等比複素数列
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の一般項が、定数\(a,r\in \mathbb{C} \)を用いて、\begin{equation*}z_{n}=ar^{n-1}
\end{equation*}と表される場合、このような複素数列を等比複素数列（geometric progression of complex numbers）と呼びます。等比複素数列の項を具体的に列挙すると、\begin{eqnarray*}
z_{1} &=&a \\
z_{2} &=&ar \\
z_{3} &=&ar^{2} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となります。つまり、等比複素数列とは初項が\(a\)であり、なおかつ隣り合う項が共通の比\(r\)を持つ複素数列です。この\(r\)を公比（common ratio）と呼びます。
例（等比複素数列）
等比複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の初項\(a\)と公比\(r\)が、\begin{eqnarray*}a &=&i \\
r &=&i
\end{eqnarray*}である場合、一般項は、\begin{eqnarray*}
z_{n} &=&ii^{n-1} \\
&=&i^{n}
\end{eqnarray*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
z_{1} &=&i \\
z_{2} &=&i^{2}=-1 \\
z_{3} &=&i^{3}=-i \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。
r &=&i
\end{eqnarray*}である場合、一般項は、\begin{eqnarray*}
z_{n} &=&ii^{n-1} \\
&=&i^{n}
\end{eqnarray*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
z_{1} &=&i \\
z_{2} &=&i^{2}=-1 \\
z_{3} &=&i^{3}=-i \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。
例（等比複素数列）
等比複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の初項\(a\)と公比\(r\)が、\begin{eqnarray*}a &=&1+i \\
d &=&1-i
\end{eqnarray*}である場合、一般項は、\begin{equation*}
z_{n}=\left( 1+i\right) \left( 1-i\right) ^{n-1}
\end{equation*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
z_{1} &=&1+i \\
z_{2} &=&\left( 1+i\right) \left( 1-i\right) =1-i^{2}=2 \\
z_{3} &=&\left( 1+i\right) \left( 1-i\right) ^{2}=\left( 1+i\right) \left(
1-2i+i^{2}\right) =2-2i \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。
d &=&1-i
\end{eqnarray*}である場合、一般項は、\begin{equation*}
z_{n}=\left( 1+i\right) \left( 1-i\right) ^{n-1}
\end{equation*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
z_{1} &=&1+i \\
z_{2} &=&\left( 1+i\right) \left( 1-i\right) =1-i^{2}=2 \\
z_{3} &=&\left( 1+i\right) \left( 1-i\right) ^{2}=\left( 1+i\right) \left(
1-2i+i^{2}\right) =2-2i \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。
例（等比複素数列）
初項が\(1\in \mathbb{C} \)であり公比が\(r\in \mathbb{C} \)の等比複素数列\(\left\{z_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}z_{n} &=&1r^{n-1} \\
&=&r^{n-1}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
z_{1} &=&1 \\
z_{2} &=&r \\
z_{3} &=&r^{2} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。
&=&r^{n-1}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
z_{1} &=&1 \\
z_{2} &=&r \\
z_{3} &=&r^{2} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。
例（等比複素数列）
初項が\(a\in \mathbb{C} \)であり公比が\(1\in \mathbb{C} \)の等比複素数列\(\left\{z_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}z_{n} &=&a1^{n-1} \\
&=&a
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
z_{1} &=&a \\
z_{2} &=&a \\
z_{3} &=&a \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。つまり、\(\left\{ z_{n}\right\} \)は定数複素数列です。定数複素数列は公比が\(1\)であるような等比複素数列であるということです。
&=&a
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
z_{1} &=&a \\
z_{2} &=&a \\
z_{3} &=&a \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。つまり、\(\left\{ z_{n}\right\} \)は定数複素数列です。定数複素数列は公比が\(1\)であるような等比複素数列であるということです。
等比複素数列の再帰的な定義
初項が\(a\)であり公比が\(r\)であるような等比複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)とは、初項が\(a\)であるとともに、隣り合う項が共通の比\(r\)を持つ複素数列であるため、等比複素数列を定義する再帰式は、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{l}
z_{1}=a \\
\frac{z_{n}}{z_{n-1}}=r\end{array}\right.
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
z_{1}=a \\
z_{n}=rz_{n-1}\end{array}\right.
\end{equation*}となります。実際、この再帰式を利用すると、複素数列\(\left\{z_{n}\right\} \)の項を、\begin{eqnarray*}z_{1} &=&a \\
z_{2} &=&rz_{1}=ar \\
z_{3} &=&rz_{2}=ar^{2} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}と次々に特定できるため、\(\left\{ z_{n}\right\} \)は初項が\(a\)であり公比が\(r\)であるような等比複素数列です。
例（等比複素数列）
等比複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の初項\(a\)と公比\(r\)が、\begin{eqnarray*}a &=&i \\
r &=&i
\end{eqnarray*}である場合、これを再帰的に表現すると、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
z_{1}=i \\
z_{n}=iz_{n-1}\end{array}\right.
\end{equation*}となります。
r &=&i
\end{eqnarray*}である場合、これを再帰的に表現すると、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
z_{1}=i \\
z_{n}=iz_{n-1}\end{array}\right.
\end{equation*}となります。
例（等比複素数列）
等比複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の初項\(a\)と公比\(r\)が、\begin{eqnarray*}a &=&1+i \\
r &=&1-i
\end{eqnarray*}である場合、これを再帰的に表現すると、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
z_{1}=1+i \\
z_{n}=\left( 1-i\right) z_{n-1}\end{array}\right.
\end{equation*}となります。
r &=&1-i
\end{eqnarray*}である場合、これを再帰的に表現すると、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
z_{1}=1+i \\
z_{n}=\left( 1-i\right) z_{n-1}\end{array}\right.
\end{equation*}となります。
等比複素数列の部分和
等比複素数列の部分和、すなわち初項から第\(n\)項までの和は以下の通りです。
命題（等比複素数列の部分和）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の一般項が、定数\(a,r\in \mathbb{C} \)を用いて、\begin{equation*}z_{n}=ar^{n-1}
\end{equation*}と表されるものとする。この複素数列の部分和は、\begin{equation*}
s_{n}=\left\{
\begin{array}{cc}
\dfrac{a\left( 1-r^{n}\right) }{1-r} & \left( if\ r\not=1\right) \\
na & \left( if\ r=1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}である。
\end{equation*}と表されるものとする。この複素数列の部分和は、\begin{equation*}
s_{n}=\left\{
\begin{array}{cc}
\dfrac{a\left( 1-r^{n}\right) }{1-r} & \left( if\ r\not=1\right) \\
na & \left( if\ r=1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}である。
例（等比複素数列の部分和）
等比複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の初項\(a\)と公比\(r\)が、\begin{eqnarray*}a &=&i \\
r &=&i
\end{eqnarray*}である場合、一般項は、\begin{eqnarray*}
z_{n} &=&ii^{n-1} \\
&=&i^{n}
\end{eqnarray*}となります。さらに、先の命題より、部分和は、\begin{equation*}
s_{n}=\dfrac{i\left( 1-i^{n}\right) }{1-i}
\end{equation*}となります。
r &=&i
\end{eqnarray*}である場合、一般項は、\begin{eqnarray*}
z_{n} &=&ii^{n-1} \\
&=&i^{n}
\end{eqnarray*}となります。さらに、先の命題より、部分和は、\begin{equation*}
s_{n}=\dfrac{i\left( 1-i^{n}\right) }{1-i}
\end{equation*}となります。
例（等比複素数列の部分和）
等比複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の初項\(a\)と公比\(r\)が、\begin{eqnarray*}a &=&1+i \\
r &=&1-i
\end{eqnarray*}である場合、一般項は、\begin{equation*}
z_{n}=\left( 1+i\right) \left( 1-i\right) ^{n-1}
\end{equation*}となります。さらに、先の命題より、部分和は、\begin{eqnarray*}
s_{n} &=&\dfrac{\left( 1+i\right) \left[ 1-\left( 1-i\right) ^{n}\right] }{1-\left( 1-i\right) } \\
&=&\dfrac{\left( 1+i\right) \left[ 1-\left( 1-i\right) ^{n}\right] }{i}
\end{eqnarray*}となります。
r &=&1-i
\end{eqnarray*}である場合、一般項は、\begin{equation*}
z_{n}=\left( 1+i\right) \left( 1-i\right) ^{n-1}
\end{equation*}となります。さらに、先の命題より、部分和は、\begin{eqnarray*}
s_{n} &=&\dfrac{\left( 1+i\right) \left[ 1-\left( 1-i\right) ^{n}\right] }{1-\left( 1-i\right) } \\
&=&\dfrac{\left( 1+i\right) \left[ 1-\left( 1-i\right) ^{n}\right] }{i}
\end{eqnarray*}となります。
等比複素数列の極限
一般の等比複素数列\(\left\{ ar^{n-1}\right\} \)の極限について考える準備として、まずは初項が\(1\)であるような等比複素数列\(\left\{ r^{n-1}\right\} \)の極限について考えます。
等比複素数列\(\left\{ r^{n-1}\right\} \)が収束するための条件および極限は以下の通りです。
命題（初項1の等比複素数列が収束するための条件）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の一般項が、定数\(r\in \mathbb{C} \)を用いて、\begin{equation*}z_{n}=r^{n-1}
\end{equation*}と表されるものとする。\(\left\vert r\right\vert <1\)または\(r=1\)の場合に\(\left\{ z_{n}\right\} \)は複素数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ r=1\right) \\
0 & \left( if\ \left\vert r\right\vert <1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}と表されるものとする。\(\left\vert r\right\vert <1\)または\(r=1\)の場合に\(\left\{ z_{n}\right\} \)は複素数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ r=1\right) \\
0 & \left( if\ \left\vert r\right\vert <1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つ。
先の命題が想定する状況を除くと、等比複素数列\(\left\{ r^{n-1}\right\} \)は収束しません。
命題（初項1の等比複素数列が収束しないための条件）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の一般項が、定数\(r\in \mathbb{C} \)を用いて、\begin{equation*}z_{n}=r^{n-1}
\end{equation*}と表されるものとする。\(\left\vert r\right\vert >1\)の場合や、\(\left\vert r\right\vert =1\)かつ\(r\not=1\)の場合などには\(\left\{ z_{n}\right\} \)は複素数へ収束しない。
\end{equation*}と表されるものとする。\(\left\vert r\right\vert >1\)の場合や、\(\left\vert r\right\vert =1\)かつ\(r\not=1\)の場合などには\(\left\{ z_{n}\right\} \)は複素数へ収束しない。
以上の諸命題を踏まえた上で、一般の等比複素数列\(\left\{ ar^{n-1}\right\} \)の極限について考えます。
初項が\(0\)であるような等比複素数列は定数複素数列であるため収束します。
命題（初項0の等比複素数列は収束する）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の一般項が、定数\(a,r\in \mathbb{C} \)を用いて、\begin{equation*}z_{n}=ar^{n-1}
\end{equation*}と表されるものとする。\(a=0\)の場合に\(\left\{ z_{n}\right\} \)は複素数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=0
\end{equation*}となる。
\end{equation*}と表されるものとする。\(a=0\)の場合に\(\left\{ z_{n}\right\} \)は複素数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=0
\end{equation*}となる。
初項が\(0\)ではない等比複素数列が収束するための条件および極限は以下の通りです。
命題（等比複素数列が収束するための条件）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の一般項が、定数\(a,r\in \mathbb{C} \)を用いて、\begin{equation*}z_{n}=ar^{n-1}
\end{equation*}と表されるものとする。\(a\not=0\)であるとともに、\(\left\vert r\right\vert <1\)または\(r=1\)の場合に\(\left\{ z_{n}\right\} \)は複素数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=\left\{
\begin{array}{cl}
a & \left( if\ r=1\right) \\
0 & \left( if\ \left\vert r\right\vert <1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}と表されるものとする。\(a\not=0\)であるとともに、\(\left\vert r\right\vert <1\)または\(r=1\)の場合に\(\left\{ z_{n}\right\} \)は複素数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=\left\{
\begin{array}{cl}
a & \left( if\ r=1\right) \\
0 & \left( if\ \left\vert r\right\vert <1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つ。
先の命題が想定する状況を除くと、初項が\(0\)ではない等比複素数列は収束しません。
命題（等比複素数列が収束しないための条件）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の一般項が、定数\(a,r\in \mathbb{C} \)を用いて、\begin{equation*}z_{n}=ar^{n-1}
\end{equation*}と表されるものとする。\(a\not=0\)であるとともに、\(\left\vert r\right\vert >1\)の場合や、\(\left\vert r\right\vert =1\)かつ\(r\not=1\)の場合などには\(\left\{ z_{n}\right\} \)は複素数へ収束しない。
\end{equation*}と表されるものとする。\(a\not=0\)であるとともに、\(\left\vert r\right\vert >1\)の場合や、\(\left\vert r\right\vert =1\)かつ\(r\not=1\)の場合などには\(\left\{ z_{n}\right\} \)は複素数へ収束しない。
例（等比複素数列の極限）
等比複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の初項\(a\)と公比\(r\)が、\begin{eqnarray*}a &=&i \\
r &=&i
\end{eqnarray*}である場合、一般項は、\begin{eqnarray*}
z_{n} &=&ii^{n-1} \\
&=&i^{n}
\end{eqnarray*}となります。初項は\(i\not=0\)を満たし、公比は\(\left\vert i\right\vert =1\)かつ\(i\not=1\)を満たすため、先の命題より\(\left\{ z_{n}\right\} \)は収束しません。
r &=&i
\end{eqnarray*}である場合、一般項は、\begin{eqnarray*}
z_{n} &=&ii^{n-1} \\
&=&i^{n}
\end{eqnarray*}となります。初項は\(i\not=0\)を満たし、公比は\(\left\vert i\right\vert =1\)かつ\(i\not=1\)を満たすため、先の命題より\(\left\{ z_{n}\right\} \)は収束しません。
例（等比複素数列の極限）
等比複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の初項\(a\)と公比\(r\)が、\begin{eqnarray*}a &=&1+i \\
r &=&1-i
\end{eqnarray*}である場合、一般項は、\begin{equation*}
z_{n}=\left( 1+i\right) \left( 1-i\right) ^{n-1}
\end{equation*}となります。初項は\(1+i\not=0\)を満たし、公比は\(\left\vert 1-i\right\vert =\sqrt{2}>1\)を満たすため、先の命題より\(\left\{ z_{n}\right\} \)は収束しません。
r &=&1-i
\end{eqnarray*}である場合、一般項は、\begin{equation*}
z_{n}=\left( 1+i\right) \left( 1-i\right) ^{n-1}
\end{equation*}となります。初項は\(1+i\not=0\)を満たし、公比は\(\left\vert 1-i\right\vert =\sqrt{2}>1\)を満たすため、先の命題より\(\left\{ z_{n}\right\} \)は収束しません。
演習問題
問題（等比複素数列の項）
初項が\(2+i\)であり公比が\(1-i\)であるような等比複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の一般項\(z_{n}\)を求めた上で、5番目の項\(z_{5}\)を特定してください。
問題（等比複素数列の部分和）
初項が\(3-2i\)であり公比が\(-i\)であるような等比複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の部分和\(s_{n}\)を求めた上で、\(s_{4}\)の値を特定してください。
問題（等比複素数列の極限）
初項が\(1+2i\)であり公比が\(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\)であるような等比複素数列\(\left\{z_{n}\right\} \)は収束するでしょうか。収束する場合には極限を求めてください。
問題（等比複素数列から定義される等比実数列）
初項が\(-i\)であり公比が\(\sqrt{2}e^{i\frac{\pi }{4}}\)であるような等比複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の一般項\(z_{n}\)を求めた上で、実数列\(\left\{ \left\vert z_{n}\right\vert \right\} \)が等比実数列になることを示してください。
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