収束する複素数列どうしの商の極限
2つの複素数列\(\left\{ z_{n}\right\},\left\{ w_{n}\right\} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :w_{n}\not=0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\frac{z_{n}}{w_{n}}
\end{equation*}を一般項とする新たな複素数列\(\left\{ \frac{z_{n}}{w_{n}}\right\} \)が定義可能です。
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{w_{n}\right\} \)がともに複素数へ収束し、なおかつ\(\left\{ w_{n}\right\} \)の極限が非ゼロである場合には、複素数列\(\left\{ \frac{z_{n}}{w_{n}}\right\} \)もまた複素数へ収束し、それらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( \frac{z_{n}}{w_{n}}\right) =\frac{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }z_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty
}w_{n}}
\end{equation*}が成り立ちます。
つまり、収束する複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{ w_{n}\right\} \)の商の形をしている複素数列\(\left\{ \frac{z_{n}}{w_{n}}\right\} \)が与えられたとき、\(\left\{ \frac{z_{n}}{w_{n}}\right\} \)もまた収束することが保証されるとともに、\(\left\{ z_{n}\right\} \)の極限を\(\left\{ w_{n}\right\} \)の極限で割れば\(\left\{ \frac{z_{n}}{w_{n}}\right\} \)の極限が得られます。したがって、何らかの複素数列\(\left\{ z_{n}\right\},\left\{ w_{n}\right\} \)の商の形をしている複素数列\(\left\{ \frac{z_{n}}{w_{n}}\right\} \)の収束可能性を検討する際には、複素数列の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(\left\{z_{n}\right\} \)と\(\left\{ w_{n}\right\} \)を分けた上で、それぞれが収束することを確認すればよいということになります。
命題（収束する複素数列どうしの商の極限）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{w_{n}\right\} \)がそれぞれ与えられたとき、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :w_{n}\not=0
\end{equation*}が成り立つ場合にはそこから複素数列\(\left\{ \frac{z_{n}}{w_{n}}\right\} \)を定義する。\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{ w_{n}\right\} \)がともに複素数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }w_{n}\not=0
\end{equation*}が成り立つ場合には\(\left\{ \frac{z_{n}}{w_{n}}\right\} \)もまた複素数へ収束し、それらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( \frac{z_{n}}{w_{n}}\right) =\frac{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }z_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty
}w_{n}}
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}が成り立つ場合にはそこから複素数列\(\left\{ \frac{z_{n}}{w_{n}}\right\} \)を定義する。\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{ w_{n}\right\} \)がともに複素数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }w_{n}\not=0
\end{equation*}が成り立つ場合には\(\left\{ \frac{z_{n}}{w_{n}}\right\} \)もまた複素数へ収束し、それらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( \frac{z_{n}}{w_{n}}\right) =\frac{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }z_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty
}w_{n}}
\end{equation*}が成り立つ。
例（収束する複素数列どうしの商の極限）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{w_{n}\right\} \)から複素数列\(\left\{ \frac{z_{n}}{w_{n}}\right\} \)を定義します。\(\left\{ z_{n}\right\} \)が収束する場合には、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left(
\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) +\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) i\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
+i\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right)
\end{eqnarray*}となります。\(\left\{ w_{n}\right\} \)が収束する場合には、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }w_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left(
\mathrm{Re}\left( w_{n}\right) +\mathrm{Im}\left( w_{n}\right) i\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( w_{n}\right)
+i\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( w_{n}\right)
\end{eqnarray*}となります。\(\left\{ w_{n}\right\} \)が非ゼロ値をとり極限も非ゼロである場合には先の命題より\(\left\{ \frac{z_{n}}{w_{n}}\right\} \)も収束するとともに、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( \frac{z_{n}}{w_{n}}\right) &=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }z_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty
}w_{n}} \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
+i\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( w_{n}\right)
+i\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( w_{n}\right) } \\
&=&\frac{\left[ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left(
z_{n}\right) +i\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left(
z_{n}\right) \right] \left[ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( w_{n}\right) -i\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left(
w_{n}\right) \right] }{\left[ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( w_{n}\right) +i\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left(
w_{n}\right) \right] \left[ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( w_{n}\right) -i\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left(
w_{n}\right) \right] } \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( w_{n}\right)
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right)
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( w_{n}\right) }{\left[
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( w_{n}\right) \right] ^{2}+\left[ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( w_{n}\right) \right] ^{2}} \\
&&+\frac{\left[ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left(
z_{n}\right) \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( w_{n}\right)
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( w_{n}\right) \right] i}{\left[ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( w_{n}\right) \right] ^{2}+\left[ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left(
w_{n}\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}となります。
\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) +\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) i\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
+i\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right)
\end{eqnarray*}となります。\(\left\{ w_{n}\right\} \)が収束する場合には、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }w_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left(
\mathrm{Re}\left( w_{n}\right) +\mathrm{Im}\left( w_{n}\right) i\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( w_{n}\right)
+i\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( w_{n}\right)
\end{eqnarray*}となります。\(\left\{ w_{n}\right\} \)が非ゼロ値をとり極限も非ゼロである場合には先の命題より\(\left\{ \frac{z_{n}}{w_{n}}\right\} \)も収束するとともに、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( \frac{z_{n}}{w_{n}}\right) &=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }z_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty
}w_{n}} \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
+i\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( w_{n}\right)
+i\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( w_{n}\right) } \\
&=&\frac{\left[ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left(
z_{n}\right) +i\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left(
z_{n}\right) \right] \left[ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( w_{n}\right) -i\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left(
w_{n}\right) \right] }{\left[ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( w_{n}\right) +i\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left(
w_{n}\right) \right] \left[ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( w_{n}\right) -i\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left(
w_{n}\right) \right] } \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( w_{n}\right)
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right)
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( w_{n}\right) }{\left[
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( w_{n}\right) \right] ^{2}+\left[ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( w_{n}\right) \right] ^{2}} \\
&&+\frac{\left[ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left(
z_{n}\right) \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( w_{n}\right)
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( w_{n}\right) \right] i}{\left[ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( w_{n}\right) \right] ^{2}+\left[ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left(
w_{n}\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}となります。
例（収束する実数列どうしの商の極限）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{w_{n}\right\} \)から複素数列\(\left\{ \frac{z_{n}}{w_{n}}\right\} \)を定義します。\(\left\{ z_{n}\right\} \)は実数列であるとともに収束する場合には、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left[
\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) +\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) i\right] \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) \quad \because
\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) =0
\end{eqnarray*}となります。\(\left\{ w_{n}\right\} \)は実数列であるとともに収束する場合には、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }w_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left[
\mathrm{Re}\left( w_{n}\right) +\mathrm{Im}\left( w_{n}\right) i\right] \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( w_{n}\right) \quad \because
\mathrm{Im}\left( w_{n}\right) =0
\end{eqnarray*}となります。\(\left\{ w_{n}\right\} \)が非ゼロ値をとり極限も非ゼロである場合には先の命題より\(\left\{ \frac{z_{n}}{w_{n}}\right\} \)も収束するとともに、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( \frac{z_{n}}{w_{n}}\right) &=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }z_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty
}w_{n}} \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( w_{n}\right) }
\end{eqnarray*}となります。
\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) +\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) i\right] \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) \quad \because
\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) =0
\end{eqnarray*}となります。\(\left\{ w_{n}\right\} \)は実数列であるとともに収束する場合には、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }w_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left[
\mathrm{Re}\left( w_{n}\right) +\mathrm{Im}\left( w_{n}\right) i\right] \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( w_{n}\right) \quad \because
\mathrm{Im}\left( w_{n}\right) =0
\end{eqnarray*}となります。\(\left\{ w_{n}\right\} \)が非ゼロ値をとり極限も非ゼロである場合には先の命題より\(\left\{ \frac{z_{n}}{w_{n}}\right\} \)も収束するとともに、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( \frac{z_{n}}{w_{n}}\right) &=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }z_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty
}w_{n}} \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( w_{n}\right) }
\end{eqnarray*}となります。
例（収束する純虚数どうしの商の極限）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{w_{n}\right\} \)から複素数列\(\left\{ \frac{z_{n}}{w_{n}}\right\} \)を定義します。\(\left\{ z_{n}\right\} \)は純虚数列であるとともに収束する場合には、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left[
\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) +\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) i\right] \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left[ \mathrm{Im}\left( z_{n}\right) i\right] \quad \because \mathrm{Re}\left( z_{n}\right) =0 \\
&=&i\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right)
\end{eqnarray*}となります。\(\left\{ w_{n}\right\} \)は純虚数列であるとともに収束する場合には、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }w_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left[
\mathrm{Re}\left( w_{n}\right) +\mathrm{Im}\left( w_{n}\right) i\right] \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left[ \mathrm{Im}\left( w_{n}\right) i\right] \quad \because \mathrm{Re}\left( w_{n}\right) =0 \\
&=&i\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( w_{n}\right)
\end{eqnarray*}となります。\(\left\{ w_{n}\right\} \)が非ゼロ値をとり極限も非ゼロである場合には先の命題より\(\left\{ \frac{z_{n}}{w_{n}}\right\} \)も収束するとともに、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( \frac{z_{n}}{w_{n}}\right) &=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }z_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty
}w_{n}} \\
&=&\frac{i\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) }{i\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( w_{n}\right) } \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( w_{n}\right) }
\end{eqnarray*}となります。
\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) +\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) i\right] \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left[ \mathrm{Im}\left( z_{n}\right) i\right] \quad \because \mathrm{Re}\left( z_{n}\right) =0 \\
&=&i\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right)
\end{eqnarray*}となります。\(\left\{ w_{n}\right\} \)は純虚数列であるとともに収束する場合には、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }w_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left[
\mathrm{Re}\left( w_{n}\right) +\mathrm{Im}\left( w_{n}\right) i\right] \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left[ \mathrm{Im}\left( w_{n}\right) i\right] \quad \because \mathrm{Re}\left( w_{n}\right) =0 \\
&=&i\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( w_{n}\right)
\end{eqnarray*}となります。\(\left\{ w_{n}\right\} \)が非ゼロ値をとり極限も非ゼロである場合には先の命題より\(\left\{ \frac{z_{n}}{w_{n}}\right\} \)も収束するとともに、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( \frac{z_{n}}{w_{n}}\right) &=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }z_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty
}w_{n}} \\
&=&\frac{i\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) }{i\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( w_{n}\right) } \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( w_{n}\right) }
\end{eqnarray*}となります。
例（収束する複素数列どうしの商の極限）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{w_{n}\right\} \)から複素数列\(\left\{ \frac{z_{n}}{w_{n}}\right\} \)を定義します。\(\left\{ z_{n}\right\} \)の一般項が極形式の複素数\begin{equation*}z_{n}=r_{n}\left[ \cos \left( \theta _{n}\right) +\sin \left( \theta
_{n}\right) i\right] \end{equation*}であるとともに収束する場合には、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\cos
\left( \theta _{n}\right) +i\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\sin \left(
\theta _{n}\right)
\end{equation*}となります。\(\left\{ w_{n}\right\} \)の一般項が極形式の複素数\begin{equation*}w_{n}=t_{n}\left[ \cos \left( \phi _{n}\right) +\sin \left( \phi _{n}\right)
i\right] \end{equation*}であるとともに収束する場合には、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }w_{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty }t_{n}\cos
\left( \phi _{n}\right) +i\lim_{n\rightarrow +\infty }t_{n}\sin \left( \phi
_{n}\right)
\end{equation*}となります。\(\left\{ w_{n}\right\} \)が非ゼロ値をとり極限も非ゼロである場合には先の命題より\(\left\{ \frac{z_{n}}{w_{n}}\right\} \)も収束するとともに、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( \frac{z_{n}}{w_{n}}\right) &=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }z_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty
}w_{n}} \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\cos \left( \theta
_{n}\right) +i\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\sin \left( \theta
_{n}\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }t_{n}\cos \left( \phi
_{n}\right) +i\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }t_{n}\sin \left( \phi
_{n}\right) } \\
&=&\frac{\left[ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\cos \left( \theta
_{n}\right) +i\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\sin \left( \theta
_{n}\right) \right] \left[ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }t_{n}\cos
\left( \phi _{n}\right) -i\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }t_{n}\sin
\left( \phi _{n}\right) \right] }{\left[ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty
}t_{n}\cos \left( \phi _{n}\right) +i\lim\limits_{n\rightarrow +\infty
}t_{n}\sin \left( \phi _{n}\right) \right] \left[ \lim\limits_{n\rightarrow
+\infty }t_{n}\cos \left( \phi _{n}\right) -i\lim\limits_{n\rightarrow
+\infty }t_{n}\sin \left( \phi _{n}\right) \right] } \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\cos \left( \theta
_{n}\right) \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }t_{n}\cos \left( \phi
_{n}\right) +\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\sin \left( \theta
_{n}\right) \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }t_{n}\sin \left( \phi
_{n}\right) }{\left[ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }t_{n}\cos \left(
\phi _{n}\right) \right] ^{2}+\left[ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty
}t_{n}\sin \left( \phi _{n}\right) \right] ^{2}} \\
&&+\frac{\left[ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\sin \left( \theta
_{n}\right) \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }t_{n}\cos \left( \phi
_{n}\right) -\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\cos \left( \theta
_{n}\right) \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }t_{n}\sin \left( \phi
_{n}\right) \right] i}{\left[ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }t_{n}\cos
\left( \phi _{n}\right) \right] ^{2}+\left[ \lim\limits_{n\rightarrow
+\infty }t_{n}\sin \left( \phi _{n}\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}となります。
_{n}\right) i\right] \end{equation*}であるとともに収束する場合には、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\cos
\left( \theta _{n}\right) +i\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\sin \left(
\theta _{n}\right)
\end{equation*}となります。\(\left\{ w_{n}\right\} \)の一般項が極形式の複素数\begin{equation*}w_{n}=t_{n}\left[ \cos \left( \phi _{n}\right) +\sin \left( \phi _{n}\right)
i\right] \end{equation*}であるとともに収束する場合には、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }w_{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty }t_{n}\cos
\left( \phi _{n}\right) +i\lim_{n\rightarrow +\infty }t_{n}\sin \left( \phi
_{n}\right)
\end{equation*}となります。\(\left\{ w_{n}\right\} \)が非ゼロ値をとり極限も非ゼロである場合には先の命題より\(\left\{ \frac{z_{n}}{w_{n}}\right\} \)も収束するとともに、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( \frac{z_{n}}{w_{n}}\right) &=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }z_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty
}w_{n}} \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\cos \left( \theta
_{n}\right) +i\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\sin \left( \theta
_{n}\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }t_{n}\cos \left( \phi
_{n}\right) +i\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }t_{n}\sin \left( \phi
_{n}\right) } \\
&=&\frac{\left[ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\cos \left( \theta
_{n}\right) +i\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\sin \left( \theta
_{n}\right) \right] \left[ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }t_{n}\cos
\left( \phi _{n}\right) -i\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }t_{n}\sin
\left( \phi _{n}\right) \right] }{\left[ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty
}t_{n}\cos \left( \phi _{n}\right) +i\lim\limits_{n\rightarrow +\infty
}t_{n}\sin \left( \phi _{n}\right) \right] \left[ \lim\limits_{n\rightarrow
+\infty }t_{n}\cos \left( \phi _{n}\right) -i\lim\limits_{n\rightarrow
+\infty }t_{n}\sin \left( \phi _{n}\right) \right] } \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\cos \left( \theta
_{n}\right) \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }t_{n}\cos \left( \phi
_{n}\right) +\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\sin \left( \theta
_{n}\right) \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }t_{n}\sin \left( \phi
_{n}\right) }{\left[ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }t_{n}\cos \left(
\phi _{n}\right) \right] ^{2}+\left[ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty
}t_{n}\sin \left( \phi _{n}\right) \right] ^{2}} \\
&&+\frac{\left[ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\sin \left( \theta
_{n}\right) \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }t_{n}\cos \left( \phi
_{n}\right) -\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\cos \left( \theta
_{n}\right) \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }t_{n}\sin \left( \phi
_{n}\right) \right] i}{\left[ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }t_{n}\cos
\left( \phi _{n}\right) \right] ^{2}+\left[ \lim\limits_{n\rightarrow
+\infty }t_{n}\sin \left( \phi _{n}\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}となります。
商の法則の逆は成り立つとは限らない
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{w_{n}\right\} \)がともに収束する場合には、これらの商として定義される複素数列\(\left\{ \frac{z_{n}}{w_{n}}\right\} \)もまた収束することが明らかになりました。その一方で、逆の主張は成り立つとは限りません。つまり、複素数列\(\left\{ z_{n}\right\},\left\{ w_{n}\right\} \)の商として定義される複素数列\(\left\{ \frac{z_{n}}{w_{n}}\right\} \)が収束する場合、もとの複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{ w_{n}\right\} \)は収束するとは限りません。以下の例より明らかです。
例（収束しない複素数列の商）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{w_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{eqnarray*}z_{n} &=&ni \\
w_{n} &=&ni
\end{eqnarray*}であるものとします。\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{ w_{n}\right\} \)はともに有界ではないため、\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{ w_{n}\right\} \)はともに複素数へ収束しません。複素数列\(\left\{ \frac{z_{n}}{w_{n}}\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}\frac{z_{n}}{w_{n}} &=&\frac{ni}{ni} \\
&=&1
\end{eqnarray*}ですが、実数列\(\left\{ \mathrm{Re}\left( \frac{z_{n}}{w_{n}}\right) \right\} \)の極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( \frac{z_{n}}{w_{n}}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}であり、実数列\(\left\{ \mathrm{Im}\left( \frac{z_{n}}{w_{n}}\right) \right\} \)の極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( \frac{z_{n}}{w_{n}}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、もとの複素数列\(\left\{ \frac{z_{n}}{w_{n}}\right\} \)は収束するとともに、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( \frac{z_{n}}{w_{n}}\right) &=&1+0i \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。以上より、\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{ w_{n}\right\} \)はともに収束しない一方で\(\left\{ \frac{z_{n}}{w_{n}}\right\} \)は収束することが明らかになりました。
w_{n} &=&ni
\end{eqnarray*}であるものとします。\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{ w_{n}\right\} \)はともに有界ではないため、\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{ w_{n}\right\} \)はともに複素数へ収束しません。複素数列\(\left\{ \frac{z_{n}}{w_{n}}\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}\frac{z_{n}}{w_{n}} &=&\frac{ni}{ni} \\
&=&1
\end{eqnarray*}ですが、実数列\(\left\{ \mathrm{Re}\left( \frac{z_{n}}{w_{n}}\right) \right\} \)の極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( \frac{z_{n}}{w_{n}}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}であり、実数列\(\left\{ \mathrm{Im}\left( \frac{z_{n}}{w_{n}}\right) \right\} \)の極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( \frac{z_{n}}{w_{n}}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、もとの複素数列\(\left\{ \frac{z_{n}}{w_{n}}\right\} \)は収束するとともに、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( \frac{z_{n}}{w_{n}}\right) &=&1+0i \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。以上より、\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{ w_{n}\right\} \)はともに収束しない一方で\(\left\{ \frac{z_{n}}{w_{n}}\right\} \)は収束することが明らかになりました。
演習問題
問題（商の法則が要求する条件の吟味）
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{w_{n}\right\} \)がそれぞれ与えられたとき、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :w_{n}\not=0
\end{equation*}が成り立つ場合にはそこから複素数列\(\left\{ \frac{z_{n}}{w_{n}}\right\} \)を定義します。\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{ w_{n}\right\} \)がともに複素数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }w_{n}\not=0
\end{equation*}が成り立つ場合には、本文中で示した命題より、複素数列\(\left\{ \frac{z_{n}}{w_{n}}\right\} \)もまた複素数へ収束します。そこで、複素数列\(\left\{ z_{n}\right\},\left\{ w_{n}\right\} \)の少なくとも一方が複素数へ収束しない場合には、複素数列\(\left\{ \frac{z_{n}}{w_{n}}\right\} \)もまた複素数へ収束しない事態が起こり得ることを示してください。
\end{equation*}が成り立つ場合にはそこから複素数列\(\left\{ \frac{z_{n}}{w_{n}}\right\} \)を定義します。\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{ w_{n}\right\} \)がともに複素数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }w_{n}\not=0
\end{equation*}が成り立つ場合には、本文中で示した命題より、複素数列\(\left\{ \frac{z_{n}}{w_{n}}\right\} \)もまた複素数へ収束します。そこで、複素数列\(\left\{ z_{n}\right\},\left\{ w_{n}\right\} \)の少なくとも一方が複素数へ収束しない場合には、複素数列\(\left\{ \frac{z_{n}}{w_{n}}\right\} \)もまた複素数へ収束しない事態が起こり得ることを示してください。
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