実数列を用いた複素数列の収束判定
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が複素数\(a\in \mathbb{Z} \)へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=a
\end{equation*}が成り立つことは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert z_{n}-a\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。ただ、以上の定義にもとづいて複素数列が収束することを示す作業は面倒です。複素数列の極限は実数列の極限を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用すれば実数列に関する知識を動員して複素数の収束可能性を検討できます。順を追って説明します。
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}z_{n}=x_{n}+iy_{n}
\end{equation*}であるものとします。つまり、\(z_{n}\)は複素数ですが、\(x_{n}\)は\(z_{n}\)の実部であり、\(y_{n}\)は\(z_{n}\)の虚部であり、これらはともに実数です。したがって、複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が与えられれば、\(\left\{ z_{n}\right\} \)の一般項\(z_{n}\)の実部\(x_{n}\)を一般項とする実数列\(\left\{x_{n}\right\} \)と、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項\(z_{n}\)の虚部\(y_{n}\)を一般項とする実数列\(\left\{y_{n}\right\} \)がそれぞれ得られます。
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が複素数へ収束する場合には、実数列\(\left\{ x_{n}\right\},\left\{ y_{n}\right\} \)はともに実数へ収束するとともに、これらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty
}x_{n}+i\lim_{n\rightarrow +\infty }y_{n}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、複素数列\(\left\{z_{n}\right\} \)の極限の実部は実数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限と一致し、複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の極限の虚部は実数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)の極限と一致します。
}x_{n}+i\lim_{n\rightarrow +\infty }y_{n}
\end{equation*}が成り立つ。
先の命題の逆も成立します。つまり、複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} =\left\{ x_{n}+iy_{n}\right\} \)が与えられたとき、実数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)はともに実数へ収束する場合には、複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)は複素数へ収束するとともに、これらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty
}x_{n}+i\lim_{n\rightarrow +\infty }y_{n}
\end{equation*}が成り立ちます。
}x_{n}+i\lim_{n\rightarrow +\infty }y_{n}
\end{equation*}が成り立つ。
以上の2つの命題より、複素数列の収束は実数列の収束を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。
}x_{n}+i\lim_{n\rightarrow +\infty }y_{n}
\end{equation*}が成り立つ。
以上の命題より、複素数列の収束に関する議論を、実数列の収束に関する議論に置き換えて考えることができます。つまり、複素数列の収束可能性を判定する際に、イプシロン・エヌ論法を利用する必要はなく、実数列の極限に関する知識を動員できます。
\frac{n\pi }{4}\right) i\right] \end{equation*}であるものとします。複素数\(z_{n}\)の実部\(x_{n}\)に関する実数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n}\cos \left( \frac{n\pi }{4}\right)
\end{equation*}です。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}-1\leq \cos \left( \frac{n\pi }{4}\right) \leq 1
\end{equation*}であることから、各辺を\(n>0\)で割ることにより、\begin{equation*}-\frac{1}{n}\leq \frac{1}{n}\cos \left( \frac{n\pi }{4}\right) <\frac{1}{n}
\end{equation*}を得ます。さらに、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( -\frac{1}{n}\right) &=&0 \\
\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n} &=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、はさみうちの定理より、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}\cos \left( \frac{n\pi }{4}\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=0
\end{equation*}を得ます。複素数\(z_{n}\)の虚部\(y_{n}\)に関する実数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}y_{n}=\frac{1}{n}\sin \left( \frac{n\pi }{4}\right)
\end{equation*}です。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}-1\leq \sin \left( \frac{n\pi }{4}\right) \leq 1
\end{equation*}であることから、各辺を\(n>0\)で割ることにより、\begin{equation*}-\frac{1}{n}\leq \frac{1}{n}\sin \left( \frac{n\pi }{4}\right) <\frac{1}{n}
\end{equation*}を得ます。さらに、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( -\frac{1}{n}\right) &=&0 \\
\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n} &=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、はさみうちの定理より、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}\sin \left( \frac{n\pi }{4}\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }y_{n}=0
\end{equation*}を得ます。したがって、先の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty
}x_{n}+i\lim_{n\rightarrow +\infty }y_{n} \\
&=&0+i0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}であることが明らかになりました。
複素数列の極限の候補が明らかである場合の収束判定
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の極限の候補\(a\in \mathbb{C} \)が何らかの事情により明らかになっている状況を想定します。2つの複素数の間の距離は実数として定まるため、この場合、\begin{equation*}\left\vert z_{n}-a\right\vert
\end{equation*}が一般項であるような実数列\(\left\{ \left\vert z_{n}-a\right\vert\right\} \)を構成できます。つまり、この実数列の一般項はもとの複素数列の一般項とその複素数列の極限の候補の間の距離です。
以上の要領で定義された数列\(\left\{ \left\vert z_{n}-a\right\vert\right\} \)がゼロへ収束することと、もとの複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が複素数\(a\)へ収束することは必要十分です。つまり、以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=a\Leftrightarrow \lim_{n\rightarrow
+\infty }\left\vert z_{n}-a\right\vert =0
\end{equation*}が成り立ちます。
+\infty }\left\vert z_{n}-a\right\vert =0
\end{equation*}が成り立つ。
以上の命題より、複素数列の極限の候補が明らかである場合には、先の命題とは異なる形で、複素数列の収束に関する議論を、実数列の収束に関する議論に置き換えて考えることができます。
\frac{n\pi }{4}\right) i\right] \end{equation*}であるものとします。この複素数列が以下の複素数\begin{equation*}
0\in \mathbb{C} \end{equation*}へ収束することを先の命題を用いて判定します。実数列\(\left\{ \left\vert z_{n}-0\right\vert \right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}\left\vert z_{n}-0\right\vert &=&\left\vert z_{n}\right\vert \\
&=&\sqrt{\left[ \frac{1}{n}\cos \left( \frac{n\pi }{4}\right) \right] ^{2}+\left[ \frac{1}{n}\sin \left( \frac{n\pi }{4}\right) \right] ^{2}} \\
&=&\sqrt{\frac{1}{n^{2}}\cos ^{2}\left( \frac{n\pi }{4}\right) +\frac{1}{n^{2}}\sin ^{2}\left( \frac{n\pi }{4}\right) } \\
&=&\sqrt{\frac{1}{n^{2}}} \\
&=&\frac{1}{n}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert z_{n}-0\right\vert
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n} \\
&=&0
\end{eqnarray*}を得ます。したがって先の命題より、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=0
\end{equation*}であることが明らかになりました。
複素数列が収束しないことの判定
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} =\left\{x_{n}+iy_{n}\right\} \)が複素数へ収束することと、実数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)がともに実数へ収束することは必要十分であることが明らかになりました。したがって、実数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{y_{n}\right\} \)の少なくとも一方が実数へ収束しない場合、もとの複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)は複素数へは収束しません。
i
\end{equation*}であるものとします。複素数\(z_{n}\)の実部\(x_{n}\)に関する実数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}x_{n}=\cos \left( \frac{n\pi }{4}\right)
\end{equation*}です。これは振動列であるため実数へ収束しません。したがって先の命題より、もとの複素数列\(\left\{z_{n}\right\} \)は複素数へ収束しません。
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が複素数\(a\in \mathbb{C} \)へ収束することと、実数列\(\left\{ \left\vert z_{n}-a\right\vert \right\} \)が\(0\)へ収束することは必要十分であることが明らかになりました。したがって、実数列\(\left\{ \left\vert z_{n}-a\right\vert \right\} \)が\(0\)へ収束しない場合、もとの複素数列\(\left\{z_{n}\right\} \)は複素数\(a\)へ収束しません。さらに、いかなる複素数\(a\in \mathbb{C} \)についても実数列\(\left\{\left\vert z_{n}-a\right\vert \right\} \)が\(0\)へ収束しない場合、もとの複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)は複素数へ収束しません。
\end{equation*}であるものとします。複素数\begin{equation*}
a=\mathrm{Re}\left( a\right) +\mathrm{Im}\left( a\right) i\in \mathbb{C} \end{equation*}を任意に選んだとき、実数列\(\left\{ \left\vert z_{n}-a\right\vert\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}\left\vert z_{n}-a\right\vert &=&\left\vert \left( n+ni\right) -\left[
\mathrm{Re}\left( a\right) +\mathrm{Im}\left( a\right) i\right] \right\vert \\
&&\left\vert \left[ n-\mathrm{Re}\left( a\right) \right] +\left[ n-\mathrm{Im}\left( a\right) \right] i\right\vert \\
&=&\sqrt{\left[ n-\mathrm{Re}\left( a\right) \right] ^{2}+\left[ n-\mathrm{Im}\left( a\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert z_{n}-a\right\vert
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\sqrt{\left[ n-\mathrm{Re}\left( a\right) \right] ^{2}+\left[ n-\mathrm{Im}\left( a\right) \right] ^{2}} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}であり、したがって、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert z_{n}-a\right\vert \not=0
\end{equation*}であるため、\(\left\{ z_{n}\right\} \)は\(a\)へ収束しません。任意の\(a\in \mathbb{C} \)について同様であるため、\(\left\{ z_{n}\right\} \)は複素数へ収束しないことが明らかになりました。
演習問題
\end{equation*}であるものとします。この複素数列は収束するでしょうか。判定してください。また、収束する場合には極限を求めてください。
\end{equation*}であるものとします。この複素数列は収束するでしょうか。判定してください。また、収束する場合には極限を求めてください。
\end{equation*}であるものとします。この複素数列は収束するでしょうか。判定してください。また、収束する場合には極限を求めてください。
\end{equation*}であるものとします。この複素数列は収束するでしょうか。判定してください。また、収束する場合には極限を求めてください。
\end{equation*}であるものとします。この複素数列は収束するでしょうか。判定してください。また、収束する場合には極限を求めてください。
\end{equation*}であるものとします。この複素数列は収束するでしょうか。判定してください。また、収束する場合には極限を求めてください。
\end{equation*}であるものとします。この複素数列は収束するでしょうか。判定してください。また、収束する場合には極限を求めてください。
\end{equation*}であるものとします。この複素数列は収束するでしょうか。判定してください。また、収束する場合には極限を求めてください。
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