確認テスト I（複素数列）

以下の複素数列\begin{equation*}
\left\{ \left( 1+i\right) ^{n}\right\}
\end{equation*}の一般項を極形式に変換した上で、この複素数列の最初の5つの項を特定してください。

複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}z_{n}=\frac{\left( -1\right) ^{n}2}{n+1}i
\end{equation*}で与えられているものとします。\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=0
\end{equation*}が成り立つことをイプシロン・エヌ論法を用いて証明してください。

複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}z_{n}=e^{\frac{1}{n}}+2\arctan \left( n\right) i
\end{equation*}で与えられているものとします。この複素数列の極限を求めてください。

複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}z_{n}=\left( \frac{1-\sqrt{3}i}{2}\right) ^{6n}
\end{equation*}で与えられているものとします。この複素数列の極限を求めてください。

複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}z_{n}=\left( -1\right) ^{n}+\frac{i}{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。この複素数列が収束しないことを示してください。

複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}z_{n}=\left( \frac{1+i}{\sqrt{2}}\right) ^{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。この複素数列が収束しないことを示してください。

複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}z_{n}=\frac{ni+2^{n}}{3ni+5^{n}}
\end{equation*}で与えられているものとします。この複素数列の極限を求めてください。