部分列を用いた複素数列の収束可能性の特徴づけ
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が複素数\(a\in \mathbb{C} \)へ収束する状況を想定します。つまり、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=a
\end{equation*}が成り立つということです。以上の状況において\(\left\{ z_{n}\right\} \)の部分列\(\left\{ z_{l\left( n\right) }\right\} \)を任意に選んだ場合、\(\left\{z_{l\left( n\right) }\right\} \)もまたもとの複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の極限\(a\)と同じ極限へ収束することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{l\left( n\right) }=a
\end{equation*}が成り立つということです。
上の命題の逆もまた成立します。つまり、複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の任意の部分列が収束するとともに、部分列の極限がすべて一致する場合には、もとの複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)もまた部分列の極限と同じ極限へ収束します。
以上の2つの命題より、複素数列の収束可能性を部分列を用いて以下のように表現できることが明らかになりました。
部分列を用いた収束複素数列の極限の特定
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が収束することは分かっているものの、その極限が明らかではない状況を想定します。この場合、先の命題より、この複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の任意の部分列は\(\left\{ z_{n}\right\} \)と同一の極限に収束することが保証されているため、複素数列\(\left\{z_{n}\right\} \)の極限を求めるかわりに、何らかの部分列の極限を求めてもよいことになります。
この手法はもとの複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が収束することが分かっている状況においてのみ利用可能であることに注意してください。なぜなら、もとの複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が収束しない場合でもその部分列が収束する事態は起こり得るからです。以下の例より明らかです。
\end{equation*}で与えられるものとします。実数列\(\left\{ \mathrm{Im}\left( z_{n}\right) \right\} \)の一般項は、\begin{equation*}\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) =\left( -1\right) ^{n}
\end{equation*}ですが、これは振動列であるため収束せず、したがってもとの複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)もまた収束しません。その一方で、この複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の偶数番目の項からなる部分列\(\left\{ z_{l\left( n\right) }\right\} =\left\{z_{2n}\right\} \)に注目すると、その一般項は、\begin{eqnarray*}z_{l\left( n\right) } &=&z_{2n} \\
&=&\left( -1\right) ^{2n}i \\
&=&i
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }z_{l\left( n\right) } &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }i \\
&=&i
\end{eqnarray*}となります。
複素数列が収束しないことの証明
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の部分列の中に収束しないものが存在する場合、もとの複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)もまた収束しません。なぜなら、先の命題より、そのような部分列が存在することは\(\left\{ z_{n}\right\} \)が収束することと矛盾するからです。
\end{equation*}で与えられるものとします。この複素数列の偶数番目の項からなる部分列\(\left\{ z_{l\left( n\right)}\right\} =\left\{ z_{2n}\right\} \)に注目すると、その一般項は、\begin{eqnarray*}z_{l\left( n\right) } &=&z_{2n} \\
&=&\left[ \left( -1\right) ^{2n}+n\right] i \\
&=&\left( 1+n\right) i
\end{eqnarray*}ですが、実数列\(\left\{ \mathrm{Im}\left( z_{l\left( n\right) }\right) \right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{l\left( n\right) }\right)
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( 1+n\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立つため\(\left\{ \mathrm{Im}\left( z_{l\left( n\right) }\right) \right\} \)は収束せず、したがって\(\left\{z_{l\left( n\right) }\right\} \)もまた収束しません。したがって先の命題より、もとの複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)は収束しません。
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の任意の部分列が収束するものの、極限が異なる複数の部分列が存在する場合、もとの複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)は収束しません。なぜなら、先の命題より、そのような部分列が存在することは\(\left\{z_{n}\right\} \)が収束することと矛盾するからです。
\end{equation*}で与えられているものとします。この複素数列の偶数番目の項からなる部分列\(\left\{z_{l\left( n\right) }\right\} =\left\{ z_{2n}\right\} \)に注目すると、その一般項は、\begin{eqnarray*}z_{l\left( n\right) } &=&z_{2n} \\
&=&\left[ \left( -1\right) ^{2n}+\frac{1}{2n}\right] i \\
&=&\left( 1+\frac{1}{2n}\right) i
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }z_{l\left( n\right) } &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( 1+\frac{1}{2n}\right) i \\
&=&i
\end{eqnarray*}となります。一方、偶数番目の項からなる部分列\(\left\{ z_{k\left( n\right) }\right\}=\left\{ z_{2n-1}\right\} \)に注目すると、その一般項は、\begin{eqnarray*}z_{k\left( n\right) } &=&z_{2n-1} \\
&=&\left[ \left( -1\right) ^{2n-1}+\frac{1}{2n-1}\right] i \\
&=&\left( -1+\frac{1}{2n-1}\right) i
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }z_{k\left( n\right) } &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( -1+\frac{1}{2n-1}\right) i \\
&=&-i
\end{eqnarray*}となります。つまり、これらの部分列の極限は異なるため、先の命題より、もとの複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)は収束しません。
演習問題
\end{equation*}で与えられているものとします。この複素数列は収束するでしょうか。検討してください。
\end{equation*}で与えられているものとします。この複素数列は収束するでしょうか。検討してください。
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