コーシーの収束判定基準
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の項の無限級数とは、\(\left\{z_{n}\right\} \)の無限個の項を順番通りに加えることにより得られる和\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n}=z_{1}+z_{2}+z_{3}+\cdots
\end{equation*}として定義されます。無限級数を、\begin{equation*}
\sum z_{n}
\end{equation*}と表記することもできます。
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の初項から第\(n\)項までの和を、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}z_{v} \\
&=&z_{1}+z_{2}+\cdots +z_{n}
\end{eqnarray*}で表記し、これを複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の第\(n\)部分和と呼びます。無限級数\(\sum z_{n}\)が収束することとは、部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)が複素数へ収束することとして定義されます。つまり、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }s_{n}\in \mathbb{C} \end{equation*}が成り立つ場合には無限級数\(\sum z_{n}\)もまた収束するものと定義するとともに、この場合、無限級数\(\sum z_{n}\)の和を、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty }s_{n}
\end{equation*}と定義します。
無限級数\(\sum z_{n}\)が収束することは部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)が収束することとして定義されますが、\(\left\{ s_{n}\right\} \)は複素数列であるため、無限級数の収束と複素数列の収束という2つの概念の間には何らかの関係が成立するはずです。以下ではそれを具体化します。
複素数列が収束することと、その複素数列がコーシー列であることは必要十分です。したがって、複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)が収束することと、\(\left\{ s_{n}\right\} \)がコーシー列であることは必要十分です。ただし、\(\left\{ s_{n}\right\} \)がコーシー列であることは、どれほど小さい実数\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ場合においても、ある番号\(N\in \mathbb{N} \)が存在して、この複素数列\(\left\{ s_{n}\right\} \)の第\(N\)項より先にある任意の2つの項\(s_{m},s_{n}\)の間の距離\(\left\vert s_{m}-s_{n}\right\vert \)が\(\varepsilon \)よりも小さくなること、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert s_{m}-s_{n}\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。
以上を踏まえると、無限級数\(\sum z_{n}\)が収束することを以下のように表現することもできます。これをコーシーの収束判定基準（Cauchy criterion）と呼びます。
+z_{m}\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことは必要十分である。
消失条件（複素級数が収束するならば複素数列はゼロへ収束する）
コーシーの収束判定基準そのものは無限級数の収束判定条件として使いやすいものではありませんが、コーシーの収束判定基準を用いると、無限級数が収束するための十分条件を導くことができます。これを消失条件（vanishing condition）と呼びます。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}で与えられているものとします。この複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n} &=&\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{i}{n\left(
n+1\right) }\quad \because \left\{ z_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\frac{i}{2}+\frac{i}{6}+\frac{i}{12}+\cdots
\end{eqnarray*}ですが、この無限級数は収束します。実際、部分和の列\(\left\{s_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}z_{v}\quad \because s_{n}\text{の定義} \\
&=&\sum_{v=1}^{n}\left[ \frac{i}{v\left( v+1\right) }\right] \quad \because
\left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\sum_{v=1}^{n}\left( \frac{i}{v}-\frac{i}{v+1}\right) \quad \because
\frac{i}{v}-\frac{i}{v+1}=\frac{i}{v\left( v+1\right) } \\
&=&\left( i-\frac{i}{2}\right) +\left( \frac{i}{2}-\frac{i}{3}\right)
+\left( \frac{i}{3}-\frac{i}{4}\right) +\cdots +\left( \frac{i}{n}-\frac{i}{n+1}\right) \\
&=&i-\frac{i}{n+1}\quad \because \text{相殺} \\
&=&\frac{n}{n+1}i
\end{eqnarray*}であるため、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }s_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n}{n+1}i \\
&=&i\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n}{n+1} \\
&=&i\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{1+\frac{1}{n}} \\
&=&i\frac{1}{1+0} \\
&=&i
\end{eqnarray*}となります。したがって、無限級数\(\sum z_{n}\)は収束するとともに、その和は、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n}=1
\end{equation*}であることが明らかになりました。したがって先の命題より、複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)は\(0\)へ収束するはずです。実際、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }z_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{i}{n\left( n+1\right) }\quad \because \left\{ z_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&i\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n\left( n+1\right) } \\
&=&i\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{\frac{1}{n}}{1\left( 1+\frac{1}{n}\right) } \\
&=&i\frac{0}{1\left( 1+0\right) } \\
&=&i0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
無限級数\(\sum z_{n}\)が収束する場合にはもとの複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)は\(0\)へ収束することが明らかになりましたが、逆の主張は成り立つとは限りません。つまり、複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が\(0\)へ収束する場合に無限級数\(\sum z_{n}\)は収束するとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}で与えられているものとします。この複素数列の極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{i}{n}
\\
&=&i\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n} \\
&=&i\cdot 0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、\(\left\{ z_{n}\right\} \)は収束します。その一方で、複素級数\(\sum z_{n}\)は収束しないことを示します。そこで、実級数\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) =\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n}
\end{equation*}が実数\(a\in \mathbb{R} \)へ収束するものと仮定して矛盾を導きます。このとき、\begin{eqnarray*}a &=&\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n}\quad \because \text{仮定}
\\
&=&1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\cdots \\
&\geq &1+\frac{1}{2}+\left( \frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right) +\left( \frac{1}{6}+\frac{1}{6}\right) +\left( \frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right) \cdots \\
&=&1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots \\
&=&\frac{1}{2}+a\quad \because \text{仮定}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
a\geq \frac{1}{2}+a
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
0\geq \frac{1}{2}
\end{equation*}となりますがこれは矛盾です。したがって、背理法より、実級数\(\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) \)は収束しないことが明らかになりました。ゆえに複素級数\(\sum z_{n}\)もまた収束しません。
複素級数が発散するための条件
先の命題の対偶をとることにより以下を得ます。
\end{equation*}が成り立つならば、無限級数\(\sum z_{n}\)は発散する。
上の命題より、複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が\(0\)へ収束しない場合には無限級数\(\sum z_{n}\)が発散することが明らかになりました。
\end{equation*}で与えられているものとします。実数列\(\left\{ \mathrm{Re}\left( z_{n}\right) \right\} \)の極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\mathrm{Re}\left( z_{n}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }n \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}であるため\(\left\{ \mathrm{Re}\left(z_{n}\right) \right\} \)は収束せず、したがって\(\left\{ z_{n}\right\} \)もまた収束しません。すると先の命題より、複素級数\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }z_{n}=\sum_{n=1}^{+\infty }\left( ni\right)
\end{equation*}は発散します。実際、実級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{+\infty }\mathrm{Im}\left( z_{n}\right) =\sum_{n=1}^{+\infty }i
\end{equation*}は発散するため、もとの複素級数\(\sum z_{n}\)は発散しますが、以上の事実は先の命題の主張と整合的です。
演習問題
\sum_{n=1}^{+\infty }\left( -n\right) i
\end{equation*}は収束するでしょうか。議論してください。
\sum_{n=1}^{+\infty }\left( -1\right) ^{n}i
\end{equation*}は収束するでしょうか。議論してください。
\sum_{n=1}^{+\infty }\sqrt[n]{3}i
\end{equation*}は収束するでしょうか。議論してください。
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