絶対値級数を導入する動機
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の項の無限級数とは、\(\left\{z_{n}\right\} \)の無限個の項を順番通りに加えることにより得られる和\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n}=z_{1}+z_{2}+z_{3}+\cdots
\end{equation*}として定義されます。無限級数を、\begin{equation*}
\sum z_{n}
\end{equation*}と表記することもできます。
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の初項から第\(n\)項までの和を、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&z_{1}+z_{2}+\cdots +z_{n} \\
&=&\sum_{v=1}^{n}z_{v}
\end{eqnarray*}で表記し、これを複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の部分和と呼びます。無限級数\(\sum z_{n}\)が収束することとは、部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)が複素数へ収束することとして定義されます。つまり、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }s_{n}\in \mathbb{C} \end{equation*}が成り立つ場合には無限級数\(\sum z_{n}\)もまた収束するものと定義するとともに、この場合、無限級数\(\sum z_{n}\)の和を、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty }s_{n}
\end{equation*}と定義します。
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の項の絶対値を項として持つ新たな実数列\(\left\{\left\vert z_{n}\right\vert \right\} \)を定義すれば、絶対値の定義より、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :\left\vert z_{n}\right\vert \geq 0
\end{equation*}が成り立つため、この実数列\(\left\{ \left\vert z_{n}\right\vert\right\} \)の項からなる無限級数\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }\left\vert z_{n}\right\vert =\left\vert
z_{1}\right\vert +\left\vert z_{2}\right\vert +\left\vert z_{3}\right\vert
+\cdots
\end{equation*}は正項級数になります。この正項級数\(\sum\left\vert z_{n}\right\vert \)をもとの複素級数\(\sum z_{n}\)の絶対値級数（absolute value series）と呼びます。
絶対値級数\(\sum \left\vert z_{n}\right\vert \)は正項級数であるため、それが収束・発散するか判定する際に、正項級数を対象とした判定方法を利用できます。では、絶対値級数\(\sum \left\vert z_{n}\right\vert \)が収束することが判明した場合、もとの複素級数\(\sum z_{n}\)の収束可能性についても何らかのことが言えるのでしょうか。
絶対収束複素級数
複素級数\(\sum z_{n}\)が与えられたとき、その絶対値級数\(\sum \left\vert z_{n}\right\vert \)が収束する場合には、もとの複素級数\(\sum z_{n}\)もまた収束することが保証されます。つまり、絶対値級数\(\sum \left\vert z_{n}\right\vert \)について、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }\left\vert z_{n}\right\vert =\lim_{n\rightarrow +\infty
}\sum_{v=1}^{n}\left\vert z_{v}\right\vert \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つ場合には、もとの複素級数\(\sum z_{n}\)について、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty
}\sum_{v=1}^{n}z_{v}\in \mathbb{C} \end{equation*}が成り立つことが保証されるということです。
複素級数\(\sum z_{n}\)が与えられているものとします。その絶対値級数\(\sum \left\vert z_{n}\right\vert \)が収束する場合、もとの複素級数\(\sum z_{n}\)は絶対収束する（absolutely convergent）と言います。またこのとき、もとの複素級数\(\sum z_{n}\)を絶対収束複素級数（absolutely convergent complex series）と呼びます。先の命題より、絶対収束複素級数は収束します。
改めて整理します。絶対収束複素級数は収束するため、複素級数が収束することを示す代わりに、それが絶対収束複素級数であることを示すこともできます。つまり、複素級数\(\sum z_{n}\)の絶対値級数\(\sum \left\vert z_{n}\right\vert \)をとった上で、それが収束することを示せばよいということです。絶対値級数\(\sum\left\vert z_{n}\right\vert \)は正項級数であるような実級数であるため、正項級数を対象とした様々な収束判定法を利用できることに注意してください。正項級数に関する知識を活用しながら複素級数の収束判定を行えるということです。
\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{\left( \frac{3}{5}+\frac{4}{5}i\right) ^{n}}{n^{2}+in} \quad \cdots (1)
\end{equation}が絶対収束することを示します。そこで、絶対値級数\begin{equation}
\sum_{n=1}^{+\infty }\left\vert \frac{\left( \frac{3}{5}+\frac{4}{5}i\right)
^{n}}{n^{2}+in}\right\vert \quad \cdots (2)
\end{equation}について考えます。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}\left\vert \frac{\left( \frac{3}{5}+\frac{4}{5}i\right) ^{n}}{n^{2}+in}\right\vert &=&\frac{\left\vert \left( \frac{3}{5}+\frac{4}{5}i\right)
^{n}\right\vert }{\left\vert n^{2}+in\right\vert }\quad \because \text{商の絶対値} \\
&=&\frac{1}{\sqrt{n^{4}+n^{2}}} \\
&=&\frac{1}{n\sqrt{n^{2}+1}} \\
&<&\frac{1}{n^{2}}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\forall n\in \mathbb{N} :0\leq \left\vert \frac{\left( \frac{3}{5}+\frac{4}{5}i\right) ^{n}}{n^{2}+in}\right\vert <\frac{1}{n^{2}} \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立ちます。\(\sum \frac{1}{n^{2}}\)は\(p=2>1\)を満たすベキ級数であるため収束し、したがって\(\left( 3\right) \)および正項級数に関する比較判定法より\(\left( 2\right) \)は収束します。つまり、\(\left( 1\right) \)は絶対収束します。先の命題より絶対収束する複素級数は収束するため\(\left( 1\right) \)は収束します。
絶対収束複素級数は収束することが明らかになりました。つまり、絶対値級数\(\sum\left\vert z_{n}\right\vert \)が実数へ収束するならば、複素級数\(\sum z_{n}\)は複素数へ収束します。その一方で、先の命題は複素級数\(\sum z_{n}\)の和について何も語っていません。先の命題は複素級数の収束可能性を判定する上での指針を与えてくれる一方で、その複素級数の和を特定する指針は与えてくれません。実際、絶対値級数\(\sum \left\vert z_{n}\right\vert \)の和は、複素級数\(\sum z_{n}\)の和である複素数の絶対値と一致するとは限りません。以下の例より明らかです。
\sum_{n=1}^{+\infty }\left( \frac{i}{2}\right) ^{n-1}
\end{equation*}について考えます。複素数列\(\left\{ \left( \frac{i}{2}\right)^{n}\right\} \)は初項が\(1\)であり公比が\(\frac{i}{2}\)の等比複素数列です。初項は\(1\not=0\)を満たすとともに、公比は、\begin{eqnarray*}\left\vert \frac{i}{2}\right\vert &=&\sqrt{0^{2}+\left( \frac{1}{2}\right)
^{2}} \\
&=&\frac{1}{2} \\
&<&1
\end{eqnarray*}を満たすため、\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{+\infty }\left( \frac{i}{2}\right) ^{n-1} &=&\frac{1}{1-\frac{i}{2}}\quad \because \text{等比複素級数の和} \\
&=&\frac{2}{2-i} \\
&=&\frac{2\left( 2+i\right) }{\left( 2-i\right) \left( 2+i\right) } \\
&=&\frac{4+2i}{4-i^{2}} \\
&=&\frac{4}{5}+\frac{2}{5}i
\end{eqnarray*}を得ます。その絶対値は、\begin{eqnarray*}
\left\vert \sum_{n=1}^{+\infty }\left( \frac{i}{2}\right) ^{n-1}\right\vert
&=&\left\vert \frac{4}{5}+\frac{2}{5}i\right\vert \\
&=&\sqrt{\left( \frac{4}{5}\right) ^{2}+\left( \frac{2}{5}\right) ^{2}} \\
&=&\frac{2\sqrt{5}}{5}
\end{eqnarray*}です。続いて、絶対値級数の和は、\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{+\infty }\left\vert \left( \frac{i}{2}\right) ^{n-1}\right\vert
&=&\sum_{n=1}^{+\infty }\left\vert \frac{i}{2}\right\vert ^{n-1} \\
&=&\sum_{n=1}^{+\infty }\left( \sqrt{0^{2}+\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}}\right) ^{n-1} \\
&=&\sum_{n=1}^{+\infty }\left( \frac{1}{2}\right) ^{n-1}
\end{eqnarray*}となりますが、実数列\(\left\{ \left( \frac{1}{2}\right) ^{n-1}\right\} \)は初項が\(1\)であり公比が\(\frac{1}{2}\)の等比実数列です。初項は\(1\not=0\)を満たすとともに、公比は、\begin{equation*}-1<\frac{1}{2}<1
\end{equation*}を満たすため、\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{+\infty }\left\vert \left( \frac{i}{2}\right) ^{n-1}\right\vert
&=&\sum_{n=1}^{+\infty }\left( \frac{1}{2}\right) ^{n-1} \\
&=&\frac{1}{1-\frac{1}{2}} \\
&=&2
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、もとの複素数列\(\sum \left( \frac{i}{2}\right) ^{n-1}\)は絶対収束します。その一方で、\begin{equation*}\left\vert \sum_{n=1}^{+\infty }\left( \frac{i}{2}\right) ^{n-1}\right\vert
\not=\sum_{n=1}^{+\infty }\left\vert \left( \frac{i}{2}\right)
^{n-1}\right\vert
\end{equation*}であることが明らかになりました。
収束する複素級数は絶対収束するとは限らない（条件収束複素級数）
絶対収束する複素級数は必ず収束することが明らかになりましたが、その逆は成り立つとは限りません。収束する複素級数は絶対収束するとは限らないということです。
複素級数\(\sum z_{n}\)が収束する一方で絶対収束しない場合、そのような複素級数\(\sum z_{n}\)は条件収束する（conditionally convergent）と言います。条件収束する複素級数を条件収束複素級数（conditionally convergent complex series）と呼びます。
\end{equation*}であるものとします。この複素数列\(\left\{z_{n}\right\} \)の項の無限級数\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n}=i-\frac{i}{2}+\frac{i}{3}-\cdots
\end{equation*}が条件収束することを示します。つまり、この無限級数\(\sum z_{n}\)が収束する一方で絶対収束しないことを示します。まずは\(\sum z_{n}\)が収束することを示します。実部に関する無限級数は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right) &=&\sum_{n=1}^{+\infty }0
\\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\sum_{v=1}^{n}0 \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため収束します。虚部に関する無限級数は、\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) &=&\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{\left( -1\right) ^{n-1}}{n} \\
&=&1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots
\end{eqnarray*}であるため、これは交代級数です。しかも、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :\frac{1}{n}>0 \\
&&\left( b\right) \ 1>\frac{1}{2}>\frac{1}{3}>\cdots \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}=0
\end{eqnarray*}がいずれも成り立つため、交代級数の収束条件より\(\sum \mathrm{Im}\left( z_{n}\right) \)は収束します。以上より\(\sum \mathrm{Re}\left( z_{n}\right) \)と\(\sum \mathrm{Im}\left( z_{n}\right) \)はともに収束することが明らかになりました。したがってもとの複素級数\(\sum z_{n}\)は収束します。続いて、\(\sum z_{n}\)が絶対収束しないことを示します。実数列\(\left\{ \left\vert z_{n}\right\vert\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}\left\vert z_{n}\right\vert &=&\left\vert \frac{\left( -1\right) ^{n-1}}{n}i\right\vert \\
&=&\sqrt{0^{2}+\left( \frac{1}{n}\right) ^{2}} \\
&=&\frac{1}{n} \\
&>&0
\end{eqnarray*}を満たすため、正項級数に関するダランベールの判定法を利用します。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}\frac{\left\vert z_{n+1}\right\vert }{\left\vert z_{n}\right\vert } &=&\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}} \\
&=&\frac{n}{n+1}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{\left\vert z_{n+1}\right\vert }{\left\vert
z_{n}\right\vert } &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n}{n+1} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{1+\frac{1}{n}} \\
&=&\frac{1}{1+0} \\
&=&1
\end{eqnarray*}を得ます。この極限は\(1\)以上であるため\(\sum\left\vert z_{n}\right\vert \)は発散します。したがって\(\sum z_{n}\)は絶対収束しません。
演習問題
\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{\left( -1\right) ^{n}}{3^{n}+1}i
\end{equation*}が絶対収束することを示してください。
\end{equation*}は、以下の条件\begin{equation*}
\left\vert z\right\vert <1
\end{equation*}のもとで絶対収束することを示してください。
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