複素数列の差の極限（差の法則）

複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{w_{n}\right\} \)がそれぞれ与えられたとき、そこから複素数列\(\left\{ z_{n}-w_{n}\right\} \)を定義する。\(\left\{ z_{n}\right\},\left\{ w_{n}\right\} \)がともに複素数へ収束する場合には\(\left\{ z_{n}-w_{n}\right\} \)もまた複素数へ収束し、それらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( z_{n}-w_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
+\infty }z_{n}-\lim_{n\rightarrow +\infty }w_{n}
\end{equation*}が成り立つ。

複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{w_{n}\right\} \)から複素数列\(\left\{z_{n}-w_{n}\right\} \)を定義します。\(\left\{ z_{n}\right\} \)が収束する場合には、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left(
\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) +\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) i\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
+i\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right)
\end{eqnarray*}となります。\(\left\{ w_{n}\right\} \)が収束する場合には、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }w_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left(
\mathrm{Re}\left( w_{n}\right) +\mathrm{Im}\left( w_{n}\right) i\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( w_{n}\right)
+i\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( w_{n}\right)
\end{eqnarray*}となります。さらに先の命題より、この場合には\(\left\{ z_{n}-w_{n}\right\} \)も収束するとともに、その極限は、\begin{eqnarray*}&&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( z_{n}-w_{n}\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}-\lim_{n\rightarrow +\infty }w_{n} \\
&=&\left[ \lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
+i\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) \right] -\left[
\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( w_{n}\right)
+i\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( w_{n}\right) \right] \\
&=&\left[ \lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
-\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( w_{n}\right) \right] +\left[
\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) -\lim_{n\rightarrow
+\infty }\mathrm{Im}\left( w_{n}\right) \right] i
\end{eqnarray*}となります。

複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{w_{n}\right\} \)から複素数列\(\left\{z_{n}-w_{n}\right\} \)を定義します。\(\left\{ z_{n}\right\} \)は実数列であるとともに収束する場合には、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left[
\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) +\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) i\right] \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) \quad \because
\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) =0
\end{eqnarray*}となります。\(\left\{ w_{n}\right\} \)は実数列であるとともに収束する場合には、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }w_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left[
\mathrm{Re}\left( w_{n}\right) +\mathrm{Im}\left( w_{n}\right) i\right] \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( w_{n}\right) \quad \because
\mathrm{Im}\left( w_{n}\right) =0
\end{eqnarray*}となります。さらに先の命題より、この場合には\(\left\{ z_{n}-w_{n}\right\} \)も収束するとともに、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( z_{n}-w_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
+\infty }z_{n}-\lim_{n\rightarrow +\infty }w_{n} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
-\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( w_{n}\right)
\end{eqnarray*}となります。

複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{w_{n}\right\} \)から複素数列\(\left\{z_{n}-w_{n}\right\} \)を定義します。\(\left\{ z_{n}\right\} \)は純虚数列であるとともに収束する場合には、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left[
\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) +\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) i\right] \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left[ \mathrm{Im}\left( z_{n}\right) i\right] \quad \because \mathrm{Re}\left( z_{n}\right) =0 \\
&=&i\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right)
\end{eqnarray*}となります。\(\left\{ w_{n}\right\} \)は純虚数列であるとともに収束する場合には、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }w_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left[
\mathrm{Re}\left( w_{n}\right) +\mathrm{Im}\left( w_{n}\right) i\right] \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left[ \mathrm{Im}\left( w_{n}\right) i\right] \quad \because \mathrm{Re}\left( w_{n}\right) =0 \\
&=&i\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( w_{n}\right)
\end{eqnarray*}となります。さらに先の命題より、この場合には\(\left\{ z_{n}-w_{n}\right\} \)も収束するとともに、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( z_{n}-w_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
+\infty }z_{n}-\lim_{n\rightarrow +\infty }w_{n} \\
&=&i\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right)
-i\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( w_{n}\right) \\
&=&i\left[ \lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right)
-\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( w_{n}\right) \right] \end{eqnarray*}となります。

複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{w_{n}\right\} \)から複素数列\(\left\{z_{n}-w_{n}\right\} \)を定義します。\(\left\{ z_{n}\right\} \)の一般項が極形式の複素数\begin{equation*}z_{n}=r_{n}\left[ \cos \left( \theta _{n}\right) +\sin \left( \theta
_{n}\right) i\right] \end{equation*}であるとともに収束する場合には、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\cos
\left( \theta _{n}\right) +i\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\sin \left(
\theta _{n}\right)
\end{equation*}となります。\(\left\{ w_{n}\right\} \)の一般項が極形式の複素数\begin{equation*}w_{n}=t_{n}\left[ \cos \left( \phi _{n}\right) +\sin \left( \phi _{n}\right)
i\right] \end{equation*}であるとともに収束する場合には、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }w_{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty }t_{n}\cos
\left( \phi _{n}\right) +i\lim_{n\rightarrow +\infty }t_{n}\sin \left( \phi
_{n}\right)
\end{equation*}となります。さらに先の命題より、この場合には\(\left\{ z_{n}-w_{n}\right\} \)も収束するとともに、その極限は、\begin{eqnarray*}&&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( z_{n}-w_{n}\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}-\lim_{n\rightarrow +\infty }w_{n} \\
&=&\left[ \lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\cos \left( \theta _{n}\right)
+i\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\sin \left( \theta _{n}\right) \right] -\left[ \lim_{n\rightarrow +\infty }t_{n}\cos \left( \phi _{n}\right)
+i\lim_{n\rightarrow +\infty }t_{n}\sin \left( \phi _{n}\right) \right] \\
&=&\left[ \lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\cos \left( \theta _{n}\right)
-\lim_{n\rightarrow +\infty }t_{n}\cos \left( \phi _{n}\right) \right] +\left[ \lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}\sin \left( \theta _{n}\right)
-\lim_{n\rightarrow +\infty }t_{n}\sin \left( \phi _{n}\right) \right] i
\end{eqnarray*}となります。

複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が収束する場合、その極限は1つの複素数として定まりますが、同じことを差の法則を用いて証明できます。実際、複素数列\(\left\{z_{n}\right\} \)が異なる2つの複素数\(a,b\in \mathbb{C} \)へ収束するものと仮定すると、すなわち、\begin{eqnarray}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n} &=&a \quad \cdots (1) \\
\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n} &=&b \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}がともに成り立つものと仮定すると、\begin{eqnarray*}
a-b &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n}-\lim_{n\rightarrow +\infty
}z_{n}\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( z_{n}-z_{n}\right) \quad \because
\text{差の法則} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
a=b
\end{equation*}となりますが、これは\(a\not=b\)と矛盾です。したがって背理法より\(\left\{ z_{n}\right\} \)の極限は一意的です。

複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{w_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{eqnarray*}z_{n} &=&n \\
w_{n} &=&n-i
\end{eqnarray*}であるものとします。\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{ w_{n}\right\} \)はともに有界ではないため、\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{ w_{n}\right\} \)はともに複素数へ収束しません。複素数列\(\left\{ z_{n}-w_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}z_{n}-w_{n} &=&n-\left( n-i\right) \\
&=&i
\end{eqnarray*}ですが、実数列\(\left\{ \mathrm{Re}\left( z_{n}-w_{n}\right) \right\} \)の極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}+w_{n}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、実数列\(\left\{ \mathrm{Im}\left( z_{n}-w_{n}\right) \right\} \)の極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}+w_{n}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}であるため、もとの複素数列\(\left\{ z_{n}-w_{n}\right\} \)は収束するとともに、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( z_{n}-w_{n}\right) &=&0+1i \\
&=&i
\end{eqnarray*}となります。以上より、\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{ w_{n}\right\} \)はともに収束しない一方で\(\left\{ z_{n}-w_{n}\right\} \)は収束することが明らかになりました。

複素数へ収束する2つの複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{w_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、複素数列\(\left\{ z_{n}-w_{n}\right\} \)もまた複素数へ収束し、それらの極限の間に、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( z_{n}-w_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }w_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }w_{n}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。本文中では、これを定数倍の法則と和の法則を用いて証明しましたが、同じことを、イプシロン・エヌ論法を用いて証明してください。

複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{w_{n}\right\} \)がともに複素数へ収束する場合には、本文中で示した命題より、複素数列\(\left\{z_{n}-w_{n}\right\} \)もまた複素数へ収束します。そこで、複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{w_{n}\right\} \)の少なくとも一方が複素数へ収束しない場合には、複素数列\(\left\{ z_{n}-w_{n}\right\} \)もまた複素数へ収束しない事態が起こり得ることを示してください。

複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{w_{n}\right\} \)が与えられた状況において複素数列\(\left\{ z_{n}+w_{n}\right\} \)を定義します。\(\left\{ w_{n}\right\} \)と\(\left\{ z_{n}+w_{n}\right\} \)がともに複素数へ収束する場合には\(\left\{z_{n}\right\} \)もまた複素数へ収束することを示してください。

複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} ,\left\{w_{n}\right\} \)が与えられた状況において複素数列\(\left\{ w_{n}-z_{n}\right\} \)を定義します。\(\left\{ z_{n}\right\} \)は複素数へ収束し、\(\left\{ w_{n}-z_{n}\right\} \)は\(0\in \mathbb{C} \)へ収束するものとします。この場合、\(\left\{w_{n}\right\} \)もまた\(\left\{ z_{n}\right\} \)の極限と同じ極限へ収束することを示してください。