実級数を用いた複素級数の収束判定
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の項の無限級数とは、\(\left\{z_{n}\right\} \)の無限個の項を順番通りに加えることにより得られる和\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }z_{n}=z_{1}+z_{2}+z_{3}+\cdots
\end{equation*}として定義されます。無限級数を、\begin{equation*}
\sum z_{n}
\end{equation*}と表記することもできます。
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の初項から第\(n\)項までの和を、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}z_{v} \\
&=&z_{1}+z_{2}+\cdots +z_{n}
\end{eqnarray*}で表記し、これを複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の第\(n\)部分和と呼びます。無限級数\(\sum z_{n}\)が収束することとは、部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)が複素数へ収束することとして定義されます。つまり、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }s_{n}\in \mathbb{C} \end{equation*}が成り立つ場合には無限級数\(\sum z_{n}\)もまた収束するものと定義するとともに、この場合、無限級数\(\sum z_{n}\)の和を、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }z_{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty }s_{n}
\end{equation*}と定義します。
複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}z_{n}=x_{n}+iy_{n}
\end{equation*}であるものとします。つまり、\(z_{n}\)は複素数ですが、\(x_{n}\)は\(z_{n}\)の実部であり、\(y_{n}\)は\(z_{n}\)の虚部であり、これらはともに実数です。したがって、複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が与えられれば、\(\left\{ z_{n}\right\} \)の一般項\(z_{n}\)の実部\(x_{n}\)を一般項とする実数列\(\left\{x_{n}\right\} \)と、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項\(z_{n}\)の虚部\(y_{n}\)を一般項とする実数列\(\left\{y_{n}\right\} \)がそれぞれ得られます。
このような事情を踏まえると、複素級数\(\left\{ z_{n}\right\} =\left\{ x_{n}+iy_{n}\right\} \)が与えられれば、複素数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の項の複素級数\begin{equation}\sum_{n=1}^{\infty }z_{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}と、実数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{y_{n}\right\} \)の項の実級数\begin{eqnarray}&&\sum_{n=1}^{\infty }x_{n} \quad \cdots (2) \\
&&\sum_{n=1}^{\infty }y_{n} \quad \cdots (3)
\end{eqnarray}が得られますが、複素級数\(\left( 1\right) \)が複素数へ収束することと、実級数\(\left( 2\right) ,\left( 3\right) \)がともに実数へ収束することは必要十分であるとともに、これらの和の間には以下の関係\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }z_{n}=\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}+i\sum_{n=1}^{\infty
}y_{n}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、複素級数\(\left( 1\right) \)の和の実部は実級数\(\left( 2\right) \)の和と一致し、複素級数\(\left( 1\right) \)の和の虚部は実級数\(\left( 3\right) \)の和と一致します。
}y_{n}
\end{equation*}が成り立つ。
以上の命題より、複素級数の収束に関する議論を、実級数の収束に関する議論に置き換えて考えることができます。つまり、複素級数の収束可能性を判定する際に、実級数に関する知識を動員できます。
\sum_{n=1}^{\infty }z_{n}=\sum_{n=1}^{\infty }ix_{n}
\end{equation*}が与えられたとき、先の命題より、複素級数\(\sum z_{n}\)が収束することと実級数\(\sum x_{n}\)が収束することは必要十分であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }z_{n}=i\sum_{n=1}^{\infty }y_{n}
\end{equation*}が成り立ちます。
\sum_{n=1}^{\infty }z_{n}=\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}
\end{equation*}が与えられたとき、先の命題より、複素級数\(\sum z_{n}\)が収束することと実級数\(\sum x_{n}\)が収束することは必要十分であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }z_{n}=\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}
\end{equation*}が成り立ちます。
\sum_{n=1}^{\infty }\left( \frac{1}{2^{n}}+\frac{i}{3^{n}}\right)
\end{equation*}は収束するでしょうか。まずは、以下の実級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2^{n}}
\end{equation*}について考えます。実数列\(\left\{ \frac{1}{2^{n}}\right\} \)の部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}\frac{1}{2^{v}} \\
&=&\frac{\frac{1}{2}\left[ 1-\left( \frac{1}{2}\right) ^{n}\right] }{1-\frac{1}{2}}\quad \because \text{等比数列の部分和} \\
&=&1-\left( \frac{1}{2}\right) ^{n}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }s_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left[
1-\left( \frac{1}{2}\right) ^{n}\right] \\
&=&1-0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\begin{equation}
\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2^{n}}=1 \quad \cdots (1)
\end{equation}であることが明らかになりました。続いて、以下の実級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{3^{n}}
\end{equation*}について考えます。実数列\(\left\{ \frac{1}{3^{n}}\right\} \)の部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}\frac{1}{3^{v}} \\
&=&\frac{\frac{1}{3}\left[ 1-\left( \frac{1}{3}\right) ^{n}\right] }{1-\frac{1}{3}}\quad \because \text{等比数列の部分和} \\
&=&\frac{1}{2}\left[ 1-\left( \frac{1}{3}\right) ^{n}\right] \end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }s_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{2}\left[ 1-\left( \frac{1}{3}\right) ^{n}\right] \\
&=&\frac{1}{2}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left[ 1-\left( \frac{1}{3}\right)
^{n}\right] \\
&=&\frac{1}{2}\left( 1-0\right) \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\begin{equation}
\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{3^{n}}=\frac{1}{2} \quad \cdots (2)
\end{equation}であることが明らかになりました。したがって先の命題より、もとの複素級数\(\sum \left( \frac{1}{2^{n}}+\frac{i}{3^{n}}\right) \)は収束するとともに、その和は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{\infty }\left( \frac{1}{2^{n}}+\frac{i}{3^{n}}\right)
&=&\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2^{n}}+i\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{3^{n}}
\\
&=&1+\frac{i}{2}\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\end{eqnarray*}となります。
\sum_{n=1}^{\infty }\left( \frac{1}{3^{n}+1}+\frac{i}{n!}\right)
\end{equation*}は収束するでしょうか。まずは、以下の実級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{3^{n}+1}
\end{equation*}について考えます。正項級数に関する比較判定法を利用します。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation}\frac{1}{3^{n}+1}<\frac{1}{3^{n}} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、無限級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{3^{n}}
\end{equation*}を比較対象として採用します。初項が\(0\)ではなく公比の絶対値が\(1\)より小さい等比級数は収束するため\(\sum \frac{1}{3^{n}}\)は収束します。以上の事実と\(\left( 1\right) \)より、実級数\(\sum \frac{1}{3^{n}+1}\)は収束することが明らかになりました。続いて、以下の実級数\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n!}
\end{equation*}について考えます。正項級数に関するダランベールの判定法を利用します。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}\frac{\frac{1}{\left( n+1\right) !}}{\frac{1}{n!}} &=&\frac{n!}{\left(
n+1\right) !} \\
&=&\frac{1}{n+1}
\end{eqnarray*}であることを踏まえた上で極限をとると、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{\frac{1}{\left( n+1\right) !}}{\frac{1}{n!}} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n+1} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}} \\
&=&\frac{0}{1+0} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。つまり、\begin{equation*}
0\leq \lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{\frac{1}{\left( n+1\right) !}}{\frac{1}{n!}}<1
\end{equation*}が成り立つため、実級数\(\sum \frac{1}{n!}\)は収束することが明らかになりました。したがって先の命題より、もとの複素級数\(\sum \left( \frac{1}{3^{n}+1}+\frac{i}{n!}\right) \)は収束します。
複素級数が収束しないことの判定
複素級数\(\sum z_{n}=\sum \left( x_{n}+iy_{n}\right) \)が複素数へ収束することと、実級数\(\sum x_{n},\sum y_{n}\)がともに実数へ収束することは必要十分であることが明らかになりました。したがって、実級数\(\sum x_{n},\sum y_{n}\)の少なくとも一方が実数へ収束しない場合、もとの複素級数\(\sum z_{n}\)は複素数へ収束しません。
\sum_{n=1}^{\infty }z_{n}=\sum_{n=1}^{\infty }ix_{n}
\end{equation*}が与えられたとき、先の命題より、複素級数\(\sum z_{n}\)が収束しないことと実級数\(\sum x_{n}\)が収束しないことは必要十分です。
\sum_{n=1}^{\infty }z_{n}=\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}
\end{equation*}が与えられたとき、先の命題より、複素級数\(\sum z_{n}\)が収束しないことと実級数\(\sum x_{n}\)が収束しないことは必要十分です。
\sum_{n=1}^{\infty }\left( \frac{\left( 4n\right) !}{4^{n}n!}+i\right)
\end{equation*}は収束するでしょうか。以下の実級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\left( 4n\right) !}{4^{n}n!}
\end{equation*}について考えます。正項級数に関するダランベールの判定法を利用します。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}\frac{\frac{\left[ 4\left( n+1\right) \right] !}{4^{n+1}\left( n+1\right) !}}{\frac{\left( 4n\right) !}{4^{n}n!}} &=&\frac{\left[ 4\left( n+1\right) \right] !}{4^{n+1}\left( n+1\right) !}\cdot \frac{4^{n}n!}{\left( 4n\right) !} \\
&=&\frac{\left( 4n+4\right) !}{4\left( n+1\right) }\cdot \frac{1}{\left(
4n\right) !} \\
&=&\frac{\left( 4n+4\right) \left( 4n+3\right) \left( 4n+2\right) \left(
4n+1\right) }{4\left( n+1\right) } \\
&=&\left( 4n+3\right) \left( 4n+2\right) \left( 4n+1\right)
\end{eqnarray*}であることを踏まえた上で極限をとると、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{\frac{\left[ 4\left( n+1\right) \right] !}{4^{n+1}\left( n+1\right) !}}{\frac{\left( 4n\right) !}{4^{n}n!}}
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( 4n+3\right) \left( 4n+2\right) \left(
4n+1\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となります。つまり、\begin{equation*}
1<\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{\frac{\left[ 4\left( n+1\right) \right] !}{4^{n+1}\left( n+1\right) !}}{\frac{\left( 4n\right) !}{4^{n}n!}}\leq
+\infty
\end{equation*}が成り立つため実級数\(\sum \frac{\left( 4n\right) !}{4^{n}n!}\)は発散することが明らかになりました。したがって先の命題より、もとの複素級数\(\sum \left( \frac{\left( 4n\right) !}{4^{n}n!}+i\right) \)は収束します。
演習問題
\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sin \left( n\right) }{3^{n}}i
\end{equation*}は収束するでしょうか。検討してください。
\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n!}{5^{n}}i
\end{equation*}は収束するでしょうか。検討してください。
\sum_{n=1}^{\infty }\left( -1\right) ^{n}\frac{2^{n+1}}{n^{n}}i
\end{equation*}は収束するでしょうか。検討してください。
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