複素級数どうしのコーシー積

複素級数どうしのコーシー積

2つの複素数列\(\left\{ a_{n}\right\}_{n=0}^{+\infty },\left\{ b_{n}\right\} _{n=0}^{+\infty }\)が与えられれば、これらの項の複素級数\begin{eqnarray*}\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n} &=&a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots \\
\sum_{n=0}^{+\infty }b_{n} &=&b_{0}+b_{1}+b_{2}+\cdots
\end{eqnarray*}が得られます。その上で、一般項が、\begin{eqnarray*}
c_{n} &=&a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1}+\cdots +a_{n-1}b_{1}+a_{n}b_{0} \\
&=&\sum_{m=0}^{n}a_{m}b_{n-m}
\end{eqnarray*}であるような複素数列\(\left\{ c_{n}\right\} _{n=0}^{+\infty }\)を定義します。つまり、\(c_{n}\)は添字が\(i+j=n\)を満たす積\(a_{i}b_{j}\)どうしの和です。この複素数列\(\left\{c_{n}\right\} _{n=0}^{+\infty }\)の項の複素級数\begin{eqnarray*}\sum_{n=0}^{+\infty }c_{n} &=&c_{0}+c_{1}+c_{2}+\cdots \\
&=&\sum_{n=0}^{+\infty }\sum_{m=0}^{n}a_{m}b_{n-m} \\
&=&\left( \sum_{m=0}^{0}a_{m}b_{0-m}\right) +\left(
\sum_{m=0}^{1}a_{m}b_{1-m}\right) +\left( \sum_{m=0}^{2}a_{m}b_{2-m}\right)
+\cdots \\
&=&\left( a_{0}b_{0}\right) +\left( a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}\right) +\left(
a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{1}\right) +\cdots
\end{eqnarray*}を複素級数\(\sum a_{n},\sum b_{n}\)のコーシー積（Cauchy product）と呼びます。

コーシー積の意味を視覚的に理解します。そこで、複素数列\(\left\{ a_{n}\right\} \)の項を縦に並べ、複素数列\(\left\{ b_{n}\right\} \)の項を横に並べます（下図）。

$$\begin{array}{c|cccc}
& b_{0} & b_{1} & b_{2} & \cdots \\ \hline
a_{0} & & & & \\
a_{1} & & & & \\
a_{2} & & & & \\
\vdots & & & &
\end{array}$$

それぞれのマスが位置する行の値\(a_{i}\)と列の値\(b_{j}\)の積\(a_{i}b_{j}\)をとり、その値を該当するマスに入力します（下図）。

$$\begin{array}{c|cccc}
& b_{0} & b_{1} & b_{2} & \cdots \\ \hline
a_{0} & a_{0}b_{0} & a_{0}b_{1} & a_{0}b_{2} & \cdots \\
a_{1} & a_{1}b_{0} & a_{1}b_{1} & a_{1}b_{2} & \cdots \\
a_{2} & a_{2}b_{0} & a_{2}b_{1} & a_{2}b_{2} & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{array}$$

右上から左下へ斜線を引き、その斜線上に存在する値の和をとればコーシー積\(\sum c_{n}\)を構成するそれぞれの項\(c_{n}\)が得られます（下図）。

$$\begin{array}{cccc}
\quad & \swarrow c_{0} & \swarrow c_{1} & \swarrow c_{2} \\ \hline
a_{0}b_{0} & a_{0}b_{1} & a_{0}b_{2} & \cdots \\
a_{1}b_{0} & a_{1}b_{1} & a_{1}b_{2} & \cdots \\
a_{2}b_{0} & a_{2}b_{1} & a_{2}b_{2} & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{array}$$

つまり、\begin{eqnarray*}
c_{0} &=&a_{0}b_{0} \\
c_{1} &=&a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0} \\
c_{2} &=&a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなりますが、コーシー積は、\begin{eqnarray*}
\sum_{n=0}^{+\infty }c_{n} &=&c_{0}+c_{1}+c_{2}+\cdots \\
&=&\left( a_{0}b_{0}\right) +\left( a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}\right) +\left(
a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{1}\right) +\cdots
\end{eqnarray*}と定義されます。

コーシー積の絶対収束可能性

絶対収束複素級数どうしのコーシー積は絶対収束するとともに、コーシー積の和は、2つの絶対収束複素級数の和の積と一致します。

応用例：複素指数関数に関する指数法則

まずは以下の命題を示します。

複素数\(z\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、以下の複素級数\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{z^{n}}{n!}=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^{2}}{2!}+\frac{z^{3}}{3!}+\cdots
\end{equation*}は絶対収束することが明らかになりました。絶対収束する複素級数は収束するため、この複素級数は収束します。このような事情を踏まえると、それぞれの複素数\(z\in \mathbb{C} \)に対して、以下の複素数\begin{eqnarray*}e^{z} &=&\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{z^{n}}{n!} \\
&=&1+\frac{z}{1!}+\frac{z^{2}}{2!}+\frac{z^{3}}{3!}+\cdots
\end{eqnarray*}を値として定める関数\begin{equation*}
e^{z}:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能です。これを複素指数関数（complex exponential function）と呼びます。複素指数関数を、\begin{equation*}
\exp \left( z\right) :\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}と表記することもできます。

コーシー積に関する先の命題を用いることにより、複素指数関数に関する指数法則を証明できます。