等差複素級数
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の一般項が、定数\(a,d\in \mathbb{C} \)を用いて、\begin{equation*}z_{n}=a+\left( n-1\right) d
\end{equation*}と表される場合、このような複素数列を等差複素数列（arithmetic progression of complex numbers）と呼びます。等差複素数列の項を具体的に列挙すると、\begin{eqnarray*}
z_{1} &=&a \\
z_{2} &=&a+d \\
z_{3} &=&a+2d \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となります。つまり、等差複素数列とは初項が\(a\)であり、なおかつ隣り合う項が共通の差\(d\)を持つ複素数列です。この\(d\)を公差（common difference）と呼びます。
等差複素級数\(\left\{ z_{n}\right\} \)の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n} &=&\sum_{n=1}^{+\infty }\left[ a+\left(
n-1\right) d\right] \quad \because \left\{ z_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&a+\left( a+d\right) +\left( a+2d\right) +\cdots
\end{eqnarray*}となりますが、このような無限級数を等差複素級数（arithmetic series of complex numbers）と呼びます。
&=&ni
\end{eqnarray*}です。この複素数列の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n} &=&\sum_{n=1}^{+\infty }\left[ i+\left(
n-1\right) i\right] \\
&=&i+2i+3i+\cdots
\end{eqnarray*}ですが、これは等差複素級数です。
&=&1+i+n-ni-1+i \\
&=&n+\left( 2-n\right) i
\end{eqnarray*}です。この複素数列の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n} &=&\sum_{n=1}^{+\infty }\left[ n+\left(
2-n\right) i\right] \\
&=&\left( 1+i\right) +2+\left( 3-i\right) +\cdots
\end{eqnarray*}ですが、これは等差複素級数です。
&=&\left( n-1\right) d
\end{eqnarray*}です。この複素数列の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n} &=&\sum_{n=1}^{+\infty }\left( n-1\right) d \\
&=&0+d+2d+\cdots
\end{eqnarray*}ですが、これは等差複素級数です。
&=&a
\end{eqnarray*}です。この複素数列の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n} &=&\sum_{n=1}^{+\infty }a \\
&=&a+a+a+\cdots
\end{eqnarray*}ですが、これは等差複素級数です。
等差複素級数の収束可能性と発散可能性
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が等差複素数列であるものとします。つまり、その一般項が、定数\(a,d\in \mathbb{C} \)を用いて、\begin{equation*}z_{n}=a+\left( n-1\right) d
\end{equation*}と表されるということです。この複素数列の部分和は、\begin{equation*}
s_{n}=\frac{n\left[ 2a+\left( n-1\right) d\right] }{2}
\end{equation*}であることを踏まえた上で、等差複素数列の収束可能性を検討します。
等差複素級数の初項と交差がともに\(0\)である場合、等差複素級数は収束します。
\end{equation*}と表されるものとする。以下の条件\begin{equation*}
a=d=0
\end{equation*}が成り立つ場合には無限級数\(\sum z_{n}\)は収束するとともに、その和は、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n}=0
\end{equation*}となる。
等差複素数列の初項または公差の少なくとも一方が\(0\)ではない場合、等差複素級数は発散します。
\end{equation*}と表されるものとする。以下の条件\begin{equation*}
a\not=0\vee d\not=0
\end{equation*}が成り立つ場合には無限級数\(\sum z_{n}\)は発散する。
&=&ni
\end{eqnarray*}です。初項\(i\)と公差\(i\)はともに\(0\)とは異なるため、先の命題より、無限級数\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n} &=&\sum_{n=1}^{+\infty }\left[ i+\left(
n-1\right) i\right] \\
&=&i+2i+3i+\cdots
\end{eqnarray*}は発散します。
&=&1+i+n-ni-1+i \\
&=&n+\left( 2-n\right) i
\end{eqnarray*}です。初項\(1+i\)と公差\(1-i\)はともに\(0\)とは異なるため、先の命題より、無限級数\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n} &=&\sum_{n=1}^{+\infty }\left[ n+\left(
2-n\right) i\right] \\
&=&\left( 1+i\right) +2+\left( 3-i\right) +\cdots
\end{eqnarray*}は発散します。
&=&\left( n-1\right) d
\end{eqnarray*}です。公差が\(d=0\)の場合には、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n}=0
\end{equation*}である一方で、公差が\(d\not=0\)を満たす場合には無限級数\(\sum z_{n}\)は発散します。
&=&a
\end{eqnarray*}です。初項が\(a=0\)の場合には、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n}=0
\end{equation*}である一方が、初項が\(a\not=0\)を満たす場合には無限級数\(\sum z_{n}\)は発散します。
