり、\begin{equation*}
\forall a\in \mathbb{C} ,\ \exists \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\wedge \left\vert z_{n}-a\right\vert \geq \varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つことを示すことが目標です。複素数\begin{equation*}
a=\mathrm{Re}\left( a\right) +\mathrm{Im}\left( a\right) i\in \mathbb{C} \end{equation*}を任意に選びます。その上で、\begin{equation*}
\varepsilon =1
\end{equation*}に注目します。番号\(N\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、それに対して以下の条件\begin{equation}n\geq N\wedge \sqrt{\left[ n-\mathrm{Re}\left( a\right) \right] ^{2}+\left[ n-\mathrm{Im}\left( a\right) \right] ^{2}}\geq 1 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすほど十分大きい\(n\in \mathbb{N} \)に注目します。すると、\begin{eqnarray*}\left\vert z_{n}-a\right\vert &=&\left\vert \left( n+ni\right) -\left[
\mathrm{Re}\left( a\right) +\mathrm{Im}\left( a\right) i\right] \right\vert \\
&=&\left\vert \left[ n-\mathrm{Re}\left( a\right) \right] +\left[ n-\mathrm{Im}\left( a\right) \right] i\right\vert \\
&=&\sqrt{\left[ n-\mathrm{Re}\left( a\right) \right] ^{2}+\left[ n-\mathrm{Im}\left( a\right) \right] ^{2}} \\
&\geq &1\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\varepsilon \quad \because \varepsilon =1
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
複素数の極限の一意性
複素数列が収束するとき、その極限は必ず1つの複素数として定まります。同一の複素数列が異なる2つの複素数に収束する事態は起こり得ないということです。
演習問題
\end{equation*}であるものとします。\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=0
\end{equation*}が成り立つことをイプシロン・エヌ論法を用いて証明してください。
\end{equation*}であるものとします。\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=2+i
\end{equation*}が成り立つことをイプシロン・エヌ論法を用いて証明してください。
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