コーシー・アダマールの判定法の欠点
複素数列\(\left\{ a_{n}\right\} _{n=0}^{+\infty }\)が与えられれば、これを係数とする原点まわりのベキ複素級数\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}z^{n}=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\cdots
\end{equation*}が得られます。このベキ級数の収束可能性は複素数\(z\in \mathbb{C} \)の選び方に依存します。ただし、以下の条件\begin{equation*}0\leq R\leq +\infty
\end{equation*}を満たす拡大実数\(R\in \overline{\mathbb{R} }\)が存在して、任意の\(z\in \mathbb{C} \)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ \left\vert z\right\vert <R\Rightarrow
\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}z^{n}\text{は絶対収束する} \\
&&\left( B\right) \ \left\vert z\right\vert >R\Rightarrow
\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}z^{n}\text{は発散する}
\end{eqnarray*}がともに成り立つことが明らかになりました。この値\(R\)をベキ複素級数\(\sum a_{n}z^{n}\)の収束半径と呼び、\(\sum a_{n}z^{n}\)が収束する\(z\)からなる集合\begin{equation*}\left\{ z\in \mathbb{C} \ |\ \left\vert z\right\vert <R\right\}
\end{equation*}を収束円と呼びます。
ベキ複素級数に対しては収束半径が必ず定まることが明らかになりました。収束半径の水準を具体的に特定する手段の1つがコーシー・アダマールの判定法です。結果だけを復習します。
\end{equation*}と表記する。このとき、以下の関係\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ r\not=0\Rightarrow \sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}z^{n}\text{の収束半径は}\frac{1}{r} \\
&&\left( B\right) \ r=0\Rightarrow \sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}z^{n}\text{の収束半径は}+\infty \\
&&\left( C\right) \ r=+\infty \Rightarrow \sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}z^{n}\text{の収束半径は}0
\end{eqnarray*}が成り立つ。
つまり、コーシー・アダマールの判定法を用いてベキ複素級数\(\sum a_{n}z^{n}\)の収束半径を特定するためには、実数列\(\left\{ \left\vert a_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}\right\} \)の極限を観察すればよいということになります。その極限が有限な実数または正の無限大である場合には、\(\sum a_{n}z^{n}\)の収束半径が、\begin{equation*}R=\frac{1}{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\left\vert a_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}}
\end{equation*}として定まります。ただし、実際には、実数列\(\left\{ \left\vert a_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}\right\} \)の極限は存在するとは限らないため、そのような場合にはコーシー・アダマールの判定法は役に立ちません。以下が具体例です。
\sum_{n=0}^{+\infty }\left[ 2+\left( -1\right) ^{n}\right] ^{n}z^{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}について考えます。これは係数が、\begin{equation*}
\left\{ a_{n}\right\} =\left\{ \left[ 2+\left( -1\right) ^{n}\right] ^{n}\right\}
\end{equation*}であるような複素ベキ級数です。コーシー・アダマールの判定法を利用します。具体的には、実数列\(\left\{ \left\vert a_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}\left\vert a_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}} &=&\left\vert \left[ 2+\left(
-1\right) ^{n}\right] ^{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}} \\
&=&2+\left( -1\right) ^{n}
\end{eqnarray*}ですが、これは振動列であるため\(\left\{ \left\vert a_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}\right\} \)の極限は存在しません。したがって、コーシー・アダマールの判定法から\(\left( 1\right) \)の収束半径を特定できません。実際には、\(\left( 1\right) \)は以下の条件\begin{equation}\left\vert z\right\vert <\frac{1}{3} \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす複素数\(z\in \mathbb{C} \)のもとで収束します。実際、\begin{eqnarray*}\sum_{n=0}^{+\infty }\left[ 2+\left( -1\right) ^{n}\right] ^{n}z^{n}
&=&\sum_{k=0}^{+\infty }\left[ 2+\left( -1\right) ^{2k}\right] ^{2k}z^{2k}+\sum_{k=0}^{+\infty }\left[ 2+\left( -1\right) ^{2k+1}\right] ^{2k+1}z^{2k+1} \\
&=&\sum_{k=0}^{+\infty }\left( 2+1\right) ^{2k}z^{2k}+\sum_{k=0}^{+\infty
}\left( 2-1\right) ^{2k+1}z^{2k+1} \\
&=&\sum_{k=0}^{+\infty }3^{2k}z^{2k}+\sum_{k=0}^{+\infty }1^{2k+1}z^{2k+1} \\
&=&\sum_{k=0}^{+\infty }9^{k}z^{2k}+\sum_{k=0}^{+\infty }z^{2k+1} \\
&=&\sum_{k=0}^{+\infty }\left( 9z^{2}\right) ^{k}+z\sum_{k=0}^{+\infty
}\left( z^{2}\right) ^{k} \\
&=&\frac{1}{1-9z^{2}}+\frac{z}{1-z^{2}}\quad \because \text{複素等差級数の和}
\end{eqnarray*}となります。\(\frac{1}{1-9z^{2}}\)は初項が\(1\)であり公比が\(9z^{2}\)であるような等比複素級数の和と一致します。そのような複素等比級数が収束するための条件は、\begin{equation*}\left\vert 9z^{2}\right\vert <1
\end{equation*}ですが、\(\left( 1\right) \)のもとではこれは成り立ちます。\(\frac{z}{1-z^{2}}\)は初項が\(z\)であり公比が\(z^{2}\)であるような等比複素級数の和と一致します。そのような複素等比級数が収束するための条件は、\begin{equation*}\left\vert z^{2}\right\vert <1
\end{equation*}ですが、\(\left( 1\right) \)のもとではこれは成り立ちます。つまり、\(\sum \left[2+\left( -1\right) ^{n}\right] ^{n}z^{n}\)を2つの等比複素級数の和とみなした場合、\(\left( 2\right) \)のもとではそれらはともに収束するため、それらの和である\(\sum \left[2+\left( -1\right) ^{n}\right] ^{n}z^{n}\)もまた\(\left(1\right) \)のもとで収束します。
コーシー・アダマールの公式
ベキ複素級数\(\sum a_{n}z^{n}\)から定義される実数列\(\left\{ \left\vert a_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}\right\} \)の極限\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert a_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}は存在するとは限らないため、コーシー・アダマールの判定法は万能ではありません。そこで、実数列\(\left\{ \left\vert a_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}\right\} \)の極限をとるかわりに上極限\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\sup \left\vert a_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}をとります。実数列の極限は存在するとは限らない一方で、拡大実数の範囲において上極限は必ず定まります。その上で、\(\sum a_{n}z^{n}\)の収束半径が、\begin{equation*}R=\frac{1}{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\sup \left\vert
a_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}}
\end{equation*}として定まります。これをコーシー・アダマールの公式（Cauchy-Hadamard formula）と呼びます。
a_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}}
\end{equation*}と定まる。
\sum_{n=0}^{+\infty }\left[ 2+\left( -1\right) ^{n}\right] ^{n}z^{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}について考えます。これは係数が、\begin{equation*}
\left\{ a_{n}\right\} =\left\{ \left[ 2+\left( -1\right) ^{n}\right] ^{n}\right\}
\end{equation*}であるような複素ベキ級数です。先に具体例を通じて確認したように、コーシー・アダマールの判定法は役に立ちません。そこで、コーシー・アダマールの公式を利用します。具体的には、実数列\(\left\{ \left\vert a_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}\left\vert a_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}} &=&\left\vert \left[ 2+\left(
-1\right) ^{n}\right] ^{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}} \\
&=&2+\left( -1\right) ^{n}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\sup \left\vert a_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\sup \left\{ \left\vert a_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}},\left\vert a_{n+1}\right\vert ^{\frac{1}{n+1}},\cdots \right\}
\quad \because \text{上極限の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\sup \left\{ 2+\left( -1\right) ^{n},2+\left(
-1\right) ^{n+1},\cdots \right\} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\sup \left\{ 1,3,1,3,\cdots \right\} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }3 \\
&=&3
\end{eqnarray*}となり、したがって、\(\left( 1\right) \)の収束半径は、\begin{eqnarray*}R &=&\frac{1}{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\sup \left\vert
a_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}} \\
&=&\frac{1}{3}
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
\sum_{n=1}^{+\infty }\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n}z^{n}
\end{equation*}の収束半径を求めてください。
\sum_{n=1}^{+\infty }\sin \left( n\right) z^{n}
\end{equation*}の収束半径を求めてください。
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